DIVISION

i8. La diviiion est une opération par laquelle on partage une quantité, appelée dividende^ en autant de parties égales qu'il j a d'unités dans un nombre entier, appelé diviseur; Tune de ces parties est le quotient de la division.

La division revient à effectuer, d'une manière abrégée, une série de soustractions. En retranchant successivement le diviseur du dividende et des restes obteiras jusqu'à ce qu'on obtienne un reste plus petit que le diviseur, le nombre des soustactions effectuées est le quotient.

A9, Il résulte de la définition de la division que le dividende est égal au produit du quotient par le diviseur (31).

PREMIÈRE PÀKTIE. — ARITHMÉTIQUE.

i^O. Un nombre est divisible par un autre, lorsque le quotient de la division du premier par le second est un nombre entier. On dit que le second nombre divise le premier, ou qu'il est diviseur du premier.

51. Tout nombre est divisible par lui-même et par Tunité. Le quotient est égal à Tunité dans le premier cas, et au dividende dans le second.

52. Un nombre est pair ou impair suivant qu'il est ou non divisible pars.

55. Lorsqu'un nombre i2 est un multiple d'un autre 4, le premier est divisible par le second, et réciproquement (49).

54. Le produit de plusieurs nombres entiers est divisible par l'un quelconque de ses facteurs (37 et 53).

55. Lorsqu'un nombre contient tous les facteurs d'un autre nombre, le premier est divisible par le second (36, 37 et 53).

56. Tout diviseur 4, commun a plusieurs nombres 36, 12, 16, divise leur somme 64 (n*' 38 et 53).

57. Tout diviseur 7, commun à deux nombres 42 et 14, divise leur différence 28 (n- 39 et 53).

58. Tout diviseur 5 d'un nombre 35 divise un multiple quelconque 35 X 3 = 105 de ce nombre (38 et 53).

59. Pour diviser une somme par un nombre, il suffit de diviser chaque partie 'de la somme par ce même nombre (32) : ainsi,

60. De même, pour diviser une différence 32 — 12 par un nombre 4, il «uffit de diviser chacun de ses termes par 4 (33) : ainsi,

61. Lorsqu'on supprime des zéros à la droite d'un nombre entier, on le divise par l'unité suivie d'autant de zéros qu'on en a supprimé :

^=85(1." 43 et 86).

^2. Diviser un nombre entier 4 145 824 par un autre nombre entier 845.

Pour diviser un nombre par un autre, on écrit le diviseur a la droite

UYRE I. — OPÉRATIONS FONDÀMElf TALES SUR LES NOMBRES ENTIERS. i3

du dividende, on les sépare par un trait vertical, et on souligne le diviseur. Puis on sépare sur la gauche du dividende juste assez de chiffres pour que le nombre 4 145 qui en résulte contienne le diviseur ; on cherche dans la table des 9 premiers multiples du diviseur combien de fois le diviseur est contenu dans la partie k gauche du dividende, ce qui détermine le premier chiffre 4 à gauche du quotient; on écrit ce chiffre sous le diviseur; on retranche du premier dividende partiel 4145 le produit 3 380 du diviseur par le chiffre obtenu au quotient, ce qui donne un reste 765, à la droite duquel on abaisse, c'est-à-dire écrit, le chiffre suivant 8 du dividende ; on cherche combien de fois le diviseur est contenu dans le nombre 7 658 qui en résulte, ce qui détermine le second chiffre 9 du quotient; on soustrait du second dividende partiel 7658 le produit 7 605 du diviseur par le second chiffre du quotient, ce qui donne un second reste 53, k la droite duquel on écrit le chiffre suivant % du dividende. Le diviseur n'étant pas contenu dans le troisième dividende partiel 532, c'est que le troisième chiffre du quotient est 0. A la droite de 532 on abaisse le chiffre suivant 4 du dividende; on cherche combien de fois le diviseur est contenu dans le quatrième dividende partiel 5324 qui en résulte, et l'on continue ainsi de suite jusqu'à ce qu'on ait employé tous les chiffres du dividende. Le dernier reste obtenu 254 est le reste de la division.

Généralement on se dispense de former les 9 premiers multiples du diviseur. Alors, pour avoir le nombre de fois que le diviseur est contenu dans un dividende partiel 4145, on ne considère que le premier chiffre 8 à gauche du diviseur; on néglige sur la droite du dividende partiel autant de chiffres qu'on en a supprimé au diviseur, et l'on cherche combien de fois 8 est contenu dans le nombre 41 qui en résulte ; 8 étant contenu 5 fois dans 41, il y a lieu de supposer que 5 est le nombre de fois que le diviseur 845 est contenu dans le dividende partiel 4145 ; mais comme en multipliant par 5 le chiffre 4 du diviseur on aura k reporter 2 au produit de 8 par 5, ce qui donnera 42, on reconnaît que 5 est trop fort. En essayant 4 comme on vient de le faire pour 5, on reconnaît que 4 est le 1*' chiffre à gauche du quotient. Alors on effectue le produit du diviseur par ce chiffre, mais en se dispensant de l'écrire, et en retranchant ses différents chiffres du dividende partiel au fur et à mesure qu'on les obtient. Ainsi la division précédente se dispose de la manière suivante :

et, pour l'effectuer, on dit : En 41 combien de fois 8? (essayant 5, en disant 5 fois 8 font 40, et 2, qui résultent de 5 fois 4, font 42, on reconnaît que 5 est trop fort) 4 fois (on écrit 4 au quotient); 4 fois 5, 20; 20 de 25 reste 5 et je retiens 2; 4 fois 4, 16, et 2, 18; 18 de 24 reste 6 et je retiens 2; 4 fois 8, 32, et 2, 34; 34 de 41 reste 7. J'abaisse 8; en 76 combien de fois 8? 9 fois (on écrit 9 au quotient); 9 fois 5, 45; 45 de 48 reste 3

44 PHfim&RK PARTIE. ^ JOOtmwttiQOB.

et je retiens 4; 9 fois 4, 36, et 4, 40, de 45 reste &; 9 fois a, 73, el 4^ M, de 76 reste 0. J'abaJbsse 2; en 5 combien de fois a? il n'y va ]^a9.{«a écrit 0 au quotient). J'abaisae 4.; en 53 eombien de fois 8? $ fois, etc.

fiu«nd le diviseur est trèsrgraad, et que k quotient doit avoir un graoul nombre de chiffres, ou quand on a beaucoup de nombres à diviser par le- même, il y a avantage à diresser la t^te des premiers miltipleB en diviseur. On obtient ainsi sans tàtonnenienl iee chif&es soocesdfs 4b ^pMitient, et Toai évite les nniltip4ications du diviseur par oes cfaîftres. 69 abrège encore Topération en évitant d'écrire les nmltipies du drvieear sous les dividendes pulie&s panr tes mtrancber.

Quand le diviseur n'a qu'un cbîfire, 7 par esempie, on écrit simple» ment le dividende, et, es remarquant que diviser un nombre par 7 c*<i8t en prendre.k septième (1&9),

dividende 174389 qwotient 24912 reste 5,

on dit : le septième de 47 eirt 2 (on écrit 2 an qirotieirt som )e dividende et Ton retient 47—7x2=3); le septième de 34 est 4 (on pose 4 et l'on retient 6); le septième de 63 est $, le septième de 8 est i, le septième de IS est 2, et le Toste de la dlTision est 5.

Remarque 1. Étant donné le dividende 4145824 et le diviseur 84S, si l'on veut avoir tout d'abord le nombre des chiffres du quotient, on sépare sur la gauche do dividende juste assez de chiffres pour que lie nombre 4445 contienne le diviseur, ei le nombre des chiifres restant augmenté de l'unité est le nombre des chiffres du quotient; ainsi ce nombre est 3 + 4 sz4 dans l'exemple proposé.

Kemarque 2. On recomiaît qu'un chiffre écrft an quotient est trop fort, lorsque le produit du diyiseur par ce chiffre est supérieur au di- Tidende partiel correspondant, c'est-à-dire lorsqu'il ne peut pas s'en retrancher. Si la soustraction était possible et qvi(i le reste fût égal ou supérieur au diviseur, cela indiquerait que le chiffre écrit au quotient est trop faible.

65. Pour faive la prewe de la dimstariy on multiplie le quotient par le diviseur, et au produit ajoutant le reste de la division, qui est toujours moindre que le diviseur, on obtient le dividende si les calculs sont exacts (49); amsr l'exemple du numéro précédent doit donner 4906 X 845 + 254= 4145824 (97).

64. Pour diviser un nombre 504 par un produit 42 de plusieurs facteurs 2, 3, 7, il suffit de diviser ce nombre par le premier facteur 2 du produit, le quotient 252 obtenu par le deuxième facteur 3; et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on ait divisé par le dernier facteur 7; ce qui donne 12 pour le quotient cherché'(41).

«K. Lorsqu'on divise un facteur 8 d'un produit 3 x 8 x 5= 120 par un nombre 4, le produit est divisé par ce nombre (42) : ainsi.

LITRE I. — OFÉftAffUHId FOHAàMENTàLBft 6UIL LU NOMBRES ENTIERS. 15

M. Pour dtviMT un prixit/i^ par Vtm de ses fadeum^ il «ti^t de supprimer Ge facleoir dans le fircHlait. £a eibt (65)»

l21|2iË=3x|x5=3xlx5 = 3x5.

67. Quand un produit contient tous les facteurs d'un autre produit, le quotient de la division du premier produit par le second s'obtient en supprimant dans le premier produit tons les facteurs du second (64 et 66) :

08. Lorsqu'on multiplie ou qu'on divise le dividende 54 par un QOiDbrB 3,. sans changer île 4iviseulr ^, le quotie&t 9 e&t multiplié ou divisé par œ nombre r

5*2<i=.9x3=.«. et ^=1=3.

•ft. liepsfu'im nralliplie ou ifu'ûiii divise ie diviaeiir 6 par un DomJ>re3, •tm tàmigerie dividande 34, le gnolûant 9 Mt divisé ou muhipilé par ce nombre:

70. Lorsqu'on multiplie ou qu'on divise le dividende 5i4 et le diviseur 6 par un.même nombre 3, le quotient 9 ne change pas :

6Ki~"^' ** 6:3 ~^*

7A. Du B« 70, îl résulte que lâfsqu'on aperçoit un ou plusieurs fiacteiu» comnuins au dividende et au diviseur, on peuiabréger l'opératiûn en faisant abstraction de ces iaeteurs :

7x3Sr4xg3 32t__ Txl5rx23 ~" 12 ~" •

Il résulte aiussi qve quand Le dividende et le diviseur sont terminés par des seras, on p^it, sans changer le quotient, supprimer à jeur droite le même nombre de zéros (6i et 70) :

n. Tautdiviaeiire, c«iBiinin au dividende 4a et au diviseur 18, divise le reste 12 de leur division; et tout diviseur cemmun au diviseur i& ^ vu lerte i^ de la drvisisnL, divise le dividende 48.

IX (Lonqsi'Dtt DMiH^iîe ou qu'on divise 4e dividende 48 et le diviitior <t9 far ua même nsmibre 6, le quotient ne /change pas ; nuda le ri&ste estixniltipiié «u dinité par-ce nombre.

74 Lorsque le dividende 48 augmente ou diminue d'un certain nombre de fois le diviseur 9, le quotient 5 augmente ou diminue du même nombre de fois Tunité; mais le reste 3 de la division ne change pas.