LITRE II. ^ PROPRIÉTÉS DES DIVISEURS ENTIERS
rédente de ses tranches de deux chiffres soit un multiple de 11, c*êstk-dire qu'elle soit divisible par li.
94. Four faire la preuve par 9 de V addition de plusieurs nombre» en^ Ai«r# {suivre sur l'opération suivante}, on cherche les restes 8, 3, 1, 4 de la division par 9 des nombres additionnés; on fait la somme f6de ces restes, et si le reste 7 de la division de cette somme par 9' est égii aa reste 7 de la division par 9 de la somme des nombres proposés, c'estt qae le résultat St437 est exact (^).
Notubres. Restes.
Rmarque, On peut rendre cette preuve plus expéditive en ajoutant le reste 8 du premier nombre aux chiffres du second nombre; le resté obtenu pour les deux premiers nombres aux chîflPi^s du troisième nombre, et ainsi de suite ; ce qui revient à considérer tous les nombres comme placés les uns à la suite des autres et n'en faisant qu*un. Ainsi, en obsen ant les abréviations du n' 89, on dira (en passant 2 et 7 dans le premier nombre et 4 et 5 dans le second) : 8 et 3, 11 ; 2 et 3, 5 et 2, 7 et 5, 12; 3 et 8, 11 ; 2 et 3, 5 et 2, 7, nombre qui doit être égal au reste de la division par 9 de la somme 2437.
96, Pour faire la preuve par 9 de la soustraction (suivre sur Texemple suivant), on considère le grand nombre 845 comme étant la somme du plus petit 258 et du reste 587, et on fait la preuve comme pour
l'addition (94). Ainsi la somme 845 8 6 + 2 = 8 des restes de la division
gMg "^ par 9 du petit nombre 25S et de la
différence 587 étant égale au ■ reste 8
^"^ ^ de la division par 9 du plus gnmd
8 nombre 845, c'est que Topéreftian a
été bien faite (29).
On peut appliquer à la soustraction la remarque du numéro précédent; mais la preuve ordinaire de la soustraction étant plus simple que celle par 9, on n'a pas recours à cette dernière. W. Pour faire la preuœ par 9 delà multiplication de deux nombres
entiers 357 et 65, on cherche les 357 6 restes 6 et 2 de la division par 9 de
65 2 ces nombres (89) ; on multiplie ces
.^ 'TT deux restes Tun par l'autre, et le
^ . J* reste 3 de la division par 9 du pro-
duit 12 de ces restes est égal au reste
^ifltt05 3 de la division par 9 du produit 231B<H(,
si les calculs sont exacts (47).
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PBEMlÈnE PARTIE. — ARITHMÉTIQUE
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Remarque. Cette preuve est d'un usage continuel. Gomme toutes les preuves par 9, elle ne constate pas une erreur égale à un multiple de9.
07. Pour faire la preuve par 9 de la division de deux nombres entiers^ considérant le dividende comme étant le produit du diviseur 85 par le quotient 59, plus le reste 48 de la division, la preuve comprend celle de la multiplication et celle de Faddition (94 et 96). Ainsi Ton cherche les
restes 4 et 5 de la division par 9 du diviseur et du quotient; on fait to produit 20 de ces restes, et le reste 2 de la division par 9 de ce produit, augmenté du reste 3 de la division ^ par 9 du reste 48 de la division, doit
5 être égal au reste 5 de la division du
dividende par 9 (63).
98. Les preuves par il des quatre opérations s'effectuent comme les preuves par 9 (94, 95, 96 et 97), mais on en fait rarement usage. Cependant, si l'exactitude des résultats avait une très-grande importance, on pourrait avoir recours à la fois aux preuves par 9 et par 11.
99. Pour trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres entiers 384 et 36 (79), on divise le plus grand nombre par le plus petit, le plus petit par le reste 24 de la division, le premier reste 24 par le
.second 12, le second par le troi- 2 sième, et ainsi de suite jusqu'à ce
12 qu'on obtienne un reste nul ; le der-
nier diviseur est le plus grand commun diviseur demandé; c'est 12 dans l'exemple proposé (122).
Pour donner de la clarté aux calculs, on place les quotients au-dessus des diviseurs correspondants.
100. Tout diviseur 3, commun à deux nombres 384 et 36, divise leur plus grand commun diviseur 12, ainsi que les restes successifs 24, 12, auxquels conduit la recherche du plus grand commun diviseur.
lOi. Pour trouver le pltis grand commun diviseur à tant de nombres entiers que Ton veut, on cherche le plus grand commun diviseur de deux de ces nombres (99), puis le plus grand commun diviseur de ce plus gl-and commun diviseur et d'un autre nombre, et ainsi de suite jusqu au dernier des nombres proposés ; le dernier plus grand commun diviseur obtenu est celui des nombres proposés (122).
108. Selon qu'on multiplie ou qu'on divise plusieurs nombres entiers par un même nombre, leur plus grand commun diviseur est multiplié ou divisé par ce même nombre (73).
Il en résuite que les quotients de plusieurs nombres divisés par leur plus grand comnmn diviseur sont premiers entre eux.
105. Tout nombre 4 qui divise un produit 7x 16 de deux facteurs, et qui est premier avec l'un des facteurs, divise l'autre facteur 16.
