CIRCONFÉRENCE
116». Là définition de la circonférence (628) peut être exprimée en coordonnées polaires. En effet, si Ton pose (1U2)
p = aa + r,
et qu'on fasse a= 0 et r constant, on voit que, quelle que soit la valeur de a, on aura toujours
équation qui satisfait à tous les points d'une circonférence ayant l'origine 0 pour centre et r pour rayon.
1166. Equation générale de la circonférence en coordonnées rappor- Fig. 176. tées à des axes rectangulaires (1141).
Soit M un point quelconque de la circonférence
centre et r le rayon. Soient MA = y
. = x les coordonnées du point M, et £B = q
\=p les coordonnées, qui sont constantes,
du centre G.
\^^/ etOB=ples
^ Dans le triangle rectangle CDM on a (704)
MD* + CD* = r«.
MD = y-g, ou MD' = y» + 9*-2gy; (702)
CD = X — p, ou CD* = X* + p* — îpo:.
Remplaçant MD* et CD* par ces valeurs dans celle de r*, il vient
y* -h X* — %qy — 2px + çr« -f p« = r», ou y* — 2çy = r* — x* + 2j)X — g»--p*;
d'où y = Ç ± ^g« + yi — X» 4- 2px — 9*— p". (526)
Telle est l'équation générale de la circonférence en coordonnées rectangulaires.
Lorsque E est l'origine et que EC est l'axe des x, on a ç = 0 et p = r ; l'équation devient alors
y* -f X* — 2rx + r» = r«,
ou y»==2rx — X*, d'où y = d=|/2rx — x».
Si le centre du cercle est l'origine, on a à la fois g = 0 et p = 0, et il vient
, y» + x« = r», d'où y = ifcv'^« — X».
On voit que, dans chacun des trois cas que nous venons d'examiner, à cbacune des valeur de x correspondent deux valeurs de y; ce qui
442 GL\QU1È)IE PARTIE. — GIUmIÉTRIE DES COURBES
devait être, Féquation de la circonférence étant du second degré. De plus, dans les deux derniers cas, les deux valeurs de y sont égales et de signes contraires; ce qui indique qu'alors la courbe est symétrique par rapport à Taxe des x.
1 167. Mener une tangente à une circonférence par un point M pris ^ j^ ncr cette courbe. On mène le rayon OM, et la
perpendiculaire AB k rextrémité de ce rayon est la tangente demaadéc.
Il suffît de prouver que AB n'a que le poiot If commun avec la circonférence, c'est-à-dire qu'un point quelconque C de cette droite, autre que M, est situé hors du cercle. Or, en menant OC, cetli droite est une oblique plus grande q/oe la perpendieulaire OMs qui: est UA ra^yoa; donc le point G est situé hors du cercle, et AM est bien tangente à la circonférence.
1 168. Puisque ÂB est tangente à la cireoa£érence, tous ses points, excepté M, sont situés hors du cercle; donc une droite quelconque OG est plus grande que OM; donc le rayon OM mené au point de contact est perpendiculaire à la tangente (583), et par suite à la circonférence (647). Ainsi, pour mener une normale en umi point de la circonférence^ il suffit de joindre le centré à ce point,
1169. Mener une tangente à la circonférence par un point M pris hors du cercle.
On mène MO; sur cette droite comme diamètre Fig. «78. ^^ décrit une circonférence, qui rencontre la cir-
conférence donnée aux points T, 7', et traçant MT, MT'i ces droites sont tangentes k la circonférence proposée.
En effet, menant les rayons OT, OT', chacun des
angles OTM, OT'M est droit comme étant inscrit
dans un demi-cercle (654), et les droites MT, MT', perpendiculaires
aux extrémités des rayons OT, OT', sont bien tangentes k la circonfér
rence (1167).
ELLIPSE
1170. Vellipse est une courbe telle, que la somme MF 4-^^, des distances de chacun de ses points k deux points fixes on foyers F, F', est une quantité constante {^g. 279).
On voit que l'ellipse se définit par son équation en coordonnées fi»r cales (1143), équation qui est, en désignant par les variables p et p' les rayons vecteurs de chacun des points àe la courbe^, et par 2a la somme constante de ces rayons vecteurs,
i 171. De môBie que pour la circonférence (6SI9), une peftiea ûé l'et*
SLLIFSE.
lipse est un arc^ et la droite qui ioint les extrémités de r*rc est une corde,
Suf une eDipse, et en général sur une courbe quelconque, on nomme arc d'un degré, un arc tel que les normales menées à ses extrémités font entre elles un angle d'un degré.
La corde AA' qui passe par las deux foyers est le grand axe de rellipse.
La corde Mf perpendiculaire au milieu du grand axe est le feiit axe de Tellipse.
Le point de rencontre 0 du grand et du petit axe est le centre de Tellipse.
Toute corde qui passe par le centre est un diamètre de Tellipse.
Les extrémités A, A', B, B' des axes sont les sommets de TeUipse.
1 172. Les foyers sont également distants : i"" des sommets^ AF = AT' et AF' = A'F; 2» du centre, OF = OF'.
I*" Les sommets A et A' apparteasnt à Tellipse, les sommes de leurs rayons vecteurs sont égales chacune à la quantité constante 2o (1170), et par suite égales entre elles ; donc
AF + AF' ou 2AF + FF' = A'F' + A'F ou 2A'F' -f F'F.
Retranchant FF' des deux membres de cette équation, on a
2AF = 2A'F\ d'où AF = A'F'. et par suUe aussi AF' = A'F.
r Ayant OA=:OA' et kF — X'f, on a aussi OA — AF = OA'— A'F'
ou OF = OF'.
H 75. La somme constante 2a des rayons vecteurs est égale au grand aje.
Puisque le point A appartient k Fellipse, on a
AF + AF' = 2a.
Remplaçant AF' par son égal A'F, on a bien AF + A'F ou AA'5=Ski,
1 174- Équation de rellipse en prenant pour axes coordonnés le grand et le petit axe de la courbe (1173).
Soit 2a = AA' le grand axe, et 2c = FF' la distance des foyers. Oa a toujours 2a > 2c ou a > c.
Dans les triangles rectangles MPF' et MPF, on a respectivement (704;
MF* ou p'« = MP* + PF'*, et MF* ou p« = îff" + W*.
Gomme on a
MP = y,
PF' = OF'+OP = c + x, ou PF* = c» + x« + 2ca:, (701)
et PF =0F— OP = c— z, oa PF* =c« + a:*— «ex, (702f substituant ces valeurs dans celles de p'* et de p*, il vient
p'« = y« + x« + c» + 2ca; et p« = y* + a:» + c« — 2cx. (a) Retranchant membre à membre ces deux équations, on a
pi pt ou (p' + p) (p' - p) = 4ca; ; (703)
d'où Ton tire
4ca:
ter, a
Ajoutant membre à membre cette équation
et celle
il vient
ex
é*x^ et par suite p'« = — ^ + a* -h 2cx. (701)
Égalant cette valeur de p'* à sa valeur (a), on a, après avoir chassé le dénominateur a*,
aV + û*îc* + aV + 2a»cx = cV + a* + 2a'ca:,
ou, en supprimant le terme 2a*ca: commun aux deux membres, et en .réunissant les termes en x^ et ceux en a',
Représentant par 6* la quantité constante a^^d* (1177), on obtient pour Véquation de la courbe
aV + 6V=a«6», ou 2! + ^ = l;
d'où y = db-v^a» — x«. (525)
Ce qui fait voir qu'à une même valeur de x correspondent deux valeurs égales et de signes contraires pour y, et que par conséquent la courbe est symétrique par rapport à Taxe des x. En tirant la valeur de X en fonction de y, on verrait qu'à une même valeur de y correspondent aussi deux valeurs égales et de signes contraires pour x, et que par conséquent la courbe est encore symétrique par rapport à Taxe des y (1182).
117». Dans le cas où a = 6 = r, Féquation de l'ellipse (1174) devient
BLUP8K. 445
ce qui n'est autre chose que Tëquation d'une circonférence (1466). Ainsi la circonférence est un cas particulier de Tellipse, dans lequel les deux axes a et 6 sont égyix au rayon r. Par suite, les propriétés de l'ellipse s'appliquent à la circonférence.
1176. Les droites BF, BF', qui joignent Us extrémités du petit axe Pig. Î80. aux foyers; sont égales chacune au demi-grand
axa.
Ces droites sont égales comme obliques qui s'écartent également du pied de la perpendi- ]j^ culaire BO (583). De plus on a
BF + BF ou 2BF = %a; donc BF = a.
1177. Ayant BF = a, OF = c, si l'on représente le demi-petit axe OB par 6, le triangle rectangle BOF donne (704)
Ainsi, dans Véquation de V ellipse (1174), la quantité constante b est le demi-petit axe
1178. La distance FF' = 2c des foyers est appelée distance focale^ et
le rapport ~ = - de la distance focale au grand axe se nomme l'ex-
centridté de Vellipse*
L'excentricité de l'ellipse est toujours comprise entre 0 et 1 ; à la limite 0, l'ellipse est une circonférence, et à l'autre limite 1, ]a courbe s'est aplatie au point de devenir une ligne droite finie qui joint les foyers.
Les orbites que décrivent la terre et les autres planètes sont, abstraction faite des petites perturbations qu'elles éprouvent, des ellipses dont le soleil occupe l'un des foyers, et dont les excentricités, qui sont assez petites, ont les valeurs suivantes pour les planètes principales :
Mercure 1 Vénas 1 La Terre 1 Mars I Japiter 1 Saturne |Uraaiu| Neptune 0^206 606310,006 861skoi679226|o,0932168io,048 1621 |ok0561505|o,0466|o,008 7195
Junon est la planète dont l'orbite a la plus grande excentricité ; elle donne - = 0,256.
L'orbite de la terre a environ 153 493 000 kilomètres de demi-grand axe et 153 454000 kilomètres de demi-petit axe.
D'après la première loi de Kepler, un rayon vecteur mené du foyer occupé par le soleil à la planète, et qui se meut avec la planète, décrit des aires c^ui sont proportionnelles aux temps.
1179. Etant donnés les foyers et Vun des axes de V ellipse^ trouver taxe inconnu.
r AA' étant le grand axe et F, F' les foyers (1171), la perpendiculaire BB' menée à AA' par le milieu de cette droite représente la dircc-
Fig. 281.
tîon du petk axe, et d'un foyer ¥ comme centime, arec OA =: « pour rayon, décrivant ub arc de cercle, il rencontre BB' en des points B et B' qui sont les extrémités du petiit axe (417^).
T Si le petit axe BB' et les foyers F et F' étaient donnés, ponr avoir le gra»d ane, il suffirait de porter, à droite et à ganche du point 0, sur FF', la (UsUnce BF = a.
il80. Étant donnés les axes AA' et BB' d'une ellipse^ trouver ses foyers. De Tune des extrémités B du petit axe, avec le demi-grand axe OA = a pour rayoft, décri^iaat u« arc de cercte, il coupe AA' aux points F et F' qui sont les foyers de l'ellipse (1476).
il81. L ellipse est le lieu géométrique des points dont la somme des rayons vecteurs est égale au grand axe %a (566, 4173).
4° M étant un point situé hors de Tellipse, on a MF 4- MF' > 2a.
En effet, menant CF, le point C appartenant à l'ellipse, on a CF + CF' = 2a. Remplaçant CF par la quantité plus grande MC 4- MF, on a bien
MF+MC+CF' ou MF -h MF' > 2a.
2* Le point M' étant situé dans Fellipse, on a M'F + M'F' < 2a. Car, menant CF, lo point C appartenant à l'ellipse, on a CF +CM' -f M'F' = 2a. Remplaçant CF + CM' par la quantité pins petite M'F, on a
bien
Corollaire, Les réciproques des 4° et 2" sont vraies.
H88. Le grand et le petit axe divisent chacun V ellipse en dent parties égales et symétriques.
f M étant un point de Tellipse, son s>-métpiqite M' par rapport au grand axe AA' fW8) appartient aussi à l'ellipse. C'est ce qui résulte de l'équation de la courbe (4474); du reste, les deux triangles rectangles égaux MPF, MW donnant MF = M'F, et ceux MPF' et M'PF' donnant MF' =:: MT', on a
M'F + M'F' = MF + MF' = 2a, et le point M' appartient à l'ellipse (4^81). De Ik il résulte ^ne si Ton fait tourner la partie AMA' de l'ellipse autour de Taxe AA', elle viendra coïncider avec la partie AM'A'; donc elle lui est égale et symétrique.
2* Le point M", symétrique de M par rapport au petit axe BB', appartient aussi k l'ellipse. C'est ce qui résulte paiement de l'équation de la courbe, et ce que l'on peut encore établir de la manière suivante. Ayant OP = OP' comme quantités égales chacune à QM = QM", et 0F = ÔF', il en résulte qu'on a FP'= F'P et FP = F'P' ; coniifte de plus MP =MT', les deux triangles rectangles égaux MPF', M"PT donnent MF' = M'^F,
ELUPSE.
et les deux autres triangles égaux MPF, M'T'F' donnent IfF =±:M'T'; d'où il résulte qu'on a
M"F 4- M'T'== MF' + MF = 2a;
donc M" appartient à Tellipse, et celle-ci est bien aussi divisée en doux parties égales et symétriques par son petit axe. 1185. Le centre de V ellipse divise ions les diamètres en deux parfips
égales.
Le point M appartenant à Telllipse, prolon- .geanl MO d'une quantité OM' = OM, et menant MF, MF', M'F et MT', dans le quadrilatère MFM'F' les diagosales se coupant mutuelleihcnt en deux parties égales, le figure est un parallélogramme (624), et on a
MT + MT' = MF + MF' = 2a;
donc le point M'est sur l'ellipse (1181), et MM' est bien un diamètre divisé au point 0 en deux parties égales.
1184. Tout diamètre MM', autre que le grand et le petit axe^ divise l'ellipse en deux pai iies égales, mais non symétriques par rapport à ce diamètre (829). Amenant la partie MBM' sur la partie M'JJ'M, en la faisant tourner autour du point 0 jusqu'à ce que le point M vienne en M' et le point M' en M, si l'on considère un diamètre quelconque BB', après ce mouvement, la partie OB coïncidera avec la partie OB', puisque l'angle BOM = B'OM', et comme OB = OB', le point B tombera en B', Le point B étant quelconque, on voit que tous les points de la partie MBM' viendront se placer sur la partie M'Blïl.; donc tout diamètre divise l'ellipse en deux parties égales.
1180. De l'équation de l'ellipse (1474), on tire, pour un point quelconque M,
ou ; , f, r:
ou, en remarquant a— ar=AP,
que a + x=rA'P et
APxA'P '^ c^'
Ce qui montre que le rapport du carré cTune ordonnée au produit des segments
correspondants du grand axe est égal au rapport des carrés du petit et
du grand axe^ et que^ par suite, il est constant. Pour un autre point, on aurait
donc
AP'xA'P'
y» AP X A'P
^ ■" AP'xA'P'*
Ainsi, les carrés des ordonnées sont entre erix comme les produits des segments correspondants du grand axe.
De réqualion de Tellipse on peut conclure, par la même marche, que les abscisses et les segments correspondants du petit axe jouissent des mêmes propriétés :
x^ a» X» BQ X B'Q
BQ X B'Q " 6* ' X'» " BQ! x B'Q'*
1186. Décrivant une circonférence sur le grand axe comme diamètre, et menant les ordonnées correspondantes quelconques MP = y et CP = Y de Tellipse et de cette circonférence, on a •
Fig. 285.
Il ^
En effet, le triangle rectangle OPC donnant ÔG* — OP«=CP* ou a» — x« = Y*,
substituant dans Téquation (a) du numéro précédent, on a
^— = — ou — = — .
Décrivant une circonférence sur le petit axe, on prouverait de même qu'on a
MQ DQ
1187. On conclut de l'égalité (a) du numéro précédent que toute
Fig. 286.
ellipse ayant 2a et 2b pour aoces^ peut être considérée comme étant la projection d'un cercle de diamètre 2a sur le plan de Vellipse, et de Tégalité (6) que tout cercle de diamètre 2b peut être considéré comme étant la projection sur son plan de diverses ellipses ayant le petit axe commun 2b.
Considérations desquelles découlent dir verses conséquences intéressantes relatives aux cordes supplémentaires , aux diamètres conjugués, aux parallélogrammes circonscrits, et à Faire deTellipse (1205).
Ainsi rellipse ABA'B', qui a AA' = 2aet BB' = 26 pour axes, est la projection d'un cercle aba'b' ayant 2a pour diamètre et dont le plan fait avec celui de l'ellipse un angle 6 dont le cosinus est - . En effet, le diamètre aa' étant parallèle au plan de l'ellipse, il se projette en vraie grandeur suivant AA', et pour un point
ELLIPSE
quelconque m, la perpendiculaire mp k aa's. pour projection UP^mp cos 6 = mp X - ; d*où il résulte que M appartient bien k Feilipse qui
a AÂ' pour grand axe et BB' = bb' cos 6 == aa' x ~ pour petit axe.
Chacun des éléments mp du cercle ayant pour projection sa surface multipliée par cos 6, la projection totale du cercle est égale à la surface du cercle multipliée par cos 0. Gela est vrai, non-seulement pour la projection d*un cercle, mais aussi pour la projection d'une surface plane quelconque.
Menant un diamètre quelconque de du cercle, et les deux cordes cd, ce, qui sont perpendiculaires entre elles (654), les diamètres mm\ nn\ qui passent par les milieux i et h de ces cordes, sont aussi perpendiculaires entre eux, et ils partagent chacun en deux parties égales toutes les cordes parallèles à Tautre. De plus, les tangentes en m, n, m', w forment un carré circonscrit rsiu.
Projetant les droites dont il vient d'être question sur le plan de l'ellipse, en représentant les projections des divers points par les mêmes lettres, mais majuscules, les cordes CD, CE qui partent d'un même point C de la courbe et aboutissent aux extrémités d'un même diamètre DE sont appelées cordes supplémentaires ; les diamètres MM', NN' sont parallèles k ces cordes, et ils partagent chacun en deux parties égales toute corde parallèle à l'autre, propriété qui leur a fait donner le nom de diamètres conjugués; de plus le carré rstu a pour projection le parallélogramme circonscrit RSTU, dont les côtés sont parallèles aux diamètres conjugués MM\ NN', passant par les points de contact; enfin le carré rstu étant constant, sa projection RSTU conserve la même surface» qui est 4a* cosO = 4a' > = 4a6.
H88. Ainsi^ dans une ellipse y tout diamètre MM' qui divise une corde KM en deux parties égales, divise de la même manière toutes les cordes NN', BB'... parallèles à la première, et deux diamètres MM' et NN' de l'ellipse sont dits conjugués, lorsque chacun d'eux divise en deux parties égales les cordes parallèles à l'autre.
i 1 89. Étant donné un diamètre MM' {Jig. 287), tracer son conjugué. On mène une corde CC parallèle à MM', et traçant le diamètre NN* passant par le milieu D de CC, il est le conjugué de MM'.
Lorsqu'on aie grand axe de Feilipse {fig, 288), menant par son extrémité A une corde AB parallèle à MM', joignant BA', le diamètre NN' mené parallèlement à BA' est le conjugué de MM' (1187). Cette construction est plus simple que la précédente.
FIg. Î88.
iSO
ii9fà. Étant donnée une ellipacy détemmier : i* son centrerai* sesasces, 3* ses foyers r Menant de«x eorddS' parallèles GC, D9^(^^. 299), la étfoite EW qm joint les milieux de ces cordes est uit diamètre,'dont iô mîfien ^ esrt le' centre de rbllljwt^ 2" Du centre 0^ diécûvaiU, avec ua rayon sufiîsamment gcand.» une cipconiërence^ q,ui coupe rcllip^e en qi^tre poialâ^ la. dnoUe qui joint les poiaU d!mleEaectioai G^ £ al ia,.UttûJte GE* étant respectivement parîillèles au ^rmâ et au petit axe, ou peut mener oes a?(ies« 3* Ayant les axes, ou àélecnûoo les loyer» (Kimme au n* 1180.
1191. Pour déterminer le centre d'un arc d'ellipsle, on in&Brit dans cel arc deux cordes piurallèles ; on joint les milieux de ces cordée, et la droite qui en résulte étant dans la direction d'un diauiètre^ elle passe par. le centre. Inscrivant deux nouvelles cordes parallèles entre uUes, mais non aux premières, la droite qui joint leurs nûlioux passant en^ core par le centre, elle vient couper la première direction de diamètre en ce poiat.
Dan» le cas où Tare aurait assez d'étendue pour que la circouféreacr GEE' {Jîg, 289) put le couper en deux points G, E bu G^ E', on pourrait tracer ou Is grand ou le patit axe, et menaat par le centre unjs perpendiculaire à cet axe, on aurait la direction du second axe.
iid2. On déduit du n** 1486 im moyen facile de tracer Vellipsepar points. Décrivant dos circonférences sur les axes coounc diamètres (fig. 285) , menant le rayon quelconque OC, et parle» points G et D traitant dos parallèles aux axes, ces parallèles se rencontrent au point M appartenant à Tcllipse. En effet, Ml> étant pavaHèle&OP, on» a
Or Ton ccmçoii qWi» peut détûrmiiiar ainsi autant de points que 1 on veu4'de FeUipse, et pac suite ia tiafior en raeoordant ces points fllil). 1195. AvM^ tracé de Vellipse par |90tn^^(1192).
ÂÀ' étant le grand axe d'une ellipse dont F
et F' sont les foyers, pour tracer cette ellipse
par. points, des foyers F et F' comme centres,
avec un rayon Âm qui peut varier de AF à AF'
on; décrit deux arcs de cercle ; puis des mêmes
centres F., F', avec un rayon égal à A'm, qui
varie en seus contraire du premier de AT à
A'F', de,manière que Ton ait Am+ A'm= AA'=2a,
on décrit deux arcs de cercle qui viennent res*
activement reuper duacua des premiers en deux points D, D' et G, G',
qui^ent des ipeinte de Teilipse. En efi'et, Fun quelconque de ces points,
G par exemple, donne bien CF4-CF'=Am + A'm=2a (1181). Ou peut
Fig. 290.
£UaPS£.
4St
déterminBr ainsi autant de points, que Toq vemkde.VclUpie, et^tmcwt
una courbe qui raccorde tous ces pointe, elle ftounu 4te «onaidéii^
comme éfont TeUipae demandée.
UM. l^acê m du Jardimer, aiû&i appelé par^ega^, eoib.inr on
uaagp poui: donner a.de& partetras la. ^rrm
ellJ4ptique.
M' étaatle grand axe^ et. F, F 1m ftyiiw, on fixe ea F, F' le& axlfémité» à^mcméBm FMF'dont laJongueur FM + MF' est égale au grand axe M'. Faisant alors gliwerfe long du cocdeaii^ dont on. tient toujours également tendues, jes. deux. parties variables et de somme constantaMLF, MF', une pointe si Ton opère sur le terrain, ou un crayon si Ton trace sur un corps.dur^ cette poÎAte ou ce crayoa déCTipaTellipse d'un, mouvement continu. La somme des rayons vecteurs étant égale à lalongueurAA' du coïdeau pour toutes les positions. de la pointe ou crayon M, la courbe est bien une ellipse. i I9i$. Tracé de V ellipse à ratât d'une règle.
Marquant sur Taréte CD d'une règle mince trois points C, E, G, tels que Ton ait CG = OA = a, le demi-grand axe^ et.l«r= 0B = 6 le dcniL-petit axe, d'où CE = a — 6; faisant mouvoir la règle de manièffe que le pointE reste constamment sur AA', et celui G surBBV le point G se mouvra sur l'eilif se ayant AA' et BB' pour axes. On pourra: ale^s marquer autant de points qu'on voudrit d^ rellipse,.et par. suUe tracer, la courbo.
Ce moyen est employé, pour tracer les eUipses d'intrados et d'extrados des YoCUes de>-ponts appareillés en ellipse*
Le poi»4<; appartient bien à l'ellipse; car, menant CH parallèle àO\
on a ' '
GP CE y ^ n . b
Fig. 192.
d'OJ
iiilU'
Si du. point G comme centre, avec CE=a— 6 peur ra^von^ on a,v«ûl décarit im ace de. cercla, on aurait déterminé le point E, ot en joignant CE, puis prolongeant d^une quantité KG = 6, on aurait égalmueut ob^ tenu le point G.
i!9«. Le compas à ellipse, fondé sur le principe du numéro précédent, permet de tracer l'ellipse d'un umu^mflnt contina. Il est form^de dem cùiiliasts assemblées d'équeirre, de oaaAière.qitet lounr. axes puissent à la faiscoïnci^teravac lœ.dMs: aaee M'ct BB' de l'ellipee a.tracer, e« dime règle CD garnie de deux,ow«uf» E,. G♦qll«.^ Ton peut fuer en datwa.pointSi qiieteoitqiid8i4<i: la règle. Le curseur E porte une patte à pi^t*
CINQtlÈME PARTIE. — GÉOMÉTRIE DES COURBES.
qui peut glisser dans la coulisse AA', et celui G une pointe ou un crayon qui trace la courbe quand on fait mouvoir la règle CD. A rextrémité C de la règle se trouve un support à pivot qui glissQ dans la coulisse BB'. Ayant fixé les curseurs E et G de manière que Ton ait CG=:OA et EG=:OB, si, après avoir fait coïncider les axes des coulisses avec les axes de Tellipse, on fait tourner la règle CD, le point C restera toujours sur Taxe BB' et celui E sur Taxe AA', et Ton conçoit que le point G décrira rcllipse.
ii97. Au lieu d'espacer les points sur Taréte de la règle comme au n* 4495, on peut prendre GC = 6 et GE = a. Faisant mouvoir la règle de manière que C reste sur le grand axe et E sur le petit, le point G décrira Tellipse.
En effet, les deux triangles semblables GPC et GQE donnent
