CP EU
GC
■ ™ ou ■ ^ . = -. (4474) GE ^à^—x^ û
1198. Mener une tangente à V ellipse par un point M pris sur la courbe. On mène le rayon vecteur MF', et celui MF que Ton prolonge de MC = MF'; on joint CF', et la perpendiculaire TP abaissée du point M sur CF' est tangente à Fellipse, c'est-à-dire qu'un point quelconque M', autre que M, pris sur TP, est situé hors de Tellipse.
En effet, joignant M'F, M'F' et M'C, le triangle MCF' étant isocèle, la droite MP est perpendiculaire sur le milieu de CF', et l'on a M'F' = M'C. Dans le triangle FCM', on a M'F 4- M'C ou M'F + M'F' > CF ou MF + MF' ou 2a; donc le point M' est situé hors do rcllipse (4484), et la droite TP est bien tangente au point M. Bemarqiie, La tangente TP divise en deux parties égales les angles formés par chacun des rayons vecteurs avec le prolongement de l'autre. En effet, le triangle F'MC étant isocèle, la perpendiculaire MP divise bien l'angle F'MC ainsi que son opposé au sommet FMC chacun en deux parties égales.
il 00. Mener une normale à Vellipse en un point M [fig. 295).
On joint M aux foyers, ot la bissectrice MN de l'angle formé par les deux rayons vecteurs est normale à l'ellipse, c'est-à-dire perpendiculaire à la tangente TM (647, 975).
En effet, les angles CMF' et CMF étant égaux, leurs moitiés sont égales, et l'on a PMF'=TMF; comme de plus F'MN=NMF, ajoutant membre à membre ces deux égalités, il vient PMN = NMT; donc MN est bien perpendiculaire à TM (573).
ELLIPSE
Fig. 296.
En prolongeant MN jusqu'à FF', et projetant le point M sur FF', la projection NQ de MN sur FF' est la sous-normale. 1200. Pour mener à Vellipse une tangente parallèle à une droite CD,
du foyer F' on même F'G perpendiculaire à CD; de Tautre foyer F, avec un rayon FG = 2a (1174), on décrit un arc de cercle qui détermine le point G; on trace FG, ce qui donne le point de contact M; la tangente HT s'obtient ensuite en menant par M une parallèle à CD ou une perpendiculaire à F'G.
1201. Mener une tangente à l'ellipse par un point M pris hors de Vellipse,
Du point M comme centre, avec M^, .distance du point M au foyer le plus voisin F', pour rayon, on décrit un arc de cercle; du foyer le plus éloigné F, avec le grand axe de Tellipse pour rayon, on décrit un second arc de cercle qui coupe le premier aux points C, C; on joint CF et CT, ce qui détermine les points N, N', et menant MN, MN', ces droites sont tangentes à Tellipse eh N et N'.
En effet, de ce que NF -f NF = CF, grand axe, on a NF' = NC ; comme de plus MF' = MC, la droite MN est perpendiculaire sur le milieu de CF' (584), et divise Tangle F'NC en deux parties égales; donc elle est tangente krellipse au point N (1198). On démontrerait de même que MN' est tangente en N'. 1202. Toutes les ellipses ayant même grand axe AA', et la circonférence qui a ce grand axe pour diamètre, jouissant de la propriété que les tangentes menées par les points N, M..., où une même perpendiculaire au grand axe rencontre les ellipses et la circonférence, viennent concourir en un même point T de la direction du grand axe, cette propriété ramène la difficulté du tracé de la tangente à Fellipse à celle de la tangente à la circonférence (1167, 1169).
IJN)3. Autre moyen de mener une tangente à V ellipse par un point pris sur la courbe.
Par le point M on mène deux cordes MC, MD; par les points C et D on en trace deux antres CE, DG respectivement parallèles à MD, MC, et la parallèle HT menée par M à EG est la tangente demandée.
Menant le diamètre MM', il divise la corde E6 et toutes celles qui sont parallèles à EG en deux parties égales; MT est donc parallèle au diamètre conju^^ àe MM' (H88), ce qui fournit encore un moyen de détemmer ladireclion de MT; mais il est plus commode de construire V que le dismètreTorrjngué de MM'.
Eemarque. La parallèle M'T' menée tEG ou à MT ewtajuBi tangente à reFKpse. Ainsi, comme pour le cercle, les tangentes menées a Tellipse anx extrémités d'un même diamètre sont parallèles (il 87).
iSM. La longueur d'une ellipse ou (Tun arc d^ellipse n'est donnée exactement par aucune construction de géométrie élémentaire; pour la mesurer, il faut avoir recours à des moyens mécaniques, 4el&, par exemple^ que cehii qui consiste à contourner un ûl sur la couii>e, et à le redresser ensuite pour en évaluer la longueur. On peut conmdérer aussi Tellipse ou Farc d'ellipse comme formé d'une suite de droites très-pethes, dont la somme des longueurs est à peu près égale à la longueur de l'eflipse on de Tare d'ellipse (1154).
/ étant la longueur d'une demi-ellipse dont a et 6 sont le demî-granâ axe et le demi-petit axe, on a
'-['-(l-y-Ko-)"-|(tlr'-)"--3-
formule dans laquelle
«t^qul devient quand a'=b=zr^ c'est-à-dire quand la demi-ellipse est une demi-circonfôrance.
SILIPSE.
TBÊia9faitrxmÊÊb*mk9Mne£llip$e parpoi$Ui^délermimr lanormaU m un quelconque de ses points^ et calculer son dernùpérimèlre 1.
»s:COs|
tina
o;oi>ooo
0,08746 0,40453 0,11 24 «7 0,13947 0,45643 0,47865 0,19084 0,20794 0,22495 0,244 91 0.26882 0,27564 0,29237 0,300(IS 0,32557 0,3420^ 0,36837 0,37464 0,39073 0,40674 0.41262 0,43837 0,45399 0,46947 0 48484 0,50000 0^64504 0,62992 0,64464
0,67386 0,68779 0.604 82 0,61666 0«ft2ft32 0,64279 0,65606 0,66913 0,68200 0,69466 0,70744
8,H4t)9 3,444 35 3,4M«8 3,43944 -3',4*776 3,43664 3,432SSl 8,42989 3,42632 3,42228 3,1fT77' 3,44279 3,10736 3,404 46 8,09510 3,08830 3,081 04 3,07333 3,06649 3,05661 âj047fl»
3,03815 3,02829 3,01801 3,00732 2,88622 2,98473 2,97285 2)96088 2,94793 2,93492 2,9ft41i4 2,90784 2,89373
^sseosO
0,tS7838'
siflO
0;«Mff4^<«, 0,71934 0,74344 0,78474.
.93888 0,93069 0,94552 0.951 06 0,95630 0,961 26 0.96593 0,97030(2 0,97437 " 0,97845 0,08168 0,98484 0,98769 0,99027 0,99365 0,99462 0.99619 0,997 ;i6 0,99883iâ, 0,99939 0,99985 4,00000
i** application. Prenant pour axes coordonnés le grand axe et le petit axe de Vellipse, x et y étant les coordonnées d'un point quelconque de )s.coitil>e, etff la sono^noranale en ce point (1109), on a
-=cosO, ^ = sinO, ^= — cosC a '6 'a
45$ CINQOIÈUE PARTIE. — gAoMÉTRIE DBS C0DRBE6.
et ^ est la pente de la normale à l'horizon, c'est-à-dire sur l'axe des x ;
il est utile de connaître cette pente pour Texécution des voûtes en ellipse (1195).
On se rend compte des formules précédentes à Faide de la /Ig, 285, dans laquelle 0 est Tangle GOA, qui varie pour une même ellipse avec la position du point M sur la courbe.
Ayant, par exemple, a = 15",00 et ô=:10",00, pour un point dont
x = li-,49060, on a cos 8 = lil^^ = 0,766 04. La table donne, sur Ta même ligne que cette valeur de cos6, sin 0 = 0,642 79. Par suite, oh a
y = 10x0,64279 = 6-,4279, et * = ^ x 0,76604 = 5,10693.
La pente de ,la normale est, en désignant par a l'angle de la normale avec Taxe des x,
y b sin 0 a . ^ 15 ^ -^ . ^ . ^„^ ^^ tanga=^ =-j5 = g tange= — x 0,839 10 = 1,258 65.
— cosO a
Ayant tang «, la table du n* 1138 donne a = 51* 32'.
Si le rapport - = cos 0 n'était pas contenu dans la table précédente,
on aurait recours à celle du n* 1138 ou encore à celle de Callet (1120), pour faire usage des formules ci-dessus. 2* application. Ayant a = 15",00 et b = 10",00, on pose
- = cosO = -- = 0,666 67.
L'angle 0 est constant pour une même ellipse, et c'est réellement GOA pour le cas de la Jig, 285.
La table donne pour la longueur / de la demi-ellipse, a étant pris pour unité, en ayant recours à la méthode des différences proportionnelles (730),
2,64768-0,01823 S;^^;i^i;;^^r06 =W 68 -0.003 43 =2.644 25. Par suite, en mètres, on a
Remarques* Si au lieu de b on avait donné la demi-distance c des foyers (1174), on aurait- =sinO et la table aurait encore donné kcôté
de sinO la valeur du demi-périmètre de l'ellipse, a étant pris pour unité.
Désignant par p le rayon de courbure au point dont l'abcisse est x, on a
ELLIPSE
1} c ex
ou en posant - = «n a ou - = co^ a, et - x - = co9 3,
^ stna Désignant par z' Vabscisse du centre de courbure, on a
xf = '
Table du développement des contours elliptiques^ le petit axe %b étant représenté par \^Q, Cette 2"* table, moins rigoureuse dans sa partie décimale que la précédente, fournit plus directement les résultats qui n'exigent pas une grande exactitude.
Grand axe
Férimètro
Grand az«
Périmètre
Grand axe
Périmètre
la
Pour 2a = 30-,00 et 26 = 20-, faisant 26 = 100, on a
valeur de 2a pour laquelle la table donne 2/= 396,5712; par conséquent, en mètres, on a
2/ = 396,5712 X ^ = 79-,31424 ou / = 39-,657 12,
pâleur qui ne diffère pas sensiblement de celle fournie par la première table.
I20S. Surface de V ellipse. Pouvant considérer une ollipsc dont le grand axe est 2a et le petit axe 26 comme étant la projection sur son plan d'un cercle dont le diamètre est 2a, et dont Fangle 0 du plan de
Teilipse avec celui du cercle est tel q«e Ton a oos^ = - 1187), raire^ée
Tellipse est, y étant celle du cercle,
s=zs' cos 0 = ra* - = «i6.
Pour a = 3" et 6 = 2*, on a
Ainsi Ton a ^ : i' = 6 : a.
La surface de Tellipse est donc équivalente à celle Jir'd'un cercle dont le rayon r est moyen proportionnel entre les demi-grand et demi-petit axes a et 6, c'est-k-^ire donnant r* = a6 (726, 996).
Lorsque les deux foyers de Tellipse se rapprochent au point de se confondre, les rayons vecteuri^ deviennent égaux pour tous les points, et égaux chacun au demi-grand axe, qui est, dansée cas, égal au demipetit axe. L'ellipse est alors un cercle ayant a = 6 = r pour rayon, et par suite tt* pour surface. fVoir la 8* parti<».)
1206. La portion d'ellipse comprise entre deux cordes parallèles «st un segment.
1207. Surface d'un segment d'ellipse compris entre deux cordes pcanallèîes au petit ou au grand axe.
Kg. 300.
V On décrit un cercle sur le grand axe AA' comme diamètre ; puis, après avoir évalué la surface S' du segment circulaire C'D'Ef (733/, on conclut la surface S du segment d'ellipse CDEF de la proportion
d'où
CLtnpsB. 189
En effet, de même qu*on peut considérer l*ellipse entière comme étant la projection du cercle (42(^5), on peut considérer le segment elliptique comme étant la projection du segment circulaire, et ïùn a bien
tr
T Les ctpâes QH etfK <ffii temiîment'l«:«egment^êtanl'panfflèles-^u gTC»â«xe, décrivant un oMPCftef sur lep€ftit axe 1^ «mnaie dîamêrtte, bi MriKe du tegaiefit df'^llipse'est ^kmnéepar la propeitirm
GHIK ou S : G'HTK' ou. S'^t»^ *, d'où S = S' x |.
du petit axe, les segments deviennent Tellipse et le «eencie de ntfDn'ft, et le rapport. ée leurs avrtees adtenoom mz^,
1208. Vellipsaide de révolutÎMi e«t'ie60tiâ& engendré 'parla révolutien d*iiiie elllpte antaiiré^ini^BiaesjaiBS.
1809. La surface de V ellipsoïde n'est donnée par aucune expreasifiii algébrique. Vvnr Véwhierv oai CMnNdÉre'i)eiiipie*géiiér«irioe'Of>«iine formée ti*u ne' série ^tpetitea droàtas qiii.«BgeiMiii«»t)iâHK k^mr résolution des surfaces Istéraks de vyiiBditasda cènes ^«t de Irenos doctes; on mesure toutes ces surfaces (922, 926, 8â2), et leur somme est la surface approchée de Tellipsoîde.
1210. Veiume de Tellipmfée, Lvnsqve Tellipsoîde est qtteîconque, c'est^Hdirei]uand le plan. mené parie centre perpendiciyairement au grand axe 2a détermine, non pas un cercle de diamètre 26 comme dans TeMipaeiée de révolution, mate une 'elHiise ayant 26 et 2c pour axes, son vehiofta 09l
Pour un ellipsoïde derévoltUion^ selon que Tellipse génératrice tourne autour de sen grand ou p«tit axe, il sirffit de faire c = b ou c=^a dans la' formule précédente, et Ton a respectivement
V = - Tzab* ou V = j rM^b.
Loi«fue o = è.s3r, c'eai^h-dûre fnand TeUipae génétatrice cstmi cercle, les expressions précédentes deviennenl
Ce qui devait être, puisqu'alors Tellipsoide est une sphère de rayon
CINQUIÈMB PARTII. — - GÉOXÉTRIB DES GOURBIS.
HYPERBOLE
1211. Vhyperbole est une courbe à deux branches non fermées {fig. 301), telle que la différence MF — MF des distances de chacun de ses points à deux points fixes ou foyers F, F' est une quantité constante.
On voit que, comme Tellipse (1170), Fhyperbole se définit par son équation en coordonnées focales (1143), équation qui est, en désignant par les variables p et p' les rayons vecteurs de chacun des points de la courbe, et par 2a la différence constante de ces rayons vecteurs,
Deux hyperboles qui ont les mêmes foyers sont dites homofocales,
iSiil. La droite qui passe par les foyers F, F' de Thyperbole est Vaxe transverse (fig, 301).
Les points Â, A', où Taxe transverse rencontre les branches de la courbe, sont les sommets de Thyperbole.
La perpendiculaire menée sur le milieu de AA' est Vaxe non ironsverse.
Le point de rencontre 0 des axes est le centre de Thyperbole.
1213. Les distances des foyers aux sommets voisins sont égales^ et, par suite, il en est de même de leurs distances au centre :
AF = AT' et FO = F'0.
En effet, les sommets A et A' appartenant à Thyperbole, on a
AF' — AF ou AA' + A'F'— AF==A'F — A'F' ou A'A + AF — AT'.
Supprimant la quantité AA' commune aux deux membres de cette équation, et réunissant les mêmes quantités dans un même membre, il vient
SIA'F' = 2AF, ou AF = AT'.
Ajoutant la quantité constante AA' aux membres de cette égalité, on a A'F = AF*. Ce qui fait voir que les distances des foyers aux sommets les plus éloignés sont aussi égales.
De ce que AO = A'O, on a aussi FO = F'O.
1214. La différence constante 2a des rayons vecteurs est égale à la distance AA' des sommets.
Le point A appartenant à Thyperbole, on a
AF' — AF ou AA'+AT' — AF=^2a; d'où, en remarquant que A'F' = AF (1213),
AA' = 2a.
HYPERBOLE. 461
2a est la longueur de faite traruverse.
1215. Equation de F hyperbole en prenant pour axes coordonnés les axes de la courbe (1242).
Soit AA' = 2a et FF' = 2c. On a toujours 2a < 2c ou a < c.
Puisque P'P = i + c et FP = x — c, les triangles rectangles MPF et MPF donnent respectivement (704)
p'«=y« + (x + c)« et p« = y« + (x-c)»; (a)
d'où, en développant (701, 702) et simplifiant,
p'*— p' = y' + x« + c* + 2cx— y* — X*— c« + 2cx = 4cx, c'est-à-dire (703)
(p' + p)(p' — p)=Acx,
d'où p' + p=-*^ = 4^==?E
P — P 2a a • Comme de plus on a
ajoutant membre à membre ces deux équations, il vient
et par suite
2p'=:Ç+2a ou p'=~ + a.
c'rr' p'^=-^+a« + 2ca:.
Égalant cette valeur de p'* k sa valeur (a), on a, après avoir chassé le dénominateur a*,
«V* + û*a;* + à^c^ -h 2a*ca; = c*x« + a* + 2a"cx;
d'où, en supprimant 2a*cj:, et en réunissant les termes en «• et ceux en a',
Représentant la quantité constante a^^—c*^ qui est nécessairement négative, par — 6», on a pour l'équation de l'hyperbole
aV — 6»a;» = — a*6', ou |! — ^ = -i;
d'où y = ± - v^îc' — a». (325)
De cette équation il résulte que, comme l'ellipse (1174, 1182), l'hyperbole est partagée en deux parties symétriques, et par suite égales («31), par chacun de ses axes. Cette équation montre, de plus, qu'on ne peut avoir x<a, et que selon que x varie de ± a à ±qo, y varie deOà±o&.
U^ CINQUIÈME PARTIE. — GiOlliTRIE DBS COURBES.
Ainsi la courbe se compose de deux-branches iûûnifis^
i«16. La distance SU? des foyers se nwnxnaVwe^^wcO». de Ibïper-
^'''lUV.^ L'Ayperôûte etf ie fia* gkméiriqvs de^.pdnUdanù to^î^reace de. rayow* vectewci.e^t égale à la diMnce 2a des^ «»««<*>* Za ^^^^ (HM). ^^ ^^ ^^.^^ jj ^^^^^ g.^^^ ^^^g j^g ^g^^
Fig. 3(». hwncbesde l'hyperbole» oa a MF' - MF < 2a.
En effet, menant CF', le ppint C aSP»^ nant à Fhyperbole, on a
CF' — CF=2a.
Ayant CF > MF— MC (602>, on «bîen, en ï«ra|>loçaniep' pa» celte quantité plus petite, jiF— HG — CF ou MF - MF < 2a. 2* Le point M' n'étant pas situé entre les deux branches de Thypetbièe^ m a MF' — MF > 2a.
Menant CF, Ifl-fOintG' afi»rteï»ttl^k.rhyp«Brbole, on.a. CF' — C'F = 2a;.
en remplaçant dans cctt(^ égalité CF par la quantité plus petite H'F M'C, on a bien
CF-MT + M'C ou M'F — MT>2a.
a09^kÛF9. Lee TCciproqws dos t* et T sont Traies.
1218. Les parties OM, OM', d'une même droite MMS composes entre le point de rencontre 0 des axes et les deux branches de Vhyperbole sont égales.
M«na»t MP perpendiculaire h Oa, et prenant PN = PM, le point N appartient à Thyperholfr ('*21»). Menant NQ perpendteulaire à Oy, et prolongeant jusqu'à la rencontre de. MO au point M'; de ce que NM' est parallèle à PO, ayantPN=5PM, on a OM' = OM. De cette égalité et de ce que OQ est parallèle à MN, on a QM = QN, et N appartenant à rhyperbole, son symétrique M' lui appartient aussi ; donc le point M', qui donne OM' = 0M, est sittté sur Thyperboie.
4219 Bemarques. On peut donc considérer le point 0 comme etenl le c^n.ÏÏÎy?N.rbole, donâdes droites taUaa q^ MM' «mt to é^-
'^dioites passMit par le eenli» sans rencontrer tea bmiuhes de iCeSieiS^eJes^dû^ par,apporla« prem«rrs,
nommés diamètres limités.
HYPBRBOLE.
kêz
Fis.30i.
Une droite quelconque ne pouvant rencontrer Thyperbole en ph«»do deux points, tout diamètre ne peut. rencontrer chacune dea branches'efl plus d*un point, et toute corde de Tune des branches ne rencofitrc pw Taiitre.
\2StQ. Lorsqu'on joint le centre 0 au milieu i d'une cosde, le diamètre BB' qui en résulte divise égalamfisit en deux parties égales toutes les cordes £F> GM parallèles à CD. Le diamètre illimité lfi^ qui joint le centre au milieu e de la corda £G, di»vise également en deux parties égidas. toute corde DH parallèle à la première (lisa).
iJ^SU. Gomme poui Tellipse, deux, diamàlves BB' et IK, tels que chacun d'eux divise, en deui. parties égales les cordes parallèles à Tautre, sont appelés diamètres conjugws^ Étant donné un diamètre de Vhj^^hoU^ on trouve smi conjugué en opérant comme pour Vellipse (11«9)«
1222. Étant donné une hyperbole ou un arc d' hyperbole^ pour irowfm son centre^ puis ses axes^ on opère comme pour Vellipse (1190, U91).
i2ft5. Asymptotes. Les branches de Tbyperbole se prolongeant jusqu'à rinfini, les diamètres limités vont en augmentant, à mesure qu'ils font diBS angles plus ^ands avec l'axe transverse, jusqu'à l'infini. Les deux diamètres infinis qui forment le passage des diamètres limités aux diamètres illimités prennent le nom &" asymptotes. Ce sont les tangentes à l'infini aux deux branches de la courbe.
1224. Tracer les asymptotes d'une hyperbole dont on conmut les foyers.
De l'un des sommets A comme centre, avec un rayon égal à la demi-distance OF=c des foyers, on décrit un arc de cercle qui coupe l'axe non transverse aux points B, B'; joignant AR,. AB', les parallèles MM', NN', menées par le centre 0, à ces droites, sont les asymptotes de la courbe; c'est-à-dire qu'elles vont constamment en se rapprochant des branches de la courbe, qu'elles ne rencontrent cependant qu'à l'infini.
Menant les droites A'B, A'B^ elles sont aussi parallèles aux asymptotes. 11 est facile de voir qu'en traçant par A, A', B et B' des parallèles aux. axes, on obtient un rectangle dont les sommets sont sur les asymptotes.
Ayant 01 = A'B=OF, il en résulte aussi qu'élevant aux sommets A at A' des perpendiculaires à Ox, et décrivant un arc de cercle du point 0 comme centre avec OF pour rayon, on obtient les points I et r qui déterminent les asymptotes MM', NÎS^'. Si l'on a les asymptotes et les sommets, pour avoir les foyers, il suffît de prendre OF = OF'=aT.
Fîg
rvKj^
^' ; VF
^'fÇj^
// hf
1225. Dans le triangle rectangle AOB, on a AB=c, OA = a; donc OB' = c' — a* =6* (1215). C'est pour cette raison que Ton dit que BB'=: 26 est la longueur de Taxe non transverse.
Lorsque les axes 2a et 26 sont égaux, Thyperbole est dite équilatère. Dans ce cas, les asymptotes sont rectangulaires ; car les diagonales AA', BB' étant égales, ABA'B' est un carré, et par suite les asymptotes sont rectangulaires entre elles comme étant parallèles aux côtés de ce carré.
1226. Lorsque les asymptotes sont tracées, pour mener le conjugué d'un diamètre donné LL' (1221), par L on mène une parallèle LD à l'asymptote la plus éloignée de L; elle coupe l'autre asymptote en E; on prend EG = EL, et joignant GO, on a le diamètre conjugué demandé.
Cette construction est fondée sur ce que chaque ^asymptote divise en deux parties égales les parallèles à Vautre, comprises entre deux diamètres conjugués. Ainsi, de même que l'asymptote MM' divise en deux parties égales GL et toutes les droites qui lui sont parallèles et comprises entre les diamètres conjugués LL', GG', elle divise de la même manière toutes les parallèles AB, A'B'..., comprises entre les deux au* très diamètres conjugués A A', BB'.
1227. Tracé de r hyperbole par points.
F, F' étant les foyers d'une hyperbole,
dont A et A' sont les sommets, pour tracer cette courbe, des foyers F et F' comme centres, avec un rayon Am, qui peut varier depuis AF jusqu'à l'infini, on décrit des arcs de cercle; puis, des mêmes centres F et F', avec un rayon égal k A'm, on décrit des arcs de cercle qui coupent chacun des premiers en des points C, D appartenant à l'une des branches de l'hyperbole, et C, D' appartenant à l'autre branche. En eflfet, l'un quelconque C de ces points donne bien CF'— CF = A'm— Am=constante2a. Faisant varier la position de m sur le prolongement de AF, on déterminera par la construction précédente autant de points qu'on voudra de l'hyperbole; et traçant des courbes qui raccordent ces points, elles pourront être considérées comme étant les deux branches de l'hyperbole demandée.
1228. Tracé de V hyperbole par un mouvement contirm. Soit (fig. 306) F'D une règle portant à son extrémité F' un petit trou placé dans le prolongement d'une de ses grandes arêtes, et EDF un fil fixe k l'autre extrémité de cette arête. Prenant la longueur EDF du fil telle que l'on ait EF' — (ED+DF)=AA'=2a, si, après avoir fixé par des petits pivots l'extrémité F' de la règle k l'un des foyers, et l'extrémité F du fil k l'autre foyer, on fait tourner la règle en maintenant toujours le fil tendu à Faidc d'une pointe ou d'un crayon qu'on fait glisser le long de Tarète de la règle; cette pointe ou ce crayon tracera, dans son mouvement, la branche CD de l'hyperbole. On a bien en eflfet, pour une position quelconque D du crayon, DF' — DF = EF' — (ED + DF) = AA' = 2a.
HYPERBOLE
Fig. 307
T/autre branche de Thyperbole se tracerait de la même manière, en fixant Textrémité de la règle au foyer F et celle du fil au foyer F'.
1289. Mener une tangente à V hyperbole par un point M pris sur la courbe (1198).
On mène les rayons vecteurs MF, MF', on prend MC = MF, on trace CF, et la perpendiculaire MT, abaissée du point M.sur CF, est la tangente demandée, c'est-à-dire que le point quelconque M', autre que M, pris sur cette droite, donne
MT'— M'F < AA' ou 2a. (1217) En effet, MT étant perpendiculaire sur le milieu de CF, puisque le triangle MCF est isocèle, on a
F'C + CM' - MF = F'C = MF' — MF = 2a ;
mais on a F'C + CM' > M'F'; donc on a bien
MF'— MF < 2a.
Bemarque. Le triangle MCF étant isocèle, on voit que la tangente divise Tangle des rayons vecteurs en deux parties égales.
1250. Comme pour Tellipse (1203), la tangente à l'hyperbole est parallèle au conjugué du diamètre qui passe par le point de contact, ce qui fournit un second moyen pour mener une tangente à rhyperbole.
1251. Mener une normale à Vhyperbole par le point M {fig, 307).
La bissectrice MN de Tanglc FMC, que fait le rayon vecteur MF avec le prolongement MC de Tautre rayon vecteur, est la normale demandée. On prouverait que MN est en efiet perpendiculaire à la tangente MT, en raisonnant comme au n' 1199.
1252. Mener une tangente à Vhyperbole par un point extérieur M (1201). Du point M comme centre, avec un rayon égal
à sa distance MF au foyer le moins éloigné, on décrit un arc de cercle; de Fautre foyer F', avec un rayon 2a = AA', on décrit un second arc qui coupa le premier en deux points C, C; on mène FC, FC', et les perpendiculaires MT, MT', abaissées du point M sur les milieux de ces cordes, sont tangentes à rhyperbole en des points T et T'.
On peut obtenir directement les points de contact T et T' en menant F'C, F'C, et en prolongeant ces droites jusqu'à leur rencontre avec l'hyperbole; car si par le point T, où F'C rencontre l'hyperbole, on voulait mener une tangente^ on prendrait sur TF' une longueur égale à TF, ce qui déterminerait le point C, puisque T appartenant.à l'hyperbole on a TF'— TF = 2a = CF'; on joindrait ensuite FC, et la perpendiculaire abaissée du point T sur le milieu de FC serait la
Fig. 308.
^tangente (11139). Or cette perpendicahHre se €«iiléiidant^4veo6€iie'qui a été menée par M V cette, dernière est d€fii(T>bi«n teffgente'ë^l^^rpeflpMeau point T. On démontrerait de m^ine que HT* est tangente «i^^pokiC T. 1235. De réquation de Fhyperbole f!fH5), on tire, pour un point quel-
• cwiqiie M,
OU
ou, en remarquant que
a: + a==t A'P et x— a:
y' b^ A'P X AP " a**
