COMPOSITION ET DÉCOMPOSITION DES FORGÉS, DBS VITESSES, ETG

point, ainsi qu*aux espaces qu*il parcourt simultanément sous TactioD de ces vitesses ou accélérations de vitesses.

1489. La fig, 440 montre que la résultante AR des deux forces P et Q appliquées au même point A est le 3* côté AR d*un triangle APR qui a pour i" côté AP, Tune P des composantes, et pour 2* PR, une droite égale et parallèle à la 2* composante Q. Ce triangle APR peut donc s'appeler triangle des forces,

i490. Lorsque P et Q ont même direction et mèn)e sens, le triangle APR devient une ligne droite, et Ton a AR = AP + PR. Ce qui montre que la résultante R est égale à la somme P -^ Qdes deux composantes^ et qvCelle est dirigée dans le sens de ces composantes.

Quand les forces P et Q, de même direction, sont dirigées en sens contraires, le triangle APR se transforme encore en une ligne droite AR, mais qui est égale k AP — PR. Ce qui fait voir qu'alors la résul-^ tante R est égale à la différence P -^ (j des deux composantes^ et qu'elle a le signe^ c'est-à-dire le sensy de la plus grande des composantes.

yj ^^j Si, dans ce dernier cas, P = Q, on a R=P —

^ û= 0. Ce qui montre, ce que Ton peut du reste

• i À ? considérer comme un axiome vérifié par l'expérience, que deux forces égales^ de même direction et de sens contraires^ ont une résultante nulle.

i49l. Pour retrouver les composantes quand on a la résultante R,. c'est-à-dire pour décomposer une force R en deux autres P e^ Q applir^ quées au même point A, et dont les directions sont situées dans un même plan aveb la première (fig. 440), on construit le parallélogramme APRQ,. dont la force donnée est la diagonale, et dont les côtés sont dans les directions des composantes; le côté AP = P, et AQ = Q.

Bemarque. Il y a indétermination quand les deux composantes ont la même direction; car, selon que les composantes doivent être dirigées dans le même sens ou en sens contraires, tout système de deux forces donnant P + Q = R ou P — Q = R satisfait à la question, et Ton conçoit qu'il y en a une infinité.

1 492. Détermination de la résultante d^un nombre quelconque de forces p^ ^j^ appliquées à un même point et situées ou non dans

un même plan.

On prend la résultante r des deux forces quelconques données P et Q (1488); puis la résultante r' de r et d'une autre force S; r' est la résultante des trois forces P, Q et S; on compose ensuite r' avec une quatrième force, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait employé toutes les forces, et la dernière résultante obtenue R est la résultante de toutes les forces données. A part la clarté du dessin, l'ordre d'emploi des diverses forces est indifférent pour leur composition, puisqu'on arrive dans tous les cas à la force unique capable de remplacer toutes les autres.

e06 aSPTlftHB PARTIE. — MÉCANIQUE.

Bemarqae. La figure précédente montre que la résultante d*un nombre quelconque de forces situées dans le même plan est la droite qui ferme le polygone dont le premier côté est Tune des forces, et dont les autres côtés successifs sont respectivement égaux aux autre» forces, et parallèles k leurs directions. Ainsi, les deux forces P et Q ont pour résultante kr qui ferme le polygone dont le premier côté est AP = P, et dont le deuxième Pr est égal et parallèle k Q. Pour les trois forces P, Q, S, la résultante est la droite kr' qui ferme le polygone formé par les côtés AF, Pr, etrr* égal et parallèle k S. La résultante AR des forces P, Q, S, T ferme de même le polygone AP/yR, et Ton voit que, quel que soit le nombre des forces, la résultante s'obtiendra toujours de la piôme manière.

Ce qui vient d'être dit pour des forces situées dans un même plan s'applique également k des forces de directions quelconques; seulement alors le polygone dont les côtés sont respectivement égaux et parallèles aux forces n'est pas une figure plane.

Par analogie avec le parallélogramme des forces (1488), le polygone qui permet, comme on vient de le voir, de déterminer la résultante d'un nombre quelconque de forces appliquées k un même point, peut s'appeler polygone des forces (1489).

1493. Quand le point R tombe en A [Jig. 442), c'est-k-dire quand le polygone APrr'R des forces se ferme de lui-même, la résultante AR est nulle, et l'on dit que les forces P, Q, S, T sont en équilibre ou se font équilibre.

1494. On peut poser comme un axiome, qui est du reste vérifié par Texpérience, que quand toutes les forces qui sollicitent un corps libre ont une résultante nulle, c'est-k-dire sont en équilibre, elles ne changent rien k l'état de repos ou de mouvement de ce coips.

Si le corps est en repos , Y équilibre est statique, et s'il possède un mouvement, qui ne peut être qu'uniforme et dû. k une vitesse initiale, Y équilibre est dyna7nique (4424).

Les relations entre les forces sont les niémea^ ^e l'équilibre soit statique ou dynamique.

On peut poser, comme extension de Taxiome précédent, que Tétit d'un corps ne change pas quand on le soumet k l'action de plusieurs forces dont la résultante est nulle, ou quand on supprime plusieurs forces en équilibre qui le sollicitent. Ainsi il reste en repos s'il est en repos, et s'il est soumis k des vitesses ou à d'autres forces, l'effet de ces vitesses ou de ces ibrces n'est pas modifié.

149^. Si toutes les forces appliquées k un même point avaient même direction et môme sens, la construction du polygone des forces conduirait k une ligne droite, et l'on aurait R = P + Q + S4-T (1490).

Si toutes les forces avaient même direction, mais agissaient les unes dans un sens et les autres dans le sens contraire, la résultante des forces agissant dans chacun des sens étant égale a leur somme, il s'ensuivrait que la résultante do toutes les forces serait égale k la somme des forces qui agissent dans un sens moins celle des forces qui agissent dans l'autre, et qu'elle aurait le sens des forces dont la somme est la

Fig. 443.

^tt

COMPOSITION ET DÉGOMPOSITION DES POftCBS^ BIS VITESSES, ETC. Wl

plus grande. Le polygone des forces, appliqué à ce cas particulier,

conduit au même résultat.

f 499. La résultcade R de trois forces P, Q, S'non situées dans le même

pian et appliquées à wi même point A est représentée en< grandeur et en

direetUm par la diagonale AH du paraUéiipipède eontiarmi sur ces trois

forces.

D'après le n* 1489, la résultante des deux Jurées P et Q s'obtient en menant Pr égal et parallèle a AQ, et en traçant Ar, qui est la résultante de P et Q. Pour avoir la résultante des trois forces P, Q, S, il suffit de mener rR égal et parallèle à AS, et AR est la résultante cherchée. Or, considérant le parallélogramme APrQ comme étant la base d'un parallélépipède dont AS est une arête latérale, on voit que rR est Tarête latérale opposée à AS, et que AR est bien la diagonale du P '*' parallélipipède ; c'est ce qu'on peut vérifier en

terminant le parallélipipède.

1497. Si Ton voulait passer de la résultante à ses composantes, c'està-dire décomposer une force R en trois autres de directions déterminées, on prendrait une marche inverse à celle suivie pour la composition. Ainsi Ton mènerait Rr parallèle à AS; on prolongerait cette parallèle jusqu'au plan PAQ; on joindrait Ar, et terminant le parallélogramme ASRr, AR serait décomposée en AS, qui serait l'une des composantes checchées, et en une force Ar, laquelle,, décomposée suivant AP et AQ, fournirait les deux autres composantes P et Q-

1498. // y a indétermination dans la décomposition d'uafie force R en plus de deux composantes dont les directions AB, AC et AD sont situées dans un même plan aveo R. En effet, prenant une valeur quelconque AP pour l'une des composantes, et terminant le parallélogramme APRr qui a AR pour diagonale et AP pour côté, la force R se trouve décomposée en deux autres P et r (1491). Cette dernière force

fournit ensuite deux composantes Q et S dirigées suivant AG et AD, et l'on voit que R est décomposée en trois forces P, Q, S.

Toute autre valeur donnée a P conduisant à un autre système P, Q, S, on peut donc décomposer R d'une infinité de manières.

Lorsque la résultante et les directions des composantes ne sont ^ue deux à deux situées dans le même plan, il n'y a pas indétermination pour trois composantes ; mais on ferait voir que l'indétermination subsiste pour un plus grand nombre de forces en opérant comme dans le cas précédent.

1409. Relations entre deux forces appliquées à un même point et leuh résultante^ en fonction des angles que leurs directions font entre elles.

Les deux composantes et la résultante étant les trois côtés du trian-

Fig. 444.

Fig. 445.

Fig. 444.

6418 SEPTtftME PARTIE. — MÉCâHIQUE.

gle APR des forces (4489)^ dont deux des angles sont ceux que font les forces avec la résultante, et dont le troisième est le supplément de rangle que les deux forces font entre elles, la Question proposée revient à la résolution d'un triangle (11516}, et il s'ensuit que connaissant trois des six quantités, les trois forces et les trois angles qu'elles font entre elles, on pourra déterminer les trois autres, pourvu qu'un côté, c^està-dire une force, soit connue.

Désignons par a l'angle de P avec R, par 6 celui de Q avec R, par c^a-i-b celui de P et Q, et par if le supplémrat dec.

Si les deux forces P etQ sont rectangulaires entre elles (fig. 445), le triangle APR est rectangle, et l'on a (704, il2T

P = Rcosa, Û = Rcos6, d'où R= -^, r=:-Û.-; (i) * ^ cosa* cos6' ^ '

P=:Ûtang6, Û = Ptanga, d'où Û=;-~-t, P = — ^

tang6*

tanga

Les quatre cas du n* 11S7 pourront se présenter, et toujours on opérera comme à ce numéro.

Les deux premières formules (i) font voir que lorsqu'on décompose une force R en deux autres P et Q de directions rectangulaires, chaque composante est égale à la résultante multipliée par le cosinus d^ l'angle qu'elle forme avec la résultante, et quelle est par conséquent la projection de la résultante sur sa direction (1106); c'est du reste ce que fait voir la fig. 445.

Quand les deux composantes ¥ et Q font entre elles un angle quelconque^ d'abord si elles sont égales» les diagonales de leur parallélogramme, qui est un losange, se coupent à angle droit (624), et l'on a

a= 6, R = 2Pcos a=: 2Qcos 6.

8i de plus les deux forces sont quelconques (fig. 446), on a dans le triangle APR (1124], en remarquant que les angles supplémentaires c* et c donnent cos c' = — cos c,

R"= P* + û«— 2PQcosc'= P* + Q* + 2PQC0SC. (2)

On a aussi (1123)

smc' sin6 sina' ^ '

D'où Ton conclut, en remarquant que les angles supplémentaires c et d donnent sin d = sin c.

sine sin 6'

sine sina*

sin 6 sina*

sin 6