COUPS

de nîTeaiL

COTES CJ

desplaiu deviaée

des profils

LLCULÉES

des points nirelés.

OBSBRTATIOIfS,

eroquîs, etc.

Profil A (100-).

met

met.

met.

met.

Pied du roc

Pied du talus

Axe du chemin

Piquet d'axe

Gros chêne

Arête delabanquette(*).

Fond du ruisseau. . . .

(•) La démolition dn mur donnera 0^,35 de moellon par mètre Oiorant.

Profil B (100»,COC).

La cote 100", 34 de la 5* colonne est la cote du plan de visée du profil par rapport au plan général de comparaison ; elle est égale à la cote 400 mètres du piquet d*axe par rapport au môme plan, augmentée du coup 0",34 donné sur le piquet d'axe.

En retranchant de la cote 100",34 les nombres de la 4* colonne, qui sont les coups donnés sur les divers points nivelés, on obtient les nombres de la 6* colonne, qui sont les cotes de ces points par rapport au plan général de comparaison du profil en long.

Ordinairement les profils en travers se relèvent après le profil en long, k l'aide du niveau d'eau (1386).

Il peut arriver que tous les points des profils en travers ne puissent pas se niveler de la station du profil en long. Alors, partant du piquet du profil en long, on fait successivement, à droite et à gauche de ce profil, un nivellement composé d'un nombre suffisant de stations, que l'on rattache au premier. On peut commencer le nivellement d'un profil en travers par une des extrémités ; mais alors on ne peut calculer les cotes de ses piquets que quand on est arrivé au piquet du profil en long.

1406. Supposant qu'une droite verticale se meuve en s'appuyant sur Taxe du profil, elle engendrera une surface cylindrique, et en développant cette surface, son Intersection avec le plan de comparaison devien»

dra une ligne droite, et son intersection avec la surface du sol sera une ligne sinueuse qui n'aura rien de géométrique. Pour simplifier le tracé de cette dernière ligne, on suppose qu'entre deux points consécutifs nivelés la surface du sol est plane; alors cette ligne devient une ligne brisée dont les sommets se trouvent aux points nivelés. Pour la tracer^ on porte, à une échelle convenable, sur la droite figurant le plan de comparaison, à partir d*un point désignant le premier piquet, des longueurs égales aux distances de ce piquet aux suivants; puis on élève aux jpoints obtenus des ordonnées égales aux cotes du profil, et joignant les sommets de ces ordonnées, on obtient une ligne qui figure d'une manière assez exacte pour la pratique les sinuosités de la surface du sol. Le plus souvent même, pour rendre ces sinuosités plus sensibles, on prend pour les ordonnées une échelle double, quintuple et même décuple de celle adoptée pour les abscisses (1085).

Les profils en travers se dessinent sur la même feuille que le profil en long, en regard des points correspondants de ce dernier.

On conçoit que le profil ainsi déterminé représente d'autant mieux les sinuosités du profil de la surface du sol, qu'on a mis plus de soin k niveler tous les points bas et tous les points hauts de cette surface.

Pour les profils en travers, les cotes sont ordinairement à la même échelle que les longueurs, et pour ménager la place, au lieu de prendre les ordonnées égales aux cotes de la 6* colonne du carnet, on les fait égales aux coups de niveaii de la 4* colonne, pris négativement. Le plan de visée du profil devient ainsi plan de comparaison, et pour tracer le profil les ordonnées se portent en dessous et égales aux coups de niveau.

1407. Plans cotés. Quelquefois, au lieu de dessiner les profils, on se contente de tracer sur le papier, ou sur le plan des lieux qui peut exister, la projection horizontale de la trace du nivellement, et d'indiquer les points nivelés sur cette ligne, en les accompagnant de leurs cotes, queii'on écrit ordinairement entre parenthèses pour les distinguer des nombres indiquant les distances des points nivelés. C'est ainsi qu'on opère pour des détails qui sont plus utilement représentés par la projection de leurs contours que par leur élévation ; tels sont les ruisseaux des rues, les trottoirs, les seuils des maisons, et en général tous les objets qui occupent sur le plan un espace considérable en s'écartant peu du niveau du sol.

1408. Les surfaces des terrains se représentent souvent par leurs plans cotés , qui doivent toujours être assez complets, pour qu'à l'aide des cotes qui s'y tiDuvent on puisse dessiner un profil suivant une direction quelconque. Pour atteindre ce but, on relève et nivelle tous le» 'points remarquables dont les cotes sont les plus propres à faire connaître la forme de la surface du sol; naturellement tous les points saillants et déprimés sont de ce nombre. S'il s'agit d'une montagne ou de toute autre grande perturbation du sol, on ne peut plus se contenter de niveler des points isolés ; alors on a recours à des courbes, dites de

moêati, qui passent par tous les points de la surface du sol ayant U même cote (jSji. 414).

14M. Quand en opère par points isolés, ayant mis le niveau en sta-lion, par rayonnemeiït» on nivelle tous les points remarquâmes qui aool kla portée dn niveau. On place rinstrument dans une autre station» que Ton choisit, autant que possible, telle que le premier coup se porte sur la mire restée au dernier point nivelé de la première station, afin que le second nivellement simple se rattache plus facilement au premier. En prenant les mêmes précautions, on place le niveau dans une t^^oisième station, et Ton continue ainsi de suite.

A mesure qu^nn premier opérateur fait les nivellements^ un secOAd peut, an moyen de la ]:^nchette (1348), relever les points nivelés. Cck pendant, on ne fait ordinairement sur le terrain qu'un croquis du plan, sur lequel on marque les points nivelés. Quand ces points ne sont pas très*multipliés, on peut les coter directement sur le croquis; mais dans le cas contraire, pour éviter la confusion, on inscrit les cotes sur un carnet, comme l'indique le tableau suivant, qui a la plus grande analogie avec celui du n*" 1405:

des stations.

ponrs

CODFS DS MYEAn 1 COTES CiLLCDLéBS

élênientalres.

met.

moyens.

des j^Dfi de visée

des stations.

met 0,824

j hm

e } 2;^^ I 0,940 etc.

des

points nivelés.

met.

OBBERYATIOIVS.

(*} IUpèr« pris pliutbe du pont.

Aoçle nord du soda de la maison d'6cole.

Ayant pris 100 mètres pour la cote du premier point a, la cote du plan de visée de la première station est 1004-0,aa4=100*,824; retranchant de cett(^ dernière cote le coup de niveau d'un point quelconque de la preunière station, on a la cote de ce point.

NITSILBMBirr.

Ajoutant à la cote 98*,90SJ du point d, le coup cr,42a donné de la seconde station sur ce point, on a la cote 99",324 du flan de visée de la seconde station, à Taide de laquelle on calcule, comsie ci-éeesus, les cotes des points de cette station. On continue ainsi de soi te pour teut le nivellement.

1410. Quand on a recoure aux courbes de niveanU) on les eq»eee

ordinairement de manière que la difTérence des cotes de deux courbes consécutives soit un nombre entier de mètres. Pour tracer l'une de ces courbes, celle inférieure a5, par exemple, on pose la mire sur un point par lequel on veut faire passer la courbe; on amène le voyant a la hauteur du plan de visée du niveau mis en station dans le voisinage, et, sans changer le niveau de place, on cherche, en promenant la mire, des points ayant la même cote que le premier, c'est-4-dire pour lesquels le voyant reste à la même hauteur. Ayant déterminé ces points suffisant ment rapprochés et dans toute retendue de la portée du niveau» on place rinstrument à une nouvelle station, on amène le voyant, qu'on a eu la précaution de laisser sur le dernier point nivelé, à la hauteur do nouveau plan de visée, et Ton continue la détermination des points comme à la première station. Le dernier point de la courbe ab étant déterminé, on fait baisser le voyant de la distance de deux courbes successives, et on promène la mire sur le sol jusqu'à ce que le plan de Tîsée passe par la ligne de foi. Le point où se trouve la mire appartient a la courbe suivante cd, dont on détermine les autres points en opérant comme pour ab.

Quand il est impossible de baisser le voyant d*une quantité égale à la distance verticale de deux courbes consécutives, à l'aide de quelques

coups de niveau donnés de stations différentes, on détermine un point de la courbe suivante.

Ayant, par exemple, choisi la cote 40 mètres pour la première courbe, les cotes des courbes suivantes sont successivement 15", 20", 25"... si la distance verticale de deux courbes consécutives est de 5 mètres.

Ayant rapporté les courbes sur le plan, leur position relative indique la forme du terrain; ainsi, où elles sont très-rapprochées, comme en a, la surface est très-inclinée. 11 est du reste facile de dessiner un profil suivant une direction quelconque, en opérant comme au n* 1406. La partie supérieure de la figure 414 représente le profil fait suivant la direction droite ab ; seulement, au lieu de se contenter d'unir par des droites les points dont les cotes sont connues, on les a raccordés par une courbe continue.

Entre deux courbes consécutives, la surface du tehrain n*a rien de régulier ; mais on s^écarte peu de la vérité en supposant, comme on le fait dans la pratique, qu'elle est engendrée par une droite NP qui se meut en s'appuyant sur les deux courbes et en restant constamment normale à la courbe inférieure.

Pour avoir la cote Mm d'un point situé entre deux courbes de niveau, si Ton opère sur le plan, on mène par m la droite pn normale k la courbe inférieure cd (fig. 414); on porte les distances ptn et mn sur une droite, et terminant la fig. 415, les deux triangles semblables PMm', PNn' donnent

Mm':Pm'=Nn':Pn'

ou

Mm':|)m = (Nn-.P|?):pn, d'où Mm'= £^iîÎ2 J^). On a ensuite Mm = Mm'+ Pp == £ÎÎL(NlpZP] + Pp.

Si Ton avait opéré sur le terrain, on aurait déterminé les longueurs PM et PN, et les deux triangles semblables PMm' pt PNn' auraient encore permis de calculer Mm' et par suite Mm.

Pour avoir sur une normale np k la courbe cd un point m d'une cote déterminée Mm, des deux triangles semblables PMm' et PNn' on conclut

Pm':Mm'=Pn':Nn'.

ou |>m:(Mm— Pp)=jm:(Nn — Pp), d'où pm=i5!^=^l^.

On conçoit que par ce moyen on peut déterminer autant de points que Ton veut ayant la même cote, et, par suite, tracer des courbes de niveau intermédiaires.

I4H. Pour tracer sur un plan coté, et a fleur du sol, c'est-k-dire avec le moins possible de déblais et de rem- Fig. 416. biais, un chemin ou une rigole dont la pente a

par mètre est donnée (1097), m étant la projec* tion du point de départ, on commence par déterminer la longueur mn de la projection de la partie de chemin ou de rigole comprise entre le point M et la courbe voisine inférieure; or a correspondant a une distance horizontale de

"■" 1 mètre, et h étant la différence de hauteur des

courbes consécutives, la longueur de mn est

égale à - . Du point m comme centre, avec mn pour rayon, décrivant

un arc de cercle, il coupe la courbe inférieure au point n, et mn est le tracé cherché. Opérant de même entre le point n et la courbe voisine inférieure, et continuant ainsi de suite, on obtient le tracé com* plet mnp..., dont on a Soin d*arrondir les angles à l'exécution. Gomme les arcs décrits des points m, n, p... peuvent déterminer plusieurs points sur les courbes inférieures, le problème comporte en général un grand nombre de solutions.

Quand le tracé doit passer par des points déterminés, on le cherche par tâtonnement, en opérant comme ci-dessus. L'on conçoit que dans ce cas il peut arriver qu'on soit obligé de modifier la pente, au moins dans quelques parties du tracé.

1412, Si le tracé devait avoir entre chaque courbe la plus grande pente, et, par suite, la plus petite longueur possible, par le point m on mènerait une normale mn à la courbe voisine; par le point n, on en mènerait une autre h la courbe suivante, et ainsi de suite. La ligne mnp... ainsi déterminée prend le nom de ligne de pente du plan.

Quand la surface du terrain est plane, les courbes de niveau sont des droites horizontales équidistantes, et la ligne de pente devient une ligne droite perpendiculaire aux premières; c'est la ligne de plus grande pente du plan, c'est-à-dire la ligne qui a la plus grande pente parmi toutes celles que l'on peut tracer dans le plan (744, 1097).

Cette ligne de plus grande pente se représente sur un côté du dessin par deux lignes parallèles très-rapprochées {fig. 417), et on la divise en parties égales représentant les projections des distances des points du plan dont les cotes diffèrent de 1 mètre. Les points de division sont ceux où les projections horizontales des lignes du niveau rencontrent la ligne de pente, quand la différence des cotes des lignes de niveau est de 1 mètre. La ligne de pente ainsi divisée est appelée échelle de pente du plajîj et comme on a soin de la coter comme le plan, qui n'est du reste en général coté que par cette échelle, elle permet d'obtenir immédiatement, soit la cote d'un point quelconque du plan, en lui menant par ce point une perpendiculaire, soit les points du plan qui ont une cote donnée.

SIS SIXIÈME PARTIE. — LEVSft fiOS FLAKS. ARPBlfTAGE. NIVELLEMENT.

i4U. A rude de l'échelle de pente on peut aussi tracer par un poùU a du plan une droite ayant une pente donnée^ Fjg. 417. Par le point k de Téchelle, qui a une cote

égale à celle du point a augmentée ou dimî- Buée d'une certaine quantité, de 2",40 par exemple, on mène une horizontale kh du plan. La peale de la droite devant être de 0*,30 par exemple, sa projection horizontale

2 40 comprise entre aeikh sera de ^-^ = 8 mètres'; alors, du point a comme centre, avec un rayon de 8 mètres, pris à Téchelle du plan, décrivant un arc de cercle, C rencostreraicA en deux points 2»y, etles deux droites

0X %iay répondront k la question. Si Tare xy était tangent à JkA il n'y

aurait qu'une aoIutî<m, et s'il ne rencontrait pas kk il n'y en aurait pas.

Tant que la droite est moins inclinée que le plan il y a deux solutions,

îl n'y en a qu'une quand elle a là même pente, et û n'y en a aucun<^

quand sa pente est plus forte.

1414. V échelle de pente dune droite est la projection horizontale de

cette droite, sur laquelle on a marqué les projections des points de la

droite dont les cotes diffèrent de 1 mètre (1412).

SEPTI£SIE PARTIE.