CALCUL DES TABLES TRIGONOMÉTRIQUKS

1119. Nous avons expliqué au n* 1099 la disposition des Uihlcs trigt»nométriques. Nous allons montrer comment on peut calculer <vs tables.

1" A mesure que Ton fait décroître un angle moindre que îM)", le rapport de Tare qui lui sert de mesure à son sinus diminue, et approche autant que Ton veut de l'unité, qui est sa valeur limite (484.

CALCUL DBS TABLES TRIGONOM ÉTRIQUÉS.

Supposant OM ou r=i, ona(10^2) M/> = sina, Op = eosa, ÂT = tanga; soit de plus a la longueur de Tare AM.

On a

a > sin a et a< tang a.

En effet sin a ou Mj? étant la moitié de la corde sous-tendant un arc double de Tare a, on a bien

a > sin a.

De plus, la surface du secteur OAM étant moindre que celle du triangle OAT, on a

|0Axa<3 0Axtanga;

d'où

sma

a < tang a ou (n* H07) a <Pii^.

^ ^ ' fCOSa

Des inégalités (1) et (2), on tire respectivement

sma

>i et

sin a COSa'

Ce qui fait voir que le rapport de la longueur de Varc au sinus est compris entre 1 et la quantité toujours pltis grande que Vunité

cosa

Or, comme k mesure que Tangle « diminue décroît et s'ap-

' ^ ° cosa ^

proche de plus en plus de l'unité, dont il peut différer d'aussi peu

eji

que Ton veut, il en résulte que —. — , qui est plus petit que ,

diffère encore mains et peut être considéré comme ayant Vunité pour limite.

2* Des inégalités

a<tanga et a > sin a ou a>tangacosa, (1107)

on conclut

tang a

<1 et

tang a

> cosa.

Ce qui fait voir que le rapport

-, toujours plus grand que cos a.

tang a' est compris entre 1 et cos a, et a par conséquent Vunité pour limite,

3* Démontrons maintenant que la différence entre la longueur a de rare et le sinus est moindre que le quart du cube de a.

i sm ^ a De l'inégalité (!•) ^ a < 7—, on conclut