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81B SKPTlÈfllE PAIITIfi. -^ llSGA«iQ€£.

V^ 5= 4,42018, j^ =0,0020, V/— = 0,22578, V- = û,46lâ5- Iil||^=:=0,9(»ei59, logS^'tsI^nemâO, log^srl^OMAMl, JOg 1 ssiêjai^titt» tOg 1 =^2,t07354l, la^ ^, ^MUTOtt, •orY/iî==r,504mi,

logV/.^ =7,3530771, log y- =T,C.'>4 70TI.

Lorsque le corps so nirul dans ï'air, il ('prouve, pour déplacer ce gaz, une résistance qui diminue son mouvement. ¥aîs lorsque la vitesse du corps n'est pas considc^mMo et que sa section est Taîble par rapport k son poids, on peut supposer, dans les cas ordinaires de la chute des corps, qu'il se meut, sans erreur sensible, dans Taîr comme dans le vide.

Les formules du mouvement unirormément varié sont, pour le cas de la pesanteur :

Faisant Eq = 0 et Vq = 0 dans cette dernière formule, elle devient, «a prenant seulement le signe +,

en remplaçant g par sa valeur en fonction de r,

Ce qui avait déjà été établi pour un mouvement uniformément accéléré quelconc[iic (1*, 1437).

Pour t = \'\ la formule (a) donne

Ce qui fait voir que Vespace j)circouru j^nilaid la première seconde ds mouvement, sous V action de la pesanteur, est 4", 0044, moitié de la vitesse acquise après ce temps (1% 1437 .

1446. Application de ces formules à la chute des corjjs.

La vitesse initiale l'o étant nulle, c'ost-à-dire le corps partant du repos, et ^ = 5" étant la durée ûo la descent(\ la vitosso acquise après ce temps •st (2% 1445)

v — gt — 9,808S X 5 - 49",044. (aj

9= ^jj =9",S0S8;

E=dzE,±ro<±|y<'

PESANTEUR OU GRA^mTÉ. POU». 679

Pour savoir quelle doit être la durée de la chute pour que le mobile acquière une vitesse déterminée v = 49*,0i4y on remarque que la formule (a) donne

Supposant Eo = 0, h étant Tespsce parcouru, c'est-à-dire la hauteur delaqudle le corps est tombé après un temps t = b'\ on a (3% 1445]

Pour avoir le temps que mettra un corps pour tomber d'une hauteur h = 122r,61, de la formule (b) on tire

Quant à la vitesse qu'acquiert un corps en tombant d'une hauteur donnée 122*,61, remplaçant dans la formule (a) t par sa valeur (6'), on a

}= ^y — = sj%gh=:zyj% X 9,8088 x 422,61 = 49-,0U.

Pour avoir la hauteur de laquelle doit tomber un corps pour acquérir une vitesse donnée v = 49*,044 par seconde, de la formule (c) on tire

Cesfbrmules, qui sont d'un usage continuel en mécanique, donnent: (a), la vitesse en fonction du temps ; (a^, le temps en fonction de la vitesse; (6), la hauteur de chute en fonction du temps ; (6'), le temps en fonction de la hauteur de chute; (c), la vitesse en fonction de la hauleur de chute; (c'), la hauteur de chute en fonction de la vitesse.

Ces formules sont données pour le cas de la pesanteur; mais des formules des n"* 1436 et 1437, et* en opérant comme ci-dessus, on en conclurait de tout à fait semblables pour un mouvement uniformément varié quelconque; g serait simplement remplacé par j. Nous avons préféré, sans double emploi, donner celles relatives à la pesanteur, qui sont d'un usage plus fréquent dans la pratique.

SEPTIÈME PARTIE. — MÉGANIQUE.

TaMeaa des valeurs àev=gt et des hauteurs de chute h^^-gt^^ --vt

correspondant à différentes yalears du temps t

YàLEUAS DB

TALErRS SB

TALEims BB 1

aïs

li ,75144

Les vitesses étant proportionnelles aux temps et les hauteurs aux carrés des temps, selon que les temps de la première colonne seront 10 fois plus grands ou iO fois plus petits, on multipliera ou Ton divi* sera les valeurs correspondantes de t- par iO et celles de h par 100. Ainsi, par exemple, pour t = 0",15, on a r = l»,47i 320 et A = 0*,110 349, et pour <= 15" on a v = 147»,432 et 7i= 1103-,490.

1447. Détermination expérimentale des lois du mouvement uniforme-' ment variée et vérification de la loi de Vineriie (1420). En observant le mouvement d'un corps tombant librement sous l'action de la pesanteur, on remarque qu'entre Tespace parcouru, la vitesse et le temps, il existe les relations du n" 1445; ce qui prouve que le mouvement est uniformément varié, et que, par conséquent, l'action continue d'une force constante sur un corps libre produit ce mouvement (1449).

A cause de la rapidité du mouvement d'un corps qui tombe librement, on conçoit que ces observations ne peuvent fournir que des résultats plus ou moins approchés de la vérité. A l'aide de la machine d'Atwood, on est parvenu à rendre le mouvement aussi lent qu'on le désire (1452), sans qu'il cesse d'être produit par l'action continue d'une force constante sur un corps que l'on peut considérer comme étant tout à fait libre; alors les résultats ont été observés en toute rigueur, et ils ont vérifié les lois posées aux n"' 1436 et 1437 pour le mouvement uniformément accéléré.

Quant à la valeur de g (1445) , qui ne peut être fournie par la machine d'Atwood, on l'a déterminée très-simplement et avec la plus grande rigueur à l'aide du pendule (Voir pendule simple).

PESANTEUR OU GRAVITÉ. POIDS

Fig. 428.

La machine d'Atwood, ainsi nommée du nom de son inventeur, professeur de chimie à Cambridge à la fin du siècle dernier, se compose d'une colonne en bois de 2",30 environ de hauteur, au sommet de laquelle est une poulie à gorge en cuivre P, sur laquelle passe un fil de soie soutenant à ses extrémités deux cylindres métalliques A et B de poids égaux.

Le fil de soie est très-fin, pour qu'on puisse négliger son poids et sa roideur, et afin que la poulie sur laquelle il passe soit aussi mobile que possible, son axe, au lieu de reposer sur un coussinet fixe, s'appuie sur les jantes croisées de 4 roues mobiles, ce qui remplace son frottement de glissement par son frottement de roulement au pourtour des 4 roues, et par le frottement de glissement des axes de ces roues, lequel, à cause de la faible vitesse de ces axes, n'absorbe qu'un travail négligeable. Tout le système est supporté par un socle muni de 4 vis calantes qui permettent de rendre les règles graduées verticales.

Le cylindre A peut se mouvoir verticalement le long d'une règle en bois L, divisée en parties d'égale longueur, et en un point quelconque de laquelle on peut fixer deux curseurs métalliques, Tun C muni d'un disque plein, et l'autre C d'un anneau dans lequel peut passer facilement le cylindre A. A la colonne est fixé un appareil chronomélrique qui bat les secondes, et qui, au moment où l'aiguille arrive en un point convenu du cadran, décroche une détente qui retient une plaque à charnière maintenant le dessous du cylindre A à la hauteur du zéro de la règle graduée L.

Comme on a placé une petite plaque additionnelle sur le cylindre A, son poids communique alors à chacun des cylindres A et B un mouve-

582 SSPtlÈME PARTIE. ^ MÉCANIQUE.

ment qui est uniformément accéléi^. En effet, plaçant par tAtoimement^ le dessus du curseur plein à une distance du zéro de Téchelle L, telle que le bruit du pendiàe à la fin de la 1'* seconde coïncide avec celui que fait le cylindre A. en frappant sur le curseur^ et recommençant Texpérience suceessirenent pour 2, 3, 4... second&s, on trouve que si dans la première expértence, c'est-à-dire pendant une seconde, le cylindre A a parcouru 15 dîTisîons de Téchelle, par exemple, dans les expériences suivantes, e'est-k-dire pendant 2, 3, I... secondes, il en parcourt respectivement i6 x 4, 15 x 9, 15 x 16... ; ce qui montre bien que les espaces parcourus sont proportionnels aux carrés des temps, et que par conséquent le mouvement est uniforakément accéléré.

Pour déterminer la vitesse après une seconde, par exemple, on rem- , place le curseur plein par le curseur annulftire, que Ton dispose de nanière que du dessus de ce curseur au-dessus du cylindre A il y ait 15 divisions de Féchelle, et Ton place le curseur plein de manière que sa face supérieure se trouve a 30 divisions plus la bsoteur du cylindre A au-dessous du dessus du curseur annulaire. Faisant alors Texpérience, les battements du pendule, après la l'* et la â* seconde, coïncident, le premier avec le cboc de la plaque additionnelle sur le curseur annu* laire, et le second avec celui du cylindre A sur le curseur plein. Or la plaque additionneDe, qui a pfoduit le mouvemezit accéléré pendant la 1»* seconde, se trouvant airètée par le curseur circulaire, le mouvement a été uniforme pendant la 2* seconde, et Fespace de 30 divisions qui a été parcouru est la vitesse acquise à la fin de la r* seconde, vitesse qui est bien le double de Fespace parcouru pendant la 1'* seconde.

Si au lien de prendre des temps de 1 seconde, on en prenait de % secondes, on trouverait de même que le dessus du curseur annulaire doit être placé à 60 divisions au-dessous de la base supérieure du cylindre A k son point de départ, et à 120 divisions plus la hauteur du cylindre A au-dessus de la face supérieure du curseur plein.

La durée de Faction du poids additionnel restant de 1 seconde, si Fon dispose le curseur plein de manière que Fîntervalle entre le choc de la plaque additionnelle sur le curseur annulaire et celui du jcjflindre A sur le curseur plein, au lieu d'être de 1 secondes soit de a secondes, le nombre des divisions parcourues entre ces deux chocs est de 60 au lieu de 30; si ce temps est de 3 secondes, le nombre des divisions parcourues est de 90, et ainsi de suite. Ce qui montre que la vite^e devient constante sitôt qae Faction du poids additionnel cesse, et vérifie la loi de Fînertie (1420).

La machine étant garnie d'une seconde règle L', en y fixant un second curseur annulaire sur lequel est disposée une plaque additionnelle que prend le cylindre B en montant, au moment où le cylindre A quitte sa plaque additionnelle, le mouvement devient uniformément retardé, et si les deux plaques additionnelles ont le môme poids, le cylindre B s'élève sensiblement d'un nombre de divisions égal à celui dont est descendu le cylindre A pendant qu'il était sollicité par sa plaque additionnelle; ces deux nombres seraient égaux sans les frottements

rSSAMTBllR OU GRAVITÉ. POIDS.

flaK tX6Sy la roideur du ôi et la résistance de Tair; de i^lus^ cee^ noot'- Iveft de divisîons seraient paroeuriis dans le même temp», et la vitesse Hpasserait par les mêmes valeurs dans un ordre inverse.

Âinai en lançant un projeetile de bas en haut, suivant la vortical», •ta^ec une oertaine vitesse initiale r^, il monte à une hauteur telle, qm^en redescendant il reprend la même vitesse v^, mais de signe con» traire; la durée de la montée est égale à celle de la descente, et en géBéral des espaces égaux pris à la même hauteur, l'un sur la montée Fantre sur la descente, sont parcourus dans le même temps; enfin à II même hauteur le mobile possède de» vitesses égales et de signes con«* Inifes en montant et en descendant Gos relations s'établir^ent faci» lemtDt comme applications des formules du n" i446.

M» Mmrin d'après une idée première de M. Poncelet» a fhit construire

Fig. 429.

584 SEPTIÈME PARTIE. — MÉCAMIQUE.

un appareil qui doane d'une manière continue les espaces parcourus dans le mouvement uniformément accéléré. Un poids cylindroH^onique en fer P, tombant librement, est muni d*un crayon ou pinceau C, qui laisse une trace continue sur une feuille de papier recouvrant un cylindre en bois M tournant d'un mouvement uniforme autour de son axe vertical. Ce cylindre a environ O^jiO de diamètre et 2",90 de hauteur ; il est mis en mouvement par un poids P' suspendu à un cordon, lequel en se déroulant fait tourner une roue dentée R, qui commande des vis sans fin montées sur Taxe du cylindre M et sur celui d'une roue à ailettes Â. En tirant un cordon X', on dégage le cliquet d'une roue à rochet, et le système se met en marche. D'abord le mouvement est accéléré; mais comme la résistance que la roue A éprouve de la part de l'air augmente rapidement avec la vitesse, bientôt on peut considérer le mouvement du cylindre M et de tout l'appareil comme étant uniforme, ce qui a lieu quand le poids P' a parcouru les 2/3 de sa course. Alors, tirant un cordon X, on fait échapper le poids P du levier coudé L qui le retenait. Ce poids, guidé par deux fils de fer tendus, descend librement suivant la verticale , et son crayon trace une courbe sur une feuille de papier qui recouvre le cylindre. En laissant tomber le poids P avant de mettre l'appareil en mouvement, on a tracé la génératrice du cylindre passant par l'origine de la courbe. Déroulant alors la feuille de papier, on obtient une courbe plane ( fig. 422} , dont les ordonnées y, comptées à partir de l'origine de la courbe sur la génératrice du cylindre qui y passe, représentent les espaces parcourus pendant des temps proportionnels aux abscisses x correspondantes. En mesurant ces

abscisses et ces ordonnées, on voit que 5 j représentant l'espace cor-

respondant à l'abscisse prise pour unité de temps, on a bien, pour un temps quelconque,

De cette relation on peut déduire celle v ^jt sans nouvelle expérience. En effet, E augmentant de la quantité infiniment petite dE, t augmente de la quantité infiniment petite correspondante àt, et l'on a

E + dE = i i(< + d<)«= I jt'+jtxdt + I j(dt]';

d'où, en retranchant la valeur de E,

dE=jtxdt+ lj{d(]K

(dt)* étant une quantité infiniment petite du second ordre par rapport

à dt, on peut négliger zJW*^ et l'on a

^ ou v=jt. (1431, 1436)