Vo^ + -h tK

On multiplie les deux membres de la seconde par — après avoir

fait passer Eo dans le premier membre, ce qui fournit 9F F F*

Les équations (1) et (2) ayant le même second membre, les premiers donnent

2|(E-Eo) = t*-V;

d*où Ton tire, en multipliant les deux membres par -^ ,

F(E-Eo) = |7nt)«~imV. (A)

E — Eo étant le chemin parcouru pendant l'action de la force F, F(E*--£o) est le travail produit par F pendant cette même durée d'action (1474).

- mro* étant la puissance vive au commencement de l'action de U

force F, et - wn?* la puissance vive à la fin de cette action, les quan-

tités ^ mV et - mv^ étant toujours positives, l'équation (A) fait voir

que la quantité de travail produite par une force agissant sur un point matériel (1448) est toujours algébriquement égale à la différence obtenue en retranchant la puissance vive avant l'action de la force, de la po»^ sance vive après Faction ; ainsi, considérant comme gain de puissance vive une difTérence positive, et comme perte une différence négative, on peut énoncer le théorème général des puissances vives (4473) :

Le travail produit par une force agissant sur un point matériel libire est égal au gain ou à la perte de puissance vice du m&bile pendant rat> tion de la force.

Pour une perte do puissance vive égale à un gain de puissance vive, le travail est le môme, seulement il est négatif dans le premier cas et positif dans le second. Ainsi, par exemple, pour réduire au repos un point matériel possédant une certaine vitesse, le travail est le même que pour communiquer une égale vitesse au même point matériel partant du repos ; seulement il est négatif dans le premier cas et positif dans le second.

L'expression du travail en fonction de la puissance vive est d'un usage très-fréquent en mécanique.

147^. Supposons que laforce^ au lieu de rester constante^ varie d'iatervalle en intervalle.

Appelant ^j, e,, e^„,en les espaces parcourus pendant que les valeurs de la force sont respectivement Fj, F,, Fg... F„, Vq étant la vitesse initiale et î?i, Vj, v^,,. v les vitesses après le parcours des espaces respeciiî&e^y e^, e^..,. e», on a :

Pour le parcours de e^, F^ej = - mri'— - mv^;

id. de Cj, FjC, = - mv^* — - mv^*;

«2. de «5, F,e,=i: g mt?,«— - m©,»;

d. dee„, F„en=2m-»— I

rOBCE VIVE. PD188AN€E VLV£. 599

i^outant membre à membre toutes ces équations, on a encore, pour tout le parcourSy.en supprimant les quantités qui se détruisent, le travail total

T= Fj^e^ + F,%+ \\e^ + ... + F«en= g mr«— - m^.

Si laforce^ au lieu de varier d'intervalle en intervalle, variait d'une mamère continue, on pourrait prendre les espaces e^, «s... e» assez petits pour que Ton pût supposer la force constante pendant le parcours de chacun d*eux , et la formule précédente serait encore applicable.

i476. Dans le cas où t?o = 0 et Eo = û, c'est-à-dire quand le corps part du repos et que les espaces sont comptés à partir du point de départ, réquation (A) du n"" 1474 devient

FE=imD«. (B)

Remplaçant m par — (1459), on a

nouvelle expression du travail, dont on fait usage dans les applications.

1477. Comme — =:/^, A étant la hauteur ébrrespondant k la vitesse o (4446), on a