COS
996 QUATRIÂIIB eARIIE. — TBlGOH0M|ftViU£.
. 1 fl A
sin-a> -acos ~a.
Multipliant membre à membre cette inégalité par inéquation
sm a = 2 sin - a cos - «, (1114)
Mim,«n remarquant qfue- le facteur cammi» «or -a disparaît, sma > acos" - a,
•u encore
sina> a M — sin«-aj, (ii07)
d'où
sin a>a — a sin'- a,
a — aln « <'a«in' — .«.
Multipliant membre k.membrfi cette inégalité ^par celle sin - a <^ a élevée au carré, c'est-.à-dire par
«H a bien, en supprimant le facteur commun siîi'^ «,
a— sm«< -..
Calculons quelle est cette limite d'erreur pour un mngle de 40*, qu «st le plus petit des tables de Callet. Le rayon étant i , Tare correspondant à 180* est
wr = t: = 3,iAto9fi6 (726
et la longueur a de l'arc correspondant k 10" j;st (733)
d'où
Ainsi, pour un angle de 10", en prenant Tare pour le sinus, Terreur «st moindre que les trois dixièmes environ dune unité décimale du treizième ordre. On peut donc poser, avec »une erreur moindre qu'une unité décimale du treizième îordre,'qui' Ton a
* sin iO" = 0,000 0^8 481 368 1.
CâUÎUi DO^ft TABLES TRIGÛNOHÊTAK^OKS, 3S7
Avec le môme degré d*exftetUude, an peut tirer ée la formule
cos iO" = V*— 8în*l<>"» (**07)
cos 10" = 0,^9 999 998 824 8.
4" A Taide des valeurs de sin 10", de cos 10" et des formules
sin(a+fr)=sinacosfr4-cosasin6 | mw]
cos(a + ô)==cosaco6 6— sînasin6 j ' ■ ^
on peut calculer les sinus et cosinus de tous les angles de lO*' en lO*' jusqu'à 45".
On aurait la tangente et la cotangente de chacun de ces angles à Faide des formules
tanga = et cot a = -: — . 1107)
® cos a sma '
5* Les expressions trlgonométrîques des angles de 0** k 45"* donnent, d'après ce qui a été dit n"' 1098 et 1109, celles des angles de 45» à 90*. Enfin, ayant les expressions trigonométriques jusqu'à cette limite, celles des angles supérieurs s'obtiendront d'après ce qui a été dit n" 1095.
On conçoit que cette manière de calculer les expressions trigonométriques est très-longue et pénible; on l'a simplifiée en employant une autre marche, qu'il importe peu d'exposer ici, notre but n'étant pas de mettre à même de calculer des tables qui sont déjà établies aussi complètes que peuvent l'exiger les besoins de la pratique.
Comme, dans la pratique de l'ingénieur, on a ordinairement des degrés d'approximation su^sants, en supposant qu'un angle compris entre deux autres qui ne diffèrent entre eux que d'une minute est égal à celui de ces derniers qui en approche le plus, nous n'avons donné dans notre table que les expressions trigonométriques des angles de minute en minute (1138). Dans le «as oà l'on ne se contenierait pas de cette approximation, on aurait recours à la méthode des parties proportionnelles, en opérant comme au numéro suivant pour les tables logarithmiques.
1120. L'usage des tables logarithmiques repose sur la résolution des deux questions : V étant donné un angle trouver le logarithme d'une de ses expressions trigonométriques; T réciproquement, étant donné \v logarithme d'une expression trigonométrique, trouver l'angle correspondant. Ces deux questions se résolvent par la même marche que les questions analogues des n"' 400 et 401 sur les nombres.
Avec les tables de Lalande on trouve ainsi (1099) : r que
log sin 25M2'34" =1,62918+ ^'^^^.fj^^^ =1,62918+0,00015=1,629
On dispose Topération de la manière suivante :
log sin 25* 12' =T,629 18 27x34
pour 34" 15 60 ""
log sin 25* 12' 34" =T,629 33 On trouve de même og cos 38*45'24"=T,89203— Mî!2i£><?i =T,892 03— 0,000 04=T,891 99.
On écrit
log cos 38* 45' =7,892 03 10x24
pour 24" —4 60
log cos 38" 45' 24" =T,891 99 2» Ayant log sin a ="4,629 33, on a
Ml
On dispose ainsi Topération :
log sin a = î,629 33 logsin25M2' ^7,62918 60x15
pour 34" 15 27 ""
Do niômo, ayant log cos a = 1,891 99, on a On pose
log cos a = 1,891 99 log cos 38' 45' =T,89203 60x4
pour 24" —4 10 —
Au 1" et au 2' on opère pour la tangente comme pour le sinus, et pour la cotangente comme pour le cosinus.
Qviand on détermine Fangle au moyen des tables de Lalande, en partant du sinus, l'erreur commise est moindre que 1" pour des angles inférieurs à 12*; au delà de 12% on n'a plus les secondes exactement; dans le voisinage de :
22* 30* 40* 45* 50* 55* eO** 70* 80%
l'erreur peut atteindre respectivement :
CALCUL DES TABLBS TRIGONOHÉTRIQUES. 389
vers 85* elle peut s'élever a une minute; enfin, dans le voisinage de SS\ comme on voit le même logarithme se rapporter à 3 angles, et que par suite on peut prendre Tun quelconque de ces angles, Terreur peut s'élever à 3'.
Ainsi les angles voisins de 90* sont très-mal déterminés par leurs sinus. De même les petits angles sont mal déterminés par leurs cosinus. Les tangentes donnent des erreurs beaucoup plus petites : au-dessous de 12' l'erreur est moindre que 1''; vers 27* elle est de 9,'\ et vers 45* de 2'',4. Au delà de 45* elle diminue pour repasser par les premières valeurs, les différences tabulaires redevenant les mêmes.
Ainsi dans la pratique, autant qu'il sera possible, on devra déterminer les angles au moyen de leurs tangentes ou de leurs cotangentes, de préférence à leurs sinus ou cosinus.
Pour résoudre les deux questions précédentes avec les tables de Gallet, on procède comme avec celles de Lalande; seulement le calcul des parties proportionnelles est encore plus simple. On a, par exemple :
