CONSTRUCTION GÉNÉRALE DES COURBES REPRÉSENTÉES PAR DES ÉQUATIONS
1156. Étant donnée une équation entre deux variables x et y, si Ton considère ces variables comme étant des coordonnées, chaque couple de valeurs réelles de a; et y qui satisfont à Téquation détermine un point; or, Ton conçoit qu'en faisant varier x d*une manière continue entre certaines limites, l'équation sera ordinairement satisfaite par des valeurs de y réelles et continues, et qu'alors on obtiendra une suite continue de points, c'est-à-dire une ligne. Ainsi, en général, une équation entre deitx coordonnés représente une ligne (1141).
1157. Pour déterminer les points de la courbe, on prend ordinairement les valeurs de x en progression arithmétique (328), et l'on calcule celles correspondantes de y. C'est surtout quand la fonction est une fonction algébrique entière (408, 464) qu'il y a avantage à prendre cette précaution, parce qu'alors on peut, pour abréger les calculs, faire usage des différences des valeurs de y pour calculer ces valeurs.
Soit, par exemple, à construire l'équation y = eue* + 6, dont la forme se rencontre dans les équations relatives à la détermination de la courbe qu'affecte la chaîne des ponts suspendus. Supposant qu'on a
a = 0,1 et 6 = 1, d'où y = 0,li* + l,
le tableau suivant montre qu'en donnant successivement à x les valeurs 0, 1, 2, 3..., les valeurs qu'on obtient pour y sont telles qu'en prenant leurs différences premières 0,1, 0,3, 0,5..., puis les différences secondes entre les différences premières, ces différences secondes sont égales. Alors faisant successivement a; = 0, a; = l et « = 2, ce qui donne respectivement y = 1, y = 1,1 et y = 1,4, on a les deux différences premières 0,1 et 0,3, puis la différence seconde constante 0,2. Cette différence seconde ajoutée à la dernière différence première obtenue donnant la suivante, et chaque différence première ajoutée à la valeur précédente de y donnant la valeur suivante, on voit que par de simples additions successives on obtient les différences premières, puis les valeurs des ordonnées.
abscisses rc. . . 0 1 2 3 4 5 6 7 8...
ordonnées y. . 1 1,1 ^,4 1,9 2,6 3,5 4,6 5,9 7,4...
différences l**'. 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5... différences 2-~ 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2...
Les valeurs négatives de x fourniraient les mêmes valeurs pour y.
aNQ€1ÈIIB rARTIE. — CtonirWE l>C8 COCKM».
Fi«. 274.
Selon que la fonction est du 2% 3% 4r.. degré, les difiërenees constantes sont respectivement les difiFérences secondes^ troisièmes, quatrièmes, etc., que Ton obtient en calculant, à l'aide de Féquation, 3, 4, 5... ordonnées, et en prenant les diflPérences successives. Ayant la différence constante, on remonte aux autres différences et aux valeurs des ordonnées en opérant comme ci-dessus.
1158. Au lieu de calculer toutes les ordonnées pour construire la courbe y = ûx* + 6, on peut ne calculer que les trois premières ordonnées équidistantes AO, BP, CQ; mener les parallèles AF, BG k Taxe Ox, ce qui détermine les deux premières difWrences premières BH, CG, et prolonger AB, ce qui donne la différence seconde constante CC=CG — C'G = CG — Bn. Pour avoir la quatrième ordonnée DR, on prolonge BU josqu'en D', et l'on prend »'D = CC. On détermine de la même manière la cinquième ordonnée ES et tontes les suivantes, et raccordant tous les points A, B, G, D... par une courbe, elle est la représentation de l'équation y=:az^-\- à.
1189. Fonctions empiriques. Dans !a pratique, il arrive journellement que des observations ou des expériences fournissent une série ie couples de \Tilettr9 correspondantes de deux variables, sans qu'aucnne é^ation algébrique puisse représenter la lei qui lie les deux varia}>les. Dans ce cas, prenant les valeurs de Tune des variables pour abscisses, et celles correspondantes de Tautre variable pour ordonnées, en raccordant pour une courbe continue les points qu'on obtiendra, si ce» points sont suffisamment rapprochés, cette courbe représentera avec une exactitude suffisante la loi inconnue qui lie entre elles les deux variables. Ainsi elle en sera une image bien sensible; elle permettra d'obtenir la valeur de Tune des variables correspondant à une valeur donnée de l'autre variable, intermédiaire h deux valeurs successives fournies par Texpérience, et de résoudre ainsi approximativement le problème d'interpolation; si elle a une analogie sensible avec une courbe connue, elle pourra permettre de relier les deux variables par une équation ou formule, dite empirique; enfin si elle offre quelque anomalie qui rompe sa continuité, cela indiquera quelque erreur dans les expériences.
lAOSE DnOITE.
H 60. n équation générale de la ligne droite en coardounée» rtKppor^ iées à des axes rectangulaires est
En effet, soit une droite quelconque AB sttuée dans le plan des axes rectangulaires Ox, Oy. 0*an point quelconque M de cette droite abaissons une perpendiculaire MP à Oa:; elle détermine les
Fig. «7$.
UGNK DROITE. 439
coordonnées MP = y et DP = a; du point M. ^m 1b poinl C, où AB ren<^ contre Taxe Oy, menons CD parallèle à Taxe Ox.
Dans le triangle rectangle CHE, on a (112il) ME = CE x iang BCD.
Àjoutaat £JP aux deux membres de ceile équaliiOB, 6Ui9 devient
ME + E'P = CE X tang BCD + EP.
Remarquant : i* que ME -f EP = y ; SI** que Tanglc BCD que la droite fait avec CD ou avec Taxe Ox est constant, et que par suite sa tangente, q«io Ton peut représenter par a, appelé eoejicient emplâtre ou de direction, est aussi constante; Z" que CE = x; 4* que EP = OC est égaJ<^ ment constant et peut <^tre représenté par 6, qu'on appelle Y ordonnée à VorigtTie, Téquation précédente prend la forme
y = ox -h 6,
qui est bien Téquation de la droite, puisqu'elle a été établie pour un point quelconque de cette droite, et en ayant égard aux signes dos (iiverses quantités qui y entrent.
Remarques :
r* Lorsque la droite AB passe par Torigine 0, l'ordonnée à Torigiiu» OC = 6 = 0, et réquation de la droite devient
y=aax;
2* Lorsque AB est parallèle à Ox, Tan^lo BCD est nul; on a aloi^* tang BCD = a = 0 (1094), et réquation de la droite devient
3* Dans le cas où Ton a en o^^ême temps ar=o et 6=: 0, réquation de la droite devient
gr = 0;
ce qui indique que la droite se confond avec Taxe des x;
4* Si la droite était parallèle à Taxe des y ou se confondait avec («^l axe, on obtiendrait son équation en changeant y eux dans les deux dernières équations, ce qui donnerait respectivement x = 6 et x = 0, b ne serait plus ici Tordonnéc k Torigine, mais bien Vabscisse à torigine, c est-ft-dire la distance à Torigine du point où la droite rencontre Taxe des x ;
5* On voit que Véqua/lion d'une droite est du premier degré (470).
Réciproquement, toate équation du premier degré entre deux variables est téquaiion d'une droite. C'est pourquoi les lignes droites sont appelées lignes du premier degré.
1161. Équation dune droite d'ujie inclinaison donnée a, et passant par un point dont les coordonnées sont x' et y'.
Pour le point (x', y'), on a
y'ssaa^ + ^v d'où b:s:y'^aaif.
Substituant cette valeur de b dans réquation générale y = ox + 6, on
440 CinaUIÈMB PARTIE. — GÉOMÉTRIE DBS COURBES.
a pour réquatioD demandée
1162. Équation d'une droite passant par deux points donnés (x', y"), (x", y''), a étant le coefficient angulaire inconnu de la droite, le point (x', y') donne (1161)
Cette équation doit être satisfaite en y faisant ys=zi/' eix^zjf^ ce qui donne
Éliminant par division a entre ces deux équations , il vient pour réquation demandée
y —y' xj-x[ y"-y'~a:''-a:''
SI Fun des points est sur Taxe des x, et Tautre sur Taxe des y, c'està-dire si Ton a x* = p, y' = 0 et y" = g, x'^ = 0, Téquation de la droite devient
Î^ = ÎZI£ ou î+i^ = l.
Si Tun des points est l'origine, si, par exemple, on a y" = x'' = 0, il vient pour l'équation d'une droite menée de l'origine à un point donné (x', y')
1163. Intersection de deux droites données par leurs éqtuUionSm Deux
lignes quelconques, droites ou courbes, étant données par leurs équa*
tiens, en résolvant le système des deux équations en prenant x et y
pour inconnues, qui cessent d'être des variables indéterminées, les
valeurs obtenues sont les coordonnées des points d'intersection des
lignes. On trouve ainsi pour le point de rencontre de deux droites
6' — 6 ab'^a'b
x= ; et y = r"«
Réciproquement^ ayant à résoudre un système de deux équations à deux inconnues, si l'on parvient à construire graphiquement les deux lignes représentées par les deux équations, les coordonnées de chaque point d'intersection seront une solution du système (534). .
1164. Deux droites perpendiculaires entre elles faisant avec Taxe des s deux angles dont la difiërence est égale à 90«, les tangentes de ces angles donnent la relation du n* 1110; d'où il résulte qu'on a
aa' = ^l ou aa' + 1=0*
CIRCONFÉRSMGE. 44|
