RÉSOLUTION DES TRIANGLES RECTIUGNES RECTANGLES
i 126. Résoudre un triangle^ c'est, étant données trois de ses six parties, angles ou côtés, déterminer les trois autres. Comme il faut que les trois parties connues déterminent le triangle, il est donc nécessaire qu'une au moins des parties données soit un côté, les trois angles ne déterminant pas le triangle (626).
Les trois inconnues pourront, d'une manière générale, se déduire d'un système de trois équations établies entre les inconnues et lea quantités données (476). Ce système découle du n* ii24, et il est
a» = 6' + c» — 26c cos A, 6« = a» + c* — 2accos B, c^ = a* •{- 6*— 2a6 cos C.
A ce système on peut substituer le suivant, qui lui est équivalenti et qu'on déduit du n* li25
a= 6 cos C + ccosB, 5 = acosC +CCOSA, c=:a cos B + 6cos A.
La relation suivante permet de simplifier les calculs relatifs à la résolution des triangles :
1127. Dire qu'un triangle est rectangle, c'est donner un de ses angles; par conséquent, il sufiit de connaître deux de ses autres parties pour qu'il soit déterminé (1126).
1*' cas. Étant donnés (fig. 253) rhf/poténuse a et Vun des angles aigus^ B par exemple^ trouver Vangle C et les deux côtés b et c.
Le triangle étant rectangle, les angles aigus sont complémentaires» et l'on a
On a de plus
6 = asinB et c = acosB. (1122)
2* cas. Étant donnés le coté b et Vangle B, trouver C, a e< c.
Dé la relation 6= asin B (1122), on tire
sinB'
38i QTIATRlftKV PARTIS. — TlU««fR(MitntSK
to a aiB»»i (im, coffol.)
c = 6tangC ou c = 6cotB = r — ^. (1109)
3" cas. Étant dormes rhyipoténuse a et un, côté b^ trowoex c, B ^^ C. Le triangle étant rectangle, on a (704)
Si Ton voulaft calculer c à Faide des logarithmes^ on donnerait à cette valeur la forme
€ =r v/(aH-6>(o — ie). (7D3.)
De la fftlâtion b^ oisin B (iiSld), on tue
sin B = -.
De sin B on conclut B; puis on a
C = 90" — B. On a aussi cos C = «[tt B = -.
4* cas. Étant donnés les côtés h et c, trcntcer Vhypoténuse a ri les angles h et d.
Comme on a 6 = ctangB (1122, coroL), on en conclut
tang B = -. On a aussi cot C = tan!rl^= ~.
Ayant B à Taide de tang B, on conclut, du reste,
pu», delà rdalitta 6 =::a.siiàB (liâd), cio tire
h sm B
Pour avoir a, on pourrait poser immédiatement
On aurait ensuite déterminé B à Faide de la ro.iatîou
t = a sin B.
Puis on aurait posé
Mais ce mode d'opérer conduit à des calculs plus longs que le précédent.
RÉSOLUTION DES TKUIfGLES ItBCTILlGRES QUELCONQUES. 3^5
RÉaOLUTION DES TRIANGLES RBCXaifiNES QUELCONQUES.
1128. !•' cas. On donne du triangle ABC, Jiff, 254, un côté a et deux angles A et B; trouver les deux autres eôiés b , c, et le troisième angle C.
Dans tout triangle, la somme des trois angles étant égala à deux droits, on a
D-aprèa le tbé<tt«a»e liée sinus des angles d'un triangle soAt enire eux eoiBnic tes cèié» opposés à ces angks (ilSt3), on a *
sin A: sînB = a: 6, et sInA : sîn C=:a : c;
d>ù Ton eonclut fcspeclîvemeiit
#. — ^sinB . ^^sinG sinA sinA
on log6r=^loga4-logsiQB*--logsfi0A,
logcsrloga + logsinC — logstnA.
On calculerait la suriiace S du triangle au moyen de la formula
ou logS^Sloga + logsinB + logainG— log^ — logsinA.
AppHcation, Soit:
a=:$78d»,24, A = «lt7'2a^4 et B = «T'Sii'l r,».
Calcul de G
C = 180» — (A 4- B) =50M8'2A",8; calcul de b
log a = 3,831 8212 log a = 3,831 8242
log sin B =T,9f>9 5838 ' log sin B ==T,999 5538 (1099)
-log sin A = 0,172 0615
log sin A = 1,827 9385
log b = 4,003 4365
6 = 40 079-,44; calcul de c
log b = 4,003 4365
log a = 3,831 8212 log a = 3,831 8212
log sin C = 1,886 1953 log sin C = î,886 1953
-log sin A = 0,172 0615
log sin A = 1,827 9385
log c = 3,890 0780
log c = 3,890 0780
calcul de S
2 log a = 7,663 6424 2 log a = 7,663 6424
log sin B = £,999 5638 log sin B = T',999 5538
log sin C = 1,886 4953 log sin G = 1,886 1953
log 2 = 0,301 0300 — log 2 =ï,698 9700
log sin A =7,827 9385 — log sin A = 0,172 0615
log S = 7,420 4230 log S = 7,420 4230
S = 26 328 300 mètres carrés.
Nous avons suivi deux marches pour effectuer les calculs logarithmi- -ques. Dans la première on écrit les vrais logarithmes qui se retran* chent, en ayant soin, pour éviter la confusion, de les séparer par un trait de ceux qui s'ajoutent. Puis appliquant la règle 3* page 7, de chaque somme partieUe fournie par les chiffres des logarithmes qui s'ajoutent, on retranche successivement les chiffres correspondants des logarithmes qui se retranchent, ce qui fournit les chiffres successifs du logarithme cherché. Ainsi log S s'obtient en disant 4 et 8, 12, et 3, 15, moins 5, 10; on pose 0 au résultat, et on ajoute 1 à la colonne suivante, -qui donne 1 + 2 + 3 + 5 = 11, moins 8, 3 ; on pose 3 au résultat, et Ton •continue ainsi de suite en observant toujours la règle de la soustrac-^ tion (28}. Pour les caractéristiques qui sont négatives, on suit les règles relatives à l'addition et à la soustraction des quantités algébriques (421, 422).
Dans la seconde marche, on change le signe de chaque logarithme à retrancher, ce qui ne donne plus que des quantités à ajouter. Ainsi dans le calcul de S, ayant log 2 = 0,301 0300, on a — log 2 = — 0,301 0300 = 1 + 1 —0,301 0300 = 1,698 9700 ; de même, ayant log sin A=7,827 9385, on a — log sin A = l— 0,8279385=0,1720615. La valeur des logarithmes changés de signe s'obtient d'après la règle du n* 398, relative au complément d'un nombre.
1129. 2* cas. Qn donne deux côtés a, b, et Vangle A opposé à Vun â^evaHy trouver c, B e^ G (972).
De la proportion
sin A:sinB = a:6, (1123)
on tire
on a ensuite
puis
donne
On a la surface
. ^ bsink , .
sin B = • : (a
sin A : sin G = a : c
sin G c = a—. — r.
sm A
s = 2È4!LÇ. (,133)
