COI
nme pour le
point
0 de la résultante
OC OB'
on
aurait donc
O'C OB
OC ""OB
Alors lesdeuxtrianglesO'BC'etOBC, quiontlesanglesen 0 et 0' égaux entre eux comme correspondants, seraient semblables comme ayant un angle égal compris entre- côtés proportionnels, et les angles en B, opposés à dés côtés proportionnels, seraient égaux; ce qui ne peut ètro qu'autant q«e BC se confond avec BC et C'O' avec €0, et que le point & tombe on 0.
L'angle BOC étant égal a l'angle c' du triangle des forces {/Ig. 446), comme ayant les côtés perpendiculaires, ce triangle est semblable à celui OBC comme ayant un angle égal compris entre côtés proportionnels, ce que montre la proportion précédente (o), et l'on a*
OC" 0B"~ BC* 1502. Deux droites égales, parallèles et de' même siBifi sqnmt sur
COMPOSITION ET IXÉCOtfPOSITION DES FORCES, DES VITESSES, ETC. 611
méfne droite des projections égales et de môme signe (M06j, il en ré- «rltfe que la somme des projections des forces P, Q, S, T {Jig. 448) est égale à la projection de la ligne brisée APrr'R, obtenue en construisant le polygone de ces forces. Or la projection de cette ligne brisée étant égafe k celle de la ligne droite AR (1106), comme AR est la résultante (f492), ri en résulte donc :
i* Qae la résultante d'un nombre quelconque de forces appliquées à un même point est égale à ht somme algébrique (411) des projections des forces' sur sa direction;
t* Que la projection de la résultante sur une droite quelconque est algébriquement égale à la somme des projections des comjwsantes sur là même droite.
Ainsi, pour deux forces P et Q, on voit de suite que la projection de AQ est égale à celle de PR; que AR est la somme ^^ ' des projections de AP et PR, c'est-à-dire des deu»
forces P et Q, sur sa direction ; enfin que la projection de la résultante AR sur une droite quel*conque serait égale à la somme dos projections de AP et PR, ou de P et Q, sur la même droite. 1^05. Décompositiony suivant des axes rectangulaires^ dun nombre quelconque de forces appliquées à un même pointj et déterminai lo7i de la résultante de ces forces.
\? Supposons d'abord que toutes les foraes^
P, P', F^ P"'... sont situées dans un mèoie
plan. Traçons deux axes rectangulaires Ao;,
Ay, et désignons, pour rendre plus facile la
détermination des projections, par o^ a'...
les angles moindres que deux droits qve
font les forces avec la partie positive Ax, et
par 6, 6'... les angles moindres que deux
droits qui font ces mêmes forces avec la partie positive Ay. Soit R la
résultante, et a et ^ les angles qu'elle fait avec Ax et Ay (1106, re-
marque 2).
Projetant la résultante et les forces sur chacun des axes xx' et yy\ on • a, d'après le numéro précédent,
Rcosa = Pco»a+ P'cosa' + P"cosa" + ... (i)
R cos p = P cos 6 + P' cos b' + P" cos 6" + ... -g)
Les axes étant rectangulaires, Rcosoc et Rcosp sont les composantes de R suivant ces axes, et si Ton désigne ces composantes par X et Y, d(aat les valeurs sont celles entièrement connues des seconds membret des équations préeédenlea, on a (14^)
Cette dernière équation donne la valeur absolue de R, laquelle étant
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612 SVniÈMS PARTIB HiCAmQIIB.
substituée dans les équations (f ] et (2), permet de tirer de ces équalîoas les valeurs de cosa et cos^, et Ton a alors la résultante R en grandeur et en direction.
De même que pour la résultante, P cosa et Pcosfr sont les composantes de la force P suivant les axes xjf^ yy*; F cosa' et Fcos6' scmt celles de la force F, et ainsi de suite pour toutes les forces. En projetant les forces, nous les avons donc décomposées chacune en deux autres dirigées suivant les axes. Comme dans les équations précédentes les composantes qui agissent dans le sens positif sont affectées d'un cosinus positif, et que celles qui agissent dans Fautre sens sont affectées d*un cosinus négatif. Ton voit de plus que X et Y expriment en grandeur et en direction les résultantes des composantes suivant les axes (1495).
2* Pour le cat oii les forces ne sont pas situées dans un même piasL, prenant trois axes rectangulaires Ax, Xy et Az, appelant a, a', a7 .... fr, 6', y^ ..., c, c', c'^.., et a, ? et Y les angles moindres que deux droits que font les forces et la résultante avec les parties positives Ax, Ây et Az des axes, on a, en opérant comme dans le cas précédent :
R cosa = X = P cosa + P'cosa' + F' cosa" + ...
R cos? = Y = P cos6 + P' cos6' + P" cos6" + ...
Rcos-r = Z = Pcosr +P'cosc' + F'cosc" + ...
Formules qui permettent encore de déterminer la résultante R en grandeur et en direction.
1504. Conditions â^ équilibre de plusieurs forces appliquées à un même point,
1* Cas où les forces sont situées dans un même plan. Si les forces se font équilibre, leur résultante est égale à 0. Or si R=: 0, on a (1503)
ce qui ne peut avoir lieu qu'autant que Ton a
X« = 0 et Y«=0; (494)
d'où
X = P cosa + F cosa' + P" cosa" + = 0,
Y = P cosb + F cos6' + P" cos6" + =^0.
Ce qui .indique que la somme algébrique des projections des composantes sur chacun des axes est égale à 0.
11 est évident que les deux conditions X =0 et Y = 0 sont suffisantes pour Féquilibre. Déplus elles sont nécessaires; car si une seule des composantes X, Y était nulle, la résultante serait égale à Fautre, la* quelle n*étant pas nulle, il ne pourrait pas y avoir équilibre. Si aucune des composantes X, Y n*était nulle, on pourrait toujours construire un rectangle ayant pour côtés ces composantes, et la diagonale de ce rec-
