AB = E

Aa'= a'a''= ... = —, ce qui suppose la projection AB divisée en n parlies égales;

CODRBBS QUELCONQUES. 489

AD = y„ a'd' = y, , a"d" = yi . . . BC = y n , les diverses ordonnées de la courbe.

Substituant ces expressions dans la valeur de S, on a

ou, en mettant — en facteur commun,

s=f (f +yi+yî + ...+yn-i+^),

expression très-simple et facile à appliquer.

1505. Formule de Thomas Simpson. Cette formule donne plus exactement que Texpression précédente Taire de la courbe plane ÂBGD {fig. 328). Le nombre n des divisions de ÂB étant pair, Thomas Simpson a fait voir que Taire S de la courbe avait pour expression approchée

3^ [yo + yn + 4(yj + y, + y^ + ... + yn-i) + 2(y, + y* + ye + ... + yn-t)].

^ étant la distance de deux ordonnées consécutives, on voit que la

valeisr approchée de Vaire S de la courbe est égale au produit du tiers —

de la distance de deux ordonnées consécutives^ par la somme (t/o + t/n) des deux ordonnées extrêmes, plus 4 fois la somme (yi + ys + ys + ••• -f- y»-i) des ordonnées d'indices impairs, plus %fois la somme (y, + y* + ye + .•• + ynr-i) des ordonnées intermédiaires ^indices pairs. Pour n = 8 , on a

S=3^[y. + yg + 4(y4 + y, + y5 + y,)+2(y, + y, + ye)].

Remarque. Dans le cas où Tune ou les deux extrémités C et D de la courbe se trouveraient sur la droite AB, il suffirait de faire égales à 0, dans Texpression précédente et dans celle du n* 1302, les ordonnées y,, y» qui correspondent aux points qui se trouvent sur AB.

Si Ton avait une courbe fermée, pour évaluer Taire, on la diviserait en deux parties par une droite, et Ton obtiendrait la surface de chaque partie en opérant comme dans le cas précédent. On peut, dans ce cas, obtenir Taire totale par une seule application de la formule; il suffit de prendre pour ordonnées les sommes des ordonnées correspondantes dans les deux parties de la courbe.

1504. M. Poncelet, par une marche différente de celle suivie par Thomas Simpson, a établi la formule suivante pour calculer Taire S d'une courbe :

S = ^[%i t y»+ - + y^i) + 1 (y. + y»)- { (yi +y— i)]-

4f0 CINQCIÊME PABT1B. — GÉOMÉTKft BCS COURBES.

Cette formaie, dans laquelle n est encore on nombre pair, montre qne Voire S 6^/ d peu près égale au produit de la distance — de deux ordonnées consécutives, par le double de la somme 'y, + y» + — + y—\] des ordonnées dindàces impairs , augmenté du quart de la somme (y, + y. des ordonnées extrêmes, et diminué du quart de la somme (y, + y»-,' des ordonnées immédiatement voisines des deux ordonnées extrêmes.

La formule de M. Poncelet donne des résnltate aussi et même souvent plus approchés que celle de Thomas Simpson, et Ton voit que, à part y* et y. , loutos les autres ordonnées dlndices pairs n*y figurent pas, ce qui est un grand avantage dans tous les cas où ces ordonnées ne sont pas connues, puisque alors on peut se dispenser de les déterminer, ce qui n'a pas lien quand on enipioïe La formule de Thomas Sin^ps^n.

SIXIÈME PARTIE

IiETBR DES PLAm.