MOUVEMENT RELATIF

^482. Le mouvement d'un point considéré par rapport à un autre point quelconque de l'espace, en repos ou en mouvement, est le moun vement relatif dix premier par rapport au second (1418).

On n'a guère à étudier dans la pratique que le mouvement d'un point par rapport à son point de départ.

Si le point de départ est fixe, le mouvement relatif devient rnouve^ ment absolu; si au contraire le point de départ est en mouvement, on obtient le mouvement relatif tel que nous allons l'étudier.

1485. Remarque. Comme, en mécanique, il serait pratiquement impossible de fixer la position qu*occupe un point dans l'espace, à un instant considéré, en ayant égard aux mouvements de rotation autour de l'axe de la terre et de translation autour du soleil, on considérera comme étant en repos tout point qui ne participe qu'à ces mouvements. Du reste, ces mouvements pouvant être considérés comme étant les mêmes pour tous les points que l'on considère simultanément dans la

HOUTEHENT RELATIF. MOUVEMENTS SIHCtTANÉS. 60f

pratique, on peut les négliger dans l'étude qui nous occupe; mais Ton voit que ce qui vient d'être appelé mouvement absolu n'est en réalité qu'un mouvement relatif, de même que le repos n'est qu'un repos relatif. I4B4. Relations entre les vitesses relatvoe et absolue â^un point mo^ bile et la vitesse du point de départ.

Soient AM la courbe que le point mobile '^' parcourt dans son mouvement réel ou ab-

solu, AE celle que suit le point de départ, AV la vitesse abolue, Ae la vitesse du point de départ A.

Soient de plus m la position du mobile après l'instant 6, A' celle du point A après le même temps 6, et par suite mA' l'espace parcouru sous l'influence du mouvement relatif dans le même temps. Pendant l'instant 0, on peut supposer que les vitesses sont proportionnelles aux espaces parcourus (1427); donc menant Ve, cette droite sera, parallèle k mA' et représentera en grandeur la vitesse relative. Elle la représentera aussi en direction; car le temps 0 étant infiniment petit, la droite mX' ne peut faire un angle sensible avec, les autres positions qu'elle a occupées pendant cet instant; par conséquent on peut prendre cette direction, qui est parallèle à Ve, pour celle du premier élément suivant lequel le mobile et le point A ont commencé à s'éloigner. Ainsi menant AR parallèle k Y^, et terminant le parallélogranune AeVR, AR représente en grandeur et en direction la vitesse relative, et l'on voit que la vitesse absolue AV est la diagonale du parallélogramme construit sur la vitesse du point A et la vitesse relative.

Prenant Ae' =:= A^, et terminant le parallélogramme AVRe', on voit

que la vitesse relative est représentée en grandeur et en direction par la

diagonale AR du parallélogramme construit sur la vitesse absolue AV et

la vitesse du point A prise en sens contraire.

1488. Application. Un filet d'eau arrive sur une roue avec une vi-

Fig. 437. iesse représentée en grandeur et en direction par

AV; le point A de la roue a pour vitesse tangen-

tielle AE, quelle est la vitesse relative de l'eau par

rapport au point A?

AV étant la vitesse absolue, et AE la vitesse du

point A, terminant le parallélogranmie AEVR, AR

est la vitesse relative (1484). C'est suivant AR qu'il

faut diriger les premiers éléments des aubes de la

roue pour éviter autant que possible le choc de l'eau contre les aubes

et obtenir plus d'effet de la roue.

148ft. Mouvements simultanés. Si pendant qu'un bateau descend

Fig. 438. d'une quantité AE le long d'une rivière, un

—.^..^^ point parcourt une distance AR sur le pont,

'^ ^\ ce point participe k la fois k son mouvement

^jC^ propre sur le pont et k celui du bateau, de

sorte qu'il vient au sommet opposé V du

MS SSmÈMB MBTK. ^ SiCAIIIQinB.

pannétogramme A£VR, de manièiie à pareonrir parallèleineDt à AK et à AR le même espace que n les moavementa avaient liea sueee»sivieiiieDt En ^ant égard aa monvemant de rotatioD de la leire aatuar de aon «te, et à celui de tranilatîoB aiit«mr du soleil, on voit que le mobile est soumis à quatre mouvemeDtB, et chacun d^eus oirtient encore païaUêloment à sa directioii le même effet que s^il existait seul. Mais ces quatre monvemenits ne sont que les mouvements composante du mouvement unique, réel ou absolu du mobile dans Fespace.

D'une manière générale, considérant un système invariable dont font partie trois axes coordonnés auxquels on peut rapporter les mouvemenls des points dans le système, si ce système se meut dans Tespace, et qu'un de ses points m, qat participe à son mouvement, prenne dans le système un mouvement quelcooque, ce dernier mouvement sera le numoemeiU relatif du point m par rapport au système; le mouvement du système sera un mauvemeui ér£nùrainemenij et ces deux mouvements seront les composants du mcnmemaU aàtolu^ c'est-à-diie unique, que prendra réellement le point m dans Tespace. Les vitesses de ces trois mouvements seront liées entre elles par les relations du n* iA8i, c'estrà-dire que la vitesse absolue sera la résultante de la vitesse relative et de la vitesse d'entraîneneat (1488).

Ce premier système pourrait lui-.raôme avoir un mouvemoit relatif par rapport à on autare syslème plus gmad; le point m aurait alors trois mouvements simultanés, qui seraient les composants de son mouveDuent absolu, et sa vitesse absolue serait la résultante des trois vitesses dues à ses mouvements simultanés. En partant lainsi de mouvements relatifs succesnfs, on conçoit que le nombre àe» mouvemenis simultanés peut être quelconque.

i4ft7. Deuxième principe fandcaneuUU (1430). Ce principe, dit prineipe des fnouDemenU relatifs, consiste en ce que si un point matériel est soumis simultanément à Taction de plusieurs forces ou de pbasîeurs vitesses, ou ii la fois de plusieurs forces et vitesses, chacune de ces forces et vitesses produit son effet comme si elle était seule, c'està-dire qu'elle &it parcourir au mobile le même espace parallèlement k sa direction.

Ce principe a déjà été reconnu au n* 1451 pour une vitesse et une foeee de même direction, et au n'' 1452 pour des forces agissant dans le môme sens; mais il est étendu ici à des forces et à des vitesses de directions quelconques. Cette loi de la nature ne peut être vérifiée par une expérience directe et rigoureuse; mais elle l'est par l'accord des conséquences qu'on en tire avec les faits observés, surtout en astronomie.

COMPOSITION ET DÉCOHPOSITION DBS FORGBS, DCS VITESSES, ETC. 6091

Eicempie, Un projectile étant lancé avec une certaine vitessse initiale t^^ dans la direction At^, comme il est de pins soumis à Taction de la pesanteur, abstraction faite de la résistance de Pair, o^ et le poids P feront parcourir, parallèllement à At?o et à la verticale, les mêmes espaces que si Vq ou P existait seul. Ainsi, après le temps ^, le projectile aura parcouru parallèlement à kv^ une lon^eur A(z' = V (1427) et parallèlement à la

verticale une hauteur Aa = - --i* (U37, 1459),

et il sera venu par conséquent au point A', sommet opposé à A dans le parallélegranmie AaA'a'.

COUFOSITION ET DÉCOMPOSITION 0B6 FQBGES iiPPUailÉES A UN MÊME POINT MÀTEIUEL, DES VITESSES ET DES ACGÉLÉBATIQNS DE VITESSES DE CE POINT, ET DES ESPACES QU'lL PARCOURT.

1488. Résultante : 1* de deux forces, 2* de deux vitesses^ 3" de deux accélérations de vitesses, 4* de deux espaces.

!• La résultante R (1423) de deux forces 1^ et Q appliquées à un même point matériel A (1448), est représentée en grandeur et en direction par la diagonale AR du parai- ' lélogramme construit sur les droites AP et AQ, qui représentent ^ et Q en grandeurs et en directions.

Les deux forces P et Q obtenant chacune dans sa direction le même effet que si l'autre n'existait pas (1487), ka et Aa' étant les espaces parcourus sous rinfluence des forces P et Q dans le même temps t , on a (1456)

Aa __ P ka' ~ Q- Après le temps <, le mobile se trouve au sommet A' du parallélogramme construit sur ka et ka\ et comme les parallélogrammes AaA'a' et APRQ sont semblables (671), AA' se confond avec AR, et Ton voit, comme le temps t est quelconque, que le mobile se meut sur la diagonale AR. Les espaces AA' parcourus sur la diagonale étant proportionnels à ceux ka ou ka* dus k P ou Q, appelant R la force unique qui produirait le mouvement du mobile sur AR, cette force sera dirigée suivant AR, et Ton aura (1456)

P Aq R~ AA'' Comme les deux triangles semblables AaA' et APR donnent AP ou P ka AR "■ AA" on a R=: AR. Ce qu'il fallait démontrer.

60i SEPTIÈME PARTIE. — MÉCANIQUE.

Le parallélogramme ÂPRQ est appelé parallélogramme des forces.

2* Les forces P, Q, R (Jig. 440) étant proportionnelles aux vitesses qu^elles communiquent à un même point matériel A dans un même temps (1455), il en résulte que si Aa est la vitesse que la force P communique au mobile A dans un temps quelconque t, les vitesses dues à Q et R seront Aa' et AA' pour le môme temps, et Ton voit que la résultante de deux vitesses est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur les deux vitesses (i486}.

Il est à remarquer que le parallélogramme de deux vitesses est semblable à celui de tout système de deux forces constantes qui sont capables de produire en grandeur et en direction les vitesses composantes dans le môme temps.

3* Les accélérations de vitesses étant aussi proportionnelles aux forces (1454), on ferait voir que, comme pour les vitesses (2*), la résultante de deux accélérations est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur les deux accélérations.

Le parallélogramme de deux accélérations de vitesses est encore semblable à ceux de tous les systèmes de deux forces constantes capables de produire en grandeur et en direction les accélérations composantes dans le même temps.

4*" Les espaces parcourus après un môme temps quelconque sous Tinlluence de vitesses constantes étant proportionnels à ces vitesses (1427), on ferait voir que, comme pour les vitesses (2"), la résultante de deux espaces parcourus sous l'influence de vitesses constantes est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme conn Mruit sur les deux espaces.

Si les espaces sont dus à des mouvements uniformément accélérés dans lesquels la vitesse initiale est nulle, ces espaces sont proportionnels aux forces qui produisent ces mouvements, et il en résulta que dans ce cas encore la résultante de deux espaces est représentée en graanr deur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur les deux espaces,

Que les vitesses soient constantes ou uniformément accélérées, le parallélogramme des espaces est semblable à celui des vitesses ou des accélérations, et encore à celui de tout système de deux forces constantes capables de faire parcourir au mobile dans les mômes directions et dans le môme temps les espaces donnés.

Remxirque V, Quand un point matériel est animé de deux mouvements simultanés quelconques parallèles à deux directions, après un temps quelconque, ce point matériel se trouve encore à l'extrémité de la diagonale du parallélogramme construit sur les deux espaces parcourus; mais sa trajectoire, au lieu d*ôtre cette diagonale, peutôtre une ligne quelconque; c'est ce que montre la fig, 439.

Remarque %*, De ce qui précède, il résulte que tout ce qui va suivre sur la composition des forces appliquées à un môme point est applicable aux vitesses et aux accélérations de vitesses simultanées d'un môme