MOUVEMENT VARIÉ
MOUVEMENT VAUIE.
1429. Le mouvement est dit varié lorsque, contrairenient à ce qui existe dans le mouvement uniforme (1425), les espaces parcourus en temps égaux quelconques sont inégaux, c*est-k-dire quand la vitesse du mobile n'est pas constante pendant toute la durée du mouvement.
1450. Lorsqu'un mobile parcourt certains espaces égaux en temps égaux, sans que la même condition soit remplie pour les parties do ces espaces, on dit que le mouvement est périodique uniforme.
Un des espaces égaux parcourus en temps égaux est le chemin parcouru pendant une période^ et ]c temps employé à le parcourir est la durée de la période.
Prenant la durée d'une période pour unité de temps, et le chemin parcouru pendant cette unité de temps pour vitesse r, Tespace E , parcouru pendant le temps t qui se compose d'un nombre entier de durées de période, est, comme dans le mouvement uniforme (1427) donné par la formule
1451. Vitesse dans le mouvement varié, Quoique la vitesse puisse ikî pas être la même à deux instants successifs dji mouvement, on peut la considérer comme constante pendant une portion quelconque infiniment petite de la durée du mouvement; alors, à l'instant considéré, la vitesse est égale à V espace infiniment petit divisé par le temps infini-ment petit employé à le parcourir (1427), ou bien encore à Vespace qui serait parcouru pendant Vunité de temps^ «, à partir de Vinstant considéré^ le mobile se mouvait avec une vitesse constante égale à celle qu'il a acquise à cet instant (1426).
Désignant par dE l'espace infiniment petit parcouru , et par dt le temps infiniment petit employé à le parcourir, la vitesse est donc
dE
Dans la pratique, il est impossible de prendre dE et dt infiniment petits, et par suite d'avoir v exactement; mais la valeur de cette quantité est d'autant plus exacte que dE et dt ^ont pris plus petits.
Traçant deux axes rectangulaires (1085), puis prenant surOx.k partir de l'origine 0 {,fig. 420), différentes longueurs proportionnelles aux valeurs du temps t (1427), et élevant aux différents points obtenus des ordonnées représentant les valeurs correspondantes de E, la courbe AA" passant par toutes les extrémités des perpendiculaires est telle, que l'ordonnée A'B' d'un quelconque de ses points est, avec l'exactitude que comporte un tracé graphique, l'espace parcouru pendant un temps représenté par l'abscisse correspondante OB'.
Pendant l'instant 66', différence des temps 06' et 06, l'espace par-
couru est a'h' — a6 = a'c, et supposant que aa' est droit, on a — =
tan^ a'ac (1091). Mais quand aa' ost droit, il n'est autre chose qu'un
éïéniont infiniment petit qui se confond avec la tangente al à la courbe au point a; alors tang a'ac est la tangente trigononié trique de Tangle a forme avec Taxe Ox par la tangente al à la courbe au point n; déplus, comme 66' et a'c deviennent infiniment
donr
p«lil,i, — n est autre chose que -j = v;
V = tang a.
Ainsi, après um temps quelconque Ob, la vitesse est représentée en, intensité et eii signe par la tangente iriganomètrique de Vangle a foarmé a>iec faxe Ox par la tangente à la courbe au point correspondaid a.
On prend pour le sens de la tangente à la courbe le sens aa' ou AA' ,'556), et l'angle positif a (1088; est déterminé par ce sens avec Ox; il est alors facile d'avoir l'angle a et par suite tanga ou r (1094). Le point de contact variant de A à A' dans Idijig. 420, a reste aigu, et tanga = t? rtîst:^ positive, ce qui doit être, pnfsque Tespace parcouru va en aug- »!ientant. Le point de contact étant arrivé vers k\ il y a une position (»our laquelle a devient nul, ainsi que tanga ou r; en effet, àTlnstant correspondant, l'espace parcouru cessant d'augmenter pour commencer h diminuer, on peut le considérer comme ne variant pas pendant cet instant, ce qui ne peut être qu'autant que la vitesse est nulle.
Le point de contact passant à droite do A', entre A' et A", a est compris entre 360" et 270% et tanga = r doient négative; ce qui doit être, puisque l'espace parcouru diminue, le mobîlo se rapproche du point de départ En continuant de tracer la courbe au delii du point A", elle pourra passer au-dessous de Ox; mais en un point quelconque la détermination de a n'offrira pas plus de difficultés.
Les points où la courbe rencontre Ox indiquent, par leurs distances à l'origine 0, les temps après lesquels l'espace parcouru est nul ; le mobile se trouve après ces temps au point d'où l'on compte les espaces parcourus.
1452. Variation de la vitesse dans le mouvenhent varié, v étant la vitesse du mobile à la fin du temps t, après le temps t plus l'instant ât la vitesse aura augmenté ou diminué d'une quantité infiniment petite dv^ et sera devenue v + dv, les quantités r et dv ayant des signes quelconques.
dv étant la variation de la vitesse pendant le temps di, la variation moyeune est, pour l'unité de temps, pendant le temps dt^
. 1 dv ^'^'^dt^Tt'
CeMe valcnr, rfiii vl Io si^^ne de fir, e9t la quantité dont varierait la vi« l«^9se pendant Inanité <le temps ^i succéderaH k ^, Sfpoor ehsqne instant d/ de cotte unité la variation de ia vitesse-éteH eenstairte et égale k dv,
[1 est encore évident que dans la pratique on aura d'autant mieux la variation de fia vrteflseà riH«ta»tqtti succède au temps f, que (96 et par «u'rte dt? seront pl»« petit».
-T7 est Vaccùlératiùn de vitesse 'pendant Vanité de temps, ou simple-
ruent Vaceèlération de vitesse à Fins tant considéré, c'est-h-diro âîlnstant qui »»«eèd^ an temp» #.
Dans la fig. 420, les abscisses étant toujours propoHiofvnelles aw» temps, mais les ordonnées représentant les vitesses correspondantes, on a
tang a'ac ou tang a = — = 77 •
Ainsi, V accélération de vitesse est repi^ùsenlèc par la lan(jcnte trigonométrique de V angle a formé avec Vaxe des x par la tangente à la courbe au point a.
Remarque. Ayant par l'observation détemiinée les espaces parcourus par un mobile après différentes râleurs du temps, traçant une courbe comme il a été indiqué au n^ 1431 , cette courbe fournira, à Taide de ses tangentes, les vitesses après les temps correspondants aux points de contact. Ces vitesses permettront ensuite de tracer, comme il a été indiqué ci-dessus, une nouvelle courbe qui donnera les accélérations de vitesse.
1455. Courbe dont Voire représente V espace parcouru dans le mouve^ ment varié. Si, comme au numéro précédent, dans la fig. 420, les abscisses représentent les temps, et les ordonaées les vitesses correspondantes, Tespace parcouru pendant un temps quelconque t = OB' est représenté par Taire OB'A'A (1427). Kn effet, pendant TiB^itaiU di = bb\ on peut supposer la vitesse ron«tanie et égale à la moyenne des deux vitesses ab et a'b'; Fespace parcouru pendant cet instant est donc représenté par ^ X bb\ c'cst-a-dîre par la surface du trapèze
aa'b^b (697). Pendant un autre instant <piekonque du temps /, Fespace parcouru étant de même représenté par la surface du trapèze élémentaire correspondant, Fespace total parcouru pendant le temps t le sera parla somme de tous les trapèzes, c'est-à-dire par Faire totale OB'A'A, qu'on p^Mirra calculer k Faide de la formuki de Jiiiiipson ou de celle de M. Poncelet (1303, 1301).
1454. Lorsque la vitesse r et Faccélération jj sont de même signe, •
c'est-à-dire a la fois positives ou n<î^tives, le mouvement est accéléré, dans le sens vulgaire de ce mot. Si, au contraire, ces deux quantités sont de signes différents, le rnouvement est retardé : la vitesse va d'aAiorA
en diminuant, et tant qu'elle n'est pas nulle, le mouvement est retardé ;
puis la vitesse change de signe, va en augmentant, et le mouvement est
accéléré, mais rétrograde.
dv i43K. Lorsque Taccélération de vitesse ^ , que nous représenterons
par 7, est constante, le mowemeni est dit uniformément varié.
1456. Expression de la vitesse dans le mouvement uniformément varié, j étant Taccélération de vitesse pendant chaque unité de temps, pendant une seconde par exemple, après le temps quelconque t secondes, elle devient J^ et il en résulte que le corps possédant au commencement du temps t une vitesse v^, dite vitesse initiale^ après ce temps il possède la vitesse
î?=tJa + ;ï. (a)
Adoptant un sens de la ligne que suit le mobile comme positif et l'autre comme négatif, les signes de »o ^t J sont déterminés, et la formule (a) donnp la valeur algébrique de v.
Si < = 5", par exemple, on a successivement pour :
v^ = 3",00 et ; = 4-,20, i? = 3 -h 4,20 X 5 = 24-,00 ;
Nt?a = 3-,00 et 7 =— 5-,40, » = 3 - 5,40 x 5 =— 24-,00;
t?o=— 3-,00 et7 = 5-,40, r =— 3 + 5,40x 5 = 24-,00;
