MOUVEMENT VARIÉ

Cetto équation rst encore celle d'une ligne 4roile, mais dont Fordonnée à Torigine OX = Vf, (1433). Pourcon-, strtiîpe cette droite (1*), on prend OB'=/=:f , et B'A'=B'C+CA'=ro+i, pnia Ton jeîntAA'.

Après un temps quelconque / = OB*, on a bien, en raisonnant comme au 1*,

Fig. 4i3.

il *-

V btf

^. = B"A"=B"C'+ C'k"=v^'\-jL

L'espace parcouru après un temps quelconque f = OH" étant représenté par Taire du trapèze OB^A'-^A (1433), c'est-à-dire par la somme des aires du rectangle OB"C'A et du triangle AC'A", on a (690, 692)

E = OA X OB" 4- ^!£l|i^' = v,t + ^ jt\ (a')

Cette formule montre que l'espace parcouru se compose de éeox parties, dont l'une Vq^ proportionnelle au temps t et représentée par rectangle OB''C'A, est due au mouvement uniforme dont la vitesse

est ©0 (1427), et l'autre ^i^', proportionnelle au carré du temps t et

représentée par le triangle AC'A'\ est due au mouvement uniformément varié dont l'accélération de vitesse est j (r). Ainsi la vitesse iiîltiale Vq et l'accélération j produisent chacune, en agissant simultanément, le même effet que si elles agissaient isolément; leurs effets s'ajoutent.

En construisant l'équation (a'), on obtiendrait une courbe analogue à eetk de la Jig. 422. La tangente en nn pont de celle eoiiri»e éonnerait encore la vitesse du mobile après un temps représenté par FabacisBe du pMit considéré.

3" Le mouvement étant uniformément retardé et la vUesse inUiale v^, on a (1436)

v-i\--jt.

Cette équation est encore celle d'une ligne droite ayant OA^r,,

Fig. 424.

pour ordonnée à l'origine. Pour la construire (2'), on prend OB' = < = 1 , et B'A' = B'C — xV'C = v^J — J, et après un temps quelconque t=OlV\ on a

V = B"A" = B'X'~ A"C' = Vo—jt.

L'espace parcouru après un temps quelconque /=:0B" étant représenté par Taire du triangle ODA moins celle du triangle D.\"B", comme cette différence est égale à Taire du rectangle OB"C'A, moins celle du triangle A V"C', on a

E = OAxOB'-

Cette équation né diffère de celle du 2* qu'en ce que Tespace 3 jf}^

parcouru sous Finfluence de Taccélération j, se retranche de l'espace fo^ <^^ ^ Ift vitesse initiale v^; ce qui devait être, Vq et 7 étant affectés de signes contraires.

Bemoarqae 1. Les hypothèses que Ton peut faire encore ne peuvent différer des précédentes que par le signe de Vo et de 7, et elles ne peuvent embarrasser.

4* Si »= 0 et que 7' soit négatif, raisonnant comme au 1*, le triangle OB'^A'' de la fig* 421 se construit en dessous de Taxe O2 au lieu d'être «n dessus, et Ton a

r = — j7 et E=— |i<*.

2* r^etj étant négatifs, le trapèze OB"A"A de \^fig. 423 s'obtient en dessous de Ox, et Ton a

t? = — tJo-i< et E = — t?o<— g/f'.

3* Enfin r^ étant négatif et> positif, on obtient la fig, 424, mais retournée symétriquement par rapport à Ox, et l'on a

» = — v^+jï et E = — Vo^ + gi^*-

Remarque 2. Prenant un point fixe sur la ligne que suit le mobile, la distance à laquelle ce mobile se trouve du point fixe après le temps i est, dans tous cas, diaprés les mêmes raisons qu'au n*i42B, représentée par la formule générale

PESANTEUR OU GRAVITÉ. POIDS

1458. Un corps quelconque, quelles que soient sa nature et la quantité de matière qui le compose, abandonné à lui-même,

Fjg. 4t5. gg meut ou tend a se mouvoir vers le centre de la terre. La cause inconnue qui produit cet effet se nomme pesan-

Ateur ou gravité, La pesanteur agit sans interruption et de la même manière sur toutes les molécules des corps, que ces molecules soient très-rapprochées, comme dans For, ou trèséloignées, comme dans la plume. En effet, plaçant des* parcelles d'or, de bois et de duvet dans un tube en cristal où Ton fait ensuite le vide, si d'un mouvement rapide on amène Textrémité inférieure du tube et les objets qui s'y trouvent à la partie supérieure, et qu'on tienne le tube dans une position verticale, on voit les objets qu*il contient tomber en s'accompagnant constamment; ce qui ^f n'aurait évidemment pas lieu si la pesanteur n'agissait

f pas indistinctement sur toutes les molécules qui compo-

sent ces objets.

Gomme les corps en tombant dans l'air sont obligés de déplacer ce gaz, il en résulte une résistance qui s'oppose au mouvement et le rend plus lent. Comme, de plus, cette résistance est d'autant plus grande qu'il y a plus d'air déplacé, c'est-à-dire que la section du corps en mouvement est plus grande, il s'ensuit qu'une plume composée d'un certain nombre de molécules tombera plus lentement dans^ l'air qu'un morceau de plomb contenant le même nom])re do molécules, quoique dans tous les cas la pesanteur agisse de la même manière sur chacune des molécules qui cojii- Wk posent l'un et l'autre corps. On rend sensible cet effet de

^ l'air, en en laissant rentrer dans le tube dans lequel on

■ avait fait le vide, et en recommençant roxpérience dir

renversement.

1459. Variation de la fesanieur. Nous venons de dire que la pesanteur agissait de la même manière sur toutes les molécules des corps ; mais cela n'est rigoureusement vrai qu'autant* que les corps sont places dans les mêmes circonstances; car, pour une même molécule, la pesanteur varie avec les positions que peut occuper cette molécule autour du globe terrestre. Ainsi :

!• Ayant reconnu par expérience que la pesanteur varie en raison inverse du carré de la distance au centre de la terre, elle a donc une valeur différente pour chacun des points que peut occuper une même molécule sur une verticale ; 2* La terre n'étant pas tout a fait sphérique (1385), et les rayons dî-

574 SKPTlàME PAATIS. — néCAMlQUe.

minuant de Féquateur au pôle, il en résulte qu'à la surtace du globe la pesanteur diminue, pour une mdme molécule, depuis les pôles jusqu'à l'équateur.

Ainsi, pour une même molécule, la pesanteur varie selon que la molécule s'éloigne ou s'approche de la surface de la terre €i l*rafii'eile s'éloigne ou s'approche de l'équateur; mais les distaBces des positions dans lesquelles on a coutume, en mécanique, de considérer les corps sont si petites par rapport au r^on de la terre, qui a près de 1500 lieues, que les effets de la variation de la pesanteur sont insensibles» et q«'on peut regarder la pesanteur comme constante.

Remarque, Le globe terrestre exécutant chaque jour autour de son axe, qui va d'un pôle a l'autre, une révolution entière^ et tous les points matériels participant à ce mouvement de rotation, il en résulte que chacun d'eux est sollicité par une force, appelée force centrifuge^ qui tend à l'éloigner de l'axe. Comme l'intensité de cette fOTce augmente avec la vitesse du point, qui est proportionnelle an rayon du cercle décrit, les rayons des cercles décrits par les points de la surface du glèbe allant en diminuant depuis l'équafeur jusqu'aux pôles, où ils sont nuls, la force centrifuge va donc en diminuant de l'équateur au pôle. Cette force centrifuge, par sa direction et par son intensité, quoique indépendante de la pesanteur, c'est-à-dire de l'attraction de la terre» ne tend pas moins à diminuer l'action de la pesanteur avec une intensité qui augmente du pôle à l'équateur.

1440. La direction de la pesanteur, qui est évidemment celle suivit» par un corps qui tombe librement, est dite verticale (574), elle est partout normale à la surface de la terre, ou mieux à celle des eaux tranquilles, et se trouve représentée par la direction d'un^^ à plomb,

L'n plan perpendiculaire à la verticale est appelé plan horizontal^ et toute droite, tracée dans ce plan, au pied de la verticale, est horizontale.

Rnnarque, Si la terre était parfaitement sphérique, toutes les verticales passeraient au centre de la terre; comme elle diffère peu de cette forme, toutes les verticales passent en des points assez voisins du centre sans être parallèles entre elle-s. Deux >erticales peuvent ne pas être dans un môme plan, et si elles y sont, elles se rencontrent.

Les verticales ou les directions de la pesanteur \aricut donc pourtous les points de la surface du globe, et ne sont pas parallèles; mais comme les molécules d'un môme corps, ou celles des différents, corps que l'on peut considérer siumllanémenl en mécanique sont très-rapprochées relativement aux distances auxquelles les directions de la pesanteur pour ces molécules se rencontrent ou tendent à se rencontrer, on peut les considérer comme étant parallèles entre elles.

1441. Pouvant supposer que les molécules do tous les corps pesants que l'on considère simultanément sont sollicittMîs vers lo centre de la terre chacune par une force élémentaire qui est la mémo pour toutes, et que, de plus, ces forces élémentaires sont parallèles et agissent dans le même sens, de là, et de ce qui sera établi relativement aux forrvs

PtSAiNTSUR OU GAAVlTé. POUàA, ST!^

parallèles de mèxoe sens iippliqnées en des peints liés eatro eax <i'uii(> manière iaTariable, il s'ensuil :

i* Que \m résullante des actioas de la pesanievr sur les diverses nioJôeulas d'un corps ou sjrstème de «orp0 est égaie à leur sonixne (1423) ;

À* Qifte la diroctioQ de eeUe résuitanie est celle de la pesanteur, cVstà-aire 4e la verikale (1440^.

1442. Le poids d'un orps est la résultante des actions de lapesanttuu* sur les diverses molécules de ce corps (1441).

L'action de la pesanteur pouvant être considérée comme étant la même pour toutes les molécules (1438, 1439), le poids d'un corps est donc proportionnel au nombre des molécules ou à la quantité de matière que contient ce corps.

Il ne faut pas confondre la pesanteur avec le poids. La pesanteur est la cause qui attire les corps vers le centre de la terre, au lieu que le poids est la force qui résulte de cette cause pour chacun des corp^, force qui est égale à Tcffort que chaque corps exerce sur Tobstade qui le tient soulevé. La pesanteur est la cause, le poids est Teffet

i443. L*fte!îen de la pesanteur variant avec la position par rapport au centre de la terre (1439), le poids d'un corps varie de la même manière, ainsi on fil qui suspendrait successivement un même corps près de la sarfoce de la terre et dans des régions élevées, serait soumis k une plus grande tension dans la première position que dans la seconde, et les deux valeurs de la tension seraient celles du poids.

Cette variation du poids à la surface du globe est trop faible pour qu'on ne puisse pas la négliger: ainsi les poids de deux corps qui banderaient également un même ressort au Spitzberg et à l'île de l'Ascension ne différeraient entre eux que de — de leur valeur moyenne. Dans toute l'étendue de la France, de Dunkerque k Toulon, cette différence ne serait pas le -rj^ de la valeur moyenne de tonales poids.

Cette variation du poids n'est pas rendue sensible arec les instrtiments sans ressorts, comme la baLince, parce que l'aelion de la pesanteur est hi même sur les deux corps placés dans les plateaux. Cette propriété de !a balance dindiquer partout le méine poids pour un même corps a son avantage dans les opérations commerciales.

En prenant pour irramme dans chaque localité le poids du centimètre cube d'eau dans celte même localité (214), et en y graduant les instruments à ressorts qui doivent y servir, comme la balance, cos instruments indiqueraient tous le même poids pour le même corps.

1444. Mesure des forces. Dynamomètres, On compare les poids des rorps entixi. eux au moyen de la balance, en prenant pour unité le s;raannie ou le kilogramme (214). Quant aux autres forces, on les mesiire à l'aide dlnsUuments appelés dpnamomèfresy on adoptant enoor<'

le kiU>;/raniiiu« pour nnit4*.

SEPTIÈME PARTIE. — UÉGANIQCE.

Fig. 426.

Un dynamomètre se compose en général d'un ressort en acier, qui se déforme plus ou moins quand on le soumet à Faction de forces d'intensités différentes. On en a fait de bien des dispositions, dont une des plus simples est celle du peson à ressort du commerce, qui consiste en un ressort en acier Tnnp courbé en forme de V, à la branche m duquel est rivé un secteur métallique/*, qui passe librement dans un œil pratiqué à travers l'autre branche p; à cette autre branche est rivé un second secteur BD qui passe librement dans un œil fait dans la branche m. De cette disposition, il résulte que pour graduer l'instrument, il suffit de l'attacher par un anneau D à un crochet ûxe A, de suspendre successivement a l'anneau s des poids de 1, 2, 3... kilogrammes, et de graver sur le secteur CD des petits traits aux points où la branche m s'arrête pour les différents poids. Ces traits forment une échelle que l'on gradue, et qui permet ensuite de mesurer une force quelconque que Ton fait agir sur l'anneau *, après avoir attaché l'anneau D à un point fixe. Le secteur BD porte un talon C contre lequel vient buter la branche m du ressort, quand la force qu'on mesure atteint la limite qu'il est prudent de ne pas dépasser si Ton ne veut pas compromettre la solidité de l'appareil. Le dyncmomètre de Régnier est formé de deux ressorts en acier ab^

cd, réunis à leurs extrémités par deux étriers en fer A et B. Attachant Textrémité A à un point fixe, et faisant tirer la force sur l'autre extrémité B, les milieux des ressorts se rapprochent; une petite pièce de métal fixée au milieu de la branche cd presse l'extrémité e d'une petite bielle ou tige ef, qui fait mouvoir le levier coudé fig^ k l'extrémité / duquel elle est articulée ; la branche ig de ce levier fait mouvoir une aiguille dont la flèche se promène sur une échelle gravée au pourtour d'un secteur fixé au milieu de la branche ab, et qui porte l'axe o de l'aiguille et celui du \e\ïerfig. L'échelle du secteur a été graduée k l'avance, k l'aide de poids connus, comme pour le peson. Un dynamomètre exécuté par M. Morin, sur les indications de M. Poncelet, est formé de deux ressorts parallèles réunis k leurs extrémités par des articulations k deux tiges en fer d'égale longueur. La force agit normalement au milieu de la longueur et tend k écarter les ressorts, auxquels on a donné la forme d'un solide d'égale résistance, ce qui augmente la sensibilité de l'appareil en même temps que Técart des lames est proportionnel k l'effort. Le ressort mobile porte un crayon qui indique sur un papier l'écartement des ressorts et par suite

PCSANTSDR OU GRATITÉ. POIDS.

Tefifort exercé, et en imprimant au papier un mouvement de trànsla* tion dans lequel les espaces parcourus sont proportionnels aux espaces parcourus par le point d'attache de l'appareil; le crayon trace une courbe dont les ordonnées indiquent les intensités de la force, et Taire le travail produit par cette force. Ce dynamomètre est employé pour mesurer la traction nécessaire au mouvement des véhicules, et le tra* vail développé par cette traction.

i44S« Application des formules du mouvement uniformément varié à la pesanteur (1436, 1437). Le poids d'un corps étant, dans les limites de nos observations, une force k t)*ès-peu près constante qui agit d'une manière permanente sur le corps (1443), il en résulte que ce corps n'étant soumis qu'à l'action de la pesanteur, il doit se mouvoir dans le vide avec un mouvement uniformément accéléré (1449). C'est en effet ce que vérifie l'expérience, qui a de plus fait voir que l'accélération de vitessse^ (1435), qu'on a l'habitude de représenter par g lorsqu'il s'agit de la pesanteur, était, par seconde, à l'Observatoire de Paris, et en réduisant les observations au niveau de la mer, égale à 9", 8088 ; elle est d'environ 0",03 plus petite à l'équateur. Dans la pratique, on

peut faire g = 9'»,81 et - = 0,102.

Table des valeurs les plus approchées, à moins d'une unité décimale du cinquième ordre, des 9 premiers maltîples de g, g\ g^, V7, yfg, -, -j, — , W - e^ W -,

qu'on reocODtre fréquemment dans les formules.