PRINCIPES SUR LESQUELS S' APPUIE LA RÉSOLUTION DES TIOANGLES
RfiCTiLiewes.
1121. Remarque, Pour abréger, nous désignerons, dans tout ce qui va suivre, les angles des triangles parles lettres A, B, C, placées à leurs sommets, et les côtés respectivement opposés à ces angles par les lettres a, 6, c, qu'on écrit vers le milieu de ces côtés. Dans le cas où le triangle est rectangle, la lettre A désigne l'angle droit, et a l'hypoténuse.
1122. Théorème i. Dans tout triangle rectangle^ chaque côté de
Vangle droit est égal à Vhypoténuse multipliée par Fig. Î53. i^ cosinus de Vangle o/^acent.
6 et c pouvant être considéré» comme les projections de a sur leurs directions^ on a
6=:acosC et c = a cosB. (H06j
De ce que les angles B et C sont complémentaires, ott a cos€:i=:'«mB
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RÉaOOOTION DBB> TRfANGI.SS> RECTIAIGM». 301
et casB«:s::»iiv(I(ii08), cl» par suite;
6=asînB et c = asinC.
Ainsi, dans tout triangle rectangle, c flaque côté de V angle droit est égal à r hypoténuse multipliée par le cosifULSide Uaagle aéyaceait oiupQir* le sinus de Vangle opposé.
Corollaire, Les deux équations d'= a sih IV et c=a cos B donnent
h sin
c cos
1^= tangB,
d'où On a de môme
c tang B.
~b HangC.
Comme on a tangB
= cotC et 6 = ccQtC
taiigG=catB(H09), et c = 6cotB.
on a
donc aussi
Ainsi, dans tout triangle rectangle^ chaque côté die tanglb droit est égal à Vautre multiplié par la. tangente de Vangle opposé au premier ou par la cotangente de Vangle adjacente
1125. Théorème 2. Dans tout triangle rectiligne les sinus des angles sant entre eux comme les côtés opposés, ^^^' *®*' Du sommet G abaissant une perpendicnteire-
€D sur le côté c :
1* Dans le cas où cette perpendiculaire tbmfitr suo le côtéc, on a respectivement dans les trianglcs rectanjj^les ADC et BDC,
CD=6'sinA et GD = asiaB. (M22)
BTgalknt ces dieux valeurs de CD, orv a
&siaA = a3iaB,
sin A : sin B = a : b, (312),
d'où
Fig. «55.
2* Dans le cas où la pevpendiculaîre CD tombe sur le* prolongement dô» c, on a encore dans le triangle ADC,
CD=r6siaCA»,
ou, puisque les angles CAD et A, qui sont supplémentaires, ont le môme sinus (t095),
CD = 6 sin A.
Le triangle BDC donne aussi CD = a sinB. De ces deux valeurs de CD on conclut encore
sin A : sînB =;«: 6.
3d2 QUATRIÈUE PARTIE. — TRIGONOMÉTRIB.
:r Dans le cas où le point D tomberait en A, le triangle serait rectangle, et Ton aurait directement (!•)
CD ou 6 = asinB; ou bien, en remarquant que sinA = i,
6sinA==asînB; d'où, encore,
sinA : sinB=a: 6.
Si, au lieu de prendre le sommet C pour abaisser la perpendiculaire, on avait choisi l'un des deux autres A et B, on aurait eu respectivement
sin B : sin C = 6 : c, et
sin C : sin A = c : a.
K Ces trois proportions, qui prouvent ce qu'il fallait démontrer, se résument dans la suite de rapports égaux
sin A sinB sin C a ~~ b c"'
1124. Théorème 3. Dans tout triangle^ le carré d'un côté est égal à la somme des carrés des deux autres^ moins le double rectangle de ces deux côtés multiplié par le cosinus de Vangle compris entre ces côtés. Ainsi l'on a, par exemple (fig. 255),
a*=6* + c*— 26ccosA. (i)
On démontre en géométrie (709) que, dans tout triangle, le carré d'un côté opposé à un angle aigu est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, moins le double rectangle compris sous l'un de ces côtés et la projection de l'autre sur le premier. On démontre que ce double rectangle, au lieu de se retrancher, s'ajoute quand l'angle opposé au côté considéré est obtus (708). Ainsi les figures 254 et 255 donnent res* pectivement :
a* = 6« + c* — 2cxAD, (2)
a* = 6*H-c«-f 2cxAD. (3)
Dans le triangle rectangle ADC on a, pour la figure 254, AD = 6 cos A, et pour la figure 256, AD = 6 cos DAC ou AD = — 6 cos A, puisque A est le supplément de DAC (1095). Ces deux valeurs de AD, substituées dans les formules (2) et (3), les ramènent toutes deux à la formule générale (i).
Quand l'angle A est droit, son cosinus est nul, et cette formule générale donne le résultat bien connu (704)
112tt. Théorème 4. La somme algébrique des projections de deux cotés
RÉSOLUTION DIS TRIANGLES RBGTIL1GNB8 RECTANGLES. 393
cTtin triangle sur le troisième est égale à ce troisième côté (ii06}. Ainsi Ton a fig. S54 et 255
c = a cos B + ^ ces Â.
