RÉSOLUTION DES TRIANGLES RECTILIGNES QCELCONQOES
Bemarque. Cette solution demande quelques éclaircissements: la même valeur (a) de sinus B correspondant à deux angles supplémentaires, Tun aigu et l'autre obtus (1096), il convient d'examiner dans quel cas il faudra prendre B aigu ou obtus, ce qui conduit aux remarques suivantes, qui découlent de ce que dans tout triangle deux angles ntr peuvent être droits ou obtus (618), et que au plus grand angle est opposé le plus grand côté (603}.
i* L'angle donné A étant droit ou obtus ^ Tangle B est nécessairement aigu. Ayant  > B,. on doit avoir aussi a > 6. Il y a alors toujours une solution; mais il n'y en a qu'une; c'est cfque fait voir la figure 256.
2* L'angle A étant aigu, si l'on a en même temps a > 6, d'où A > B, il en résulte encore que B est aigu, et il n'y a également qu'une^ solution. La figure 257 fait voir qu'en effet l'angle A serait obtus dans le deuxième triangle AB'C qui a a et 6 pour côtés. Dans le cas où A étant aigu on a a=6, B' tombe en A, et l'on obtient pour unique solution un triangle isocèle. 3* Soit, comme dans le cas précédent, A aigu, mais a<b. Dans ce cas, B > A peut être aigu ou obtus; il y a alors deux solutions; c*cst ce qu'indique la figure 258. Dans le triangle ABC,, qui satisfait à l'énoncé, l'angle B est aigu; dans le triangle AB'C, qui satisfait également à renoncé, B' = 180^— B est obtus.
11 y aura deux solutions tant que a<b sera plus grand que CD = 6 sinA, c'est-à-dire tant qu'on aura
Fig. 258.
... 6 sin A a>6smA ou < 4.
Lorsque a= CD =s fr sin A, l'arc BB' est tangent à AB au point D, les. deux triangles ABC et AB'C coïncident avec le triangle rectangle AIX^ et il n'y a plus qu'une solution.
Enfin, si l'on avait a < CD ou a< 6 sin A, l'arc BB' n'aurait aucun point commun avec AB, et il n'y aurait pas de solution.
Si, au lieu de commencer par déterminer les angles B et C, on a>niL voulu avoir d'abord le côté c, on aurait posé
d'où
et par suite
a* = 6* -f c* — 26c cos A, c* — 26 cos A X c = a* — 6*,
(IHi)
c = 6 cos A ± v/a« — 6' + 6»cos*A 526)
398 QIJATftIÊXX PARTIE. <^ TRIGONOlléTIUX.
un
c = * cos A ±: V<ï* — 6* sin» A» (KOÎ)
1130. T cas. Cosmaisiant deux cotés a, b, e< l'angle cùmfris G, Irouscer c, A, B.
r On a
c = \/a> 4- 6*— 2a6 omC» (I«4)
c étant coDOU, on pose
. asinC ijjao\
smA= , (1123)
puis B=:18r— (A + C).
Ttr On pent commencer par âéterminer A* On a
sin A : siii B = « : è.
Dans cette proportion il entre deux inconnues, sin A et sin B ; on en l'ait disparaître une en posant
(sin A + sinB) : (sinA— sinB)=s: (a + 6) : (a— 6), (321) ou, en remplaçant le premier rapport par son égal (111^» 3*},
tong i (A +B) : ta«f ^ (A^«):=^(a + 6) : (a-6).
~ (A 4- B) = r (180* — C) = m" étant connu, cette proportion ne renie! M
ferme d'inconnue que tang - (A— B), et elle en donne la valeur,
tangl(A-B)=^tangi(A + B),
de laquelle on conclut - (A — B) = 7l^ Ayant la demi-somme m* et la
ticmi-diflférence re de A et B, on a (480).
A = TiV* + ?r et B = m" — w".
Ayant A et B, on pose (H23)
a &in€
smA
Cette solution est préférable à la première pour l'emploi des logarithmes (1128).
On déterminerait la surface à Taide de la formule
RÉSOLUTIOff DB6 TRIAMOLES RBCTUjIGIIBS QUELCONQUES. 3f9
1131. 4^ cas. On donne les trois côtés a, b, c; déterminer les trois
angles A,B, G.
Posant
a* = 6* + c« — 26c cosA, (H24)
on tire
Des formules semblables donneraient B et C.
Du reste, ayant déterminé ainsi A et B, on pourrait poser
C = 180--(A4hB),
ce qui, dans tous les cas, sert de vérification.
La formule (a) peut être remplacée par une autre plus propre àraBiploi des logarithmes (1128).
On a
2sin*^ A=l — cosA. (HU, f)
Remplaçant cosA par sa valeur (a), on a
««^«•iA=* sr- = Wc
d'où
sin
in|A=y^IIE^H±î).
On peut simplifier cette formule en faisant le périmètre a+^+c = 5fe d'où a + »6— c=2(j) — c) et ^-*4-t:=â(p--fr), ce qui donne
. 1 , 4 //p — 6)(p— c) sin^A=y ^ ;^^ ^ (6)
valeur facile k traduire littéralement.
r A ^Bt nécessairpmrent aigu, son mnus donne sa valeur et par
suite celle de A.
On aurait de même
M aini u ^
Mais on peut poser, ne serail-cc quecoinme vérification, <: = «B0''— (A4-B).
On se procurerait par une marche semblable cos 5 A et tang - A. Du reste, comme on a
cos ■
iA = Y/l-sin«|A, (H07)
remplaçant sin ^ A par sa valeur (6), on a
ou, en réduisant au même dénominateur, efifectuant les calculs et simplifiant.
On a ensuite (4107, T)
cos- A
^<^ -i/(p~fe)(p--c)
VPiP—a) V P(P— a)
bc
Comme pour les sinus, on obtiendrait des formules analogues pourles angles B et C.
La surface du triangle se calculerait au moyen de la formule du 3du numéro suivant.
1132. L'aire d'un triangle peut s'exprimer en fonction, soit de deux côtés et de Fangle compris, soit d'un côté et des angles, soit des trois côtés.
r On a, en désignant Taire du triangle par S,
ç ex CD S —,
Remplaçant CD par sa valeur b sin A (H22), on a
c bc sïn A. , .
Ce qui montre que Vaire d'un triangle est égale à la moitié du produit de deux côtés quelconques multiplié par le sinus de Vangle compris.
T Faisant b = . ^ dans l'expression précédente (1123), on a
g c'sinA sînB c'sinAsinB "^ asinC ""2sin(A + B)'
APPLICATIOlfS. 404
3* Ayant
8inA = 2sin - Acos -A, (Hii)
remplaçant sin - A et cos - A par leurs valeurs (H31), on a
sinA:=:2\A^-P"'°i^f,7^)ty~^).
Substituant cette valeur de sin A dans Téquation (a), il vient
Pour 0=200-, 6 = 180- et c = 170-, on a
S = V275(275-200) (275— ISOj (275 — 170) = 14343-.
