CONSTRUCTION GÉOMÉTRIQUE DES FORMULES ALGÉBRIQUES
I12$3. D'après la loi de Thomogénéité, toute expression algébrique homogène du premier degré, dans laquelle les diverses lettres représentent des longueurs, est Texpression d'une longueur x (4151, Remar^ que 2), et cette longueur peut toujours être déterminée géométriquement, c'est-à-dire a Taide de la règle et du compas : 1" quand l'expression est rationnelle (408) ; T quand, étant irrationnelle, elle ne renferme que des radicaux dont l'indice est 2 ou une puissance de i.
H»4. Construction des expressions rationnelles.
Pour avoir
il suffit, à partir du point 0, ^*8- *^'* d'une droite indéfinie, de
prendre OA = a, AB = 6, ^1 , f BC=r/, CE =— c et EF =— e.
^ A ïî c La distance — OF est la va-
leur de X.
Si Fon a
CONSTRUCTION GéOMÉTRIQUE DES FORVCLES ALGÉBRIQUES. 433
il suffit de construire une 4* proportionnelle aux 3 lignes a, by m (995).
ahcd
Pour
Fig. t68.
enfin une i* proportionnelle
mnp on construit une 4* proportionnelle
CLb
x' = OX'=— aux 3 lignes m = OM,
a = OA , 6 = OB ; puis une 4* proportionnelle x"=OX"= — = — aux n mn
alignes n=ON, a:'=OX', c=rOC, et
ir=Ox= =
ahcd mnp
aux 3 lignes p = 0Ï>, x" = OX", d = OD.
Les constructions précédentes des 4** proportionnelles reviennent simplement, après avoir tracé les deux droites indéfinies DP, OD, k prendre alternativement sur Tune et sur Fautre OA = a, OB = 6, OC = c, OD = d, et de même OM = m, 0N=7i, 0P=|?; à tracer BM, CN, DP, et a mener à ces droites les parallèles respectives AX', XX', X'^x; Ox est la longueur cherchée x.
etc. revenant aux
- a^ aa a» aaa
Les expressions x = — = — ,. x = — ^ = ,
'^ mm' m' mm
précédentes dans lesquelles les facteurs du numérateur deviennent
égaux entre eux, ainsi que ceux du dénominateur, on construira de
même x à Taide de 4*« proportionnelles.
L'expression de x étant une fraction a termes polynômes, on ramène
la construction à celle du cas précédent, en opérant comme il suit :
Soit
k étant une longueur arbitraire, on peut mettre la valeur de x sous la forme
fa^b 4a«6c\ 5a6* 6»c
L'exposant de k étant d'une unité moins élevé que le degré des termes' qu'il divise, on peut construire chaque fraction monôme qui en résulte d'après la règle précédente, ot A, B, M, N étant les longueurs trouvées, on a
4S4 OlKQinÂllfi PAKTIE. -^ GÉOMtTItlE DBS GOVKMS.
Déterminant A 4- B = a et M — N = m , <on «a en défioétive
ha
Et X étant une 4* proportionnelle aux longueurs A:, a, w, on la construira comme ci-dessus.
4 138. Construction des expressions irrationnelles. Le degré d'homogénéité devant être \ (H63), si le radical est du second degré, la quantité placée dessous doit être homogène et du second degré; ainsi, quand eette quantité est fractionnaire, le degré du numérateur est de 2 unités plus Dort que eelui du dénominateur.
X = yjab est une moyenne proportionnelle entre les lignes a et 6 (^96);
X = \/a' + 6' est rhypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés de Tangle droit sont a et 6 (1023);
X = \ja^ — 6* est un des côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle ayant b pour autre côté de l'angle droit et a pour hypoténuse (1022); c'est aussi une moyenne proportionnelle sfô^p entre les deux lignes
a^a+b et g=:a— i». (703)
X = a V^ , d'où x' = 2a', est l'hypoténuse d'un triangle rectangle Y\,r 069 isocèle qui a a pour côté de l'angle droit.
^ j; = yjab + c*. Après avoir construit une moyenne
proportionnelle y — \cib^ on a
X = sjp^ + c'
Pi«.
iîi.__j
x = --=, don xs=--,
est la corde AB qui
sous-tend le quart d'une circonférence qui a a pour diamètre 670:.
2a ^. . • 4tt*
% = Ar. Élevant au carre on a x' = - ,
d'où -; =
ce qui
Fig. 271.
montre que le problème revient à trouver le côté X d'un carré qui soit à un carré donné a' dans le rapport 4 : 3. Sur une ligne MN on porte des longueurs proportionnelles aux. nombres 4 et 3; sur MN on décrit une demi-circonférence; sur AN on prend AC=a, et menant CB parallèle à MN, on a AB = x. En effet, on a
AB : a = AM : AN ou
AB*:a' = AM':AN*=r4:3.
GONSTaeCTIdN GÉOMÉTRKHIE BBS FaEMGLES AtG£aftlUt'£S. 43S
X = --^, d'où -j = s> s'obtiendra encore par la construction précédente.
Si la quantité placée sous le radical est fractionnaire, comme
-y — sn:
faisant, comme au n* 1154, choix d'une longueur arbitraire A:, on écrit
La quantité placée entre parenthèses se réduit alors k une ligne* a, ♦•! le dénominateur à une ligne m; de sorte qu'on a
Ce qui montre qu'il faut construire une 4* proportionnelle «= — (995L
puis une moyenne proportionnelle x^=yjka (990).
Si rindice de la racine était 2* = 4, la quantité placée sous le radical serait homogène et du 4* degré. Soit
Pour construire x, on écrit
Formule qui se réduit, comme dans le cas précédent, à
Ce qui montre qu'il faut construire une 4» proportionnelle u = — ,
puis une moyenne proportionnelle v = ^kû et une autre x = ^kv»
Enfin l'expression de x peut être composée d'une partie rationncUf et d'une partie irrationnelle, telle est, par exemple,
CINQUIÈME PAÏITIE.
Fîg. 27i.
