LIVRE II. — PROPRIÉTÉS DES DITISECRS ENTIERS

Remarque. La première puissance d*un nombre est ce nombre luimême, que Ton considère comme affecté d'un exposant égal k Tunité, quoiqu'il n'y ait pas alors de puissance ni d'exposant proprement dits.

86. Pour avoir le quotient et le reste de la division d un nombre par une puissance de iO, il suffit de séparer sur la droite du nombre proposé autant de chiffres qu'il y a d'unités dans le degré de la puissance; la partie à gauche et la partie à droite, considérées comme exprimant des unités simples, sont respectivement le quotient et le reste demandés. Ainsi, ayant à diviser 97845 par 10*= 1000, on sépare trois chiffres à droite, ce qui donne 97,845 ; le quotient est alors 97 et le reste 845.

Corollaire. Pour qu^un nombre soit divisible par une puissance de 40, il faut et il suffit que ce nombre soit terminé par au moins autant de zéros qu'il y a d'unités dans le degré de la puissance (61).

87. Pour avoir le reste de la division d^un nombre par 2 ou par 5, il su^t de chercher le reste de la division de son premier chiffre à droite par 2 ou par 5. Ainsi le nombre 45737 divisé par 2 donnera i pour reste, et divisé par 5 il donnera 2, parce que son premier chiffre 7, divisé par 2 ou par 5, donne respectivement 1 ou 2 pour reste.

Pour qu'un nombre soit divisible par 2 ou par 5, il suffit donc que son premier chiffre k droite soit divisible par 2 ou par 5.

88. En général, pour avoir le reste de la division d'un nombre par une puissance quelconque de % ou de 5, il suffit de chercher le reste de la division, par cette puissance, du nombre qu'on obtient en prenant sur la droite du nombre proposé autant de chiffres qu'il y a d'unités dans le degré de la puissance. Ainsi, pour avoir le reste de la division de 45737 par 2*= 8, ou par 5* = 125, on cherche le reste de la division de 737 par 8 ou par 125, ce qui donne respectivement 1 et 112.

Ayant 25 = -r- et 125 = — r— , afin d'abréger les opérations, pour mul-

tipliertm nombre par 9i^ ou par 125, on pourra en prendre le 1/4 ou le 1/8, et multiplier le résultat par 100 ou par 1000 :

1 478 X 25 =iV^X 100 = 36950, 4729x125=2:^x1000 = 591125. 4 o

De même, pour diviser unnomprepar'ift ou par 125, on pourra le multiplier par 4 ou par 8, et diviser le produit par 100 ou par 1000 :

-25-^ lôr" = ^^'^^' "Î25""-""ÎÔÔÔ"-^^'^^^-

89. Pour avoir le reste de la division d'un nombre par 9, on fait îa somme de ses chiffres considérés comme des unités simples ; on opère sur cette somme comme sur le nombre proposé, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on obtienne un résultat qui n'excède pas 9. Lorsque ce résultat est moindre que 9, il est le reste cherché ; s'il est 9, le reste est 0.

Ainsi, pour avoir le reste de la division par 9 du nombre 75487, par exemple, on fait la somme 74-8 + 4 + 5 + 7 = 31; puis celle j + 3 = 4, et 4 est le reste cherché.

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16 PRWiitofl PàATlE. — 4UT1U1ÉTIQUB.

On fa4}iUte Topération en diminuant de 9 toute somme succesûve de chifiros qpi dépasse ce nombre. Mnù Ton dira : 7 et 8, 15 (inoii>& 9}, 6 et 4, 10 (moins 9), d et 5, 6, et 7, 13 (moins 9), 4.

Au lieu de retrancher % il est encore plus commode de faire la somme des chifCnes de chaque somme partielle. Ainsi Ton dira : 7 et 9, 15, 6 et 4, 10, 1 et5»6et7, 13, 4-

On abrège encore cette opération en négligeant les chiffres 9 et ceux dont il oat visible que la seiume est 9, ce qui arriv» pour deux, chifir-t^^ aueeesflifs dont la somme est 9. Ainsi dans Texemple précédent on; dira, en négligeant 4et^ : 7et8« 1&, «et 7, 13, 4.

dO. Pour qu'un nombre soit divisible par 9, il faut et il suffit que la eomme de ^e» chiffres, considérés comme des unités simples^ eoifc divisible par 9, c'est-à-dire soit un multiple de 9 (37 et 50).

91 . Pour avoir le reste de la division âfun nombre par 3, on cherche d*abord le reste de la division de ce nombre par 9 (89); puis le reste 4e la division de ce premier reste par le diviseur 3. Ainsi le nombre 75487 donnant 4 pour reste de la division par 9, et 4 divisé par 3 donnant 1 pour reste, 1 est le reste de la division du nombre proposé par 3.

92. Pour qu'un nombre soit divisible par 3, il faut et il suffit que la somme de ses chiffres, considérés comme des unités simpleà, soit un multiple de 3, c'est-à-dire soit divisible par 3 (37 et 50).

95. Poiff avoir le reste de la division d'un nombre par 11^ on le sépare en tranches de deux chiffres à partir de la droite» sauf à ne laisser qu'un seul chiffre à la dernière tranche à gauche ; on fait la somme des nombres qui en résultent, considérés comme exprimant des unités simples; on opère sur cette somme comme sur le nombre proposé, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on obtienne un résultat qui n'excède pas 99; le reste de la division de ce dernier résultat par il est égal au reste demandé. Ainsi, ayant à trouver le reste de la division du nombre 7345798 par 41, on sépare ce nombre en tranches de deux chiffres, ce qui donne 7,34,57,98; faisant ensuite la somme

98 + 57+34+7=196, puis celle 96 + l=s97,

le reste 9 de la division de 97 par il est le reste de la division du nombre proposé par li.

Il est évident que cette somme de tranches de deux chiffres s'obtiendra sans écrire séparément ces tranches, en additionnant par tranche entière, c'est^-à-dire en disant 98 et 57, i55, et 34, 189, et 7, 196, si l'on a une certaine habitude du calcul, ou en faisant la somme 8^7 + 4+7=26 des chiffres de rang impair à partir de la droite, considérés comme exprimant des unités simples, puis la sonune 2+9 + 5 + 3=19 du nombre 2 de dizaines fourni par la première somme et des chiffres de rang pair du nombre proposé, considérés comme exprimant des dizaines, et en écrivant 19 à la gauche du chiffre 6 des unités de la première somme, ce qui donnera le même résultat 196, sur lequel on opérera, par l'une ou l'autre méthode, comme sur le nombre proposé.

Pour qu'un nombre soit divisible par 11, il faut que la somme pré-