COMPOSITION ET DÉCOMPOSITION DES FORCES, DES VITESSES, ETC

tangle ou la résultante n'étant pas nulle, il n*y aurait pas non plus équilibre.

Sr Cas où les forces ne sont pas situées dans un même plan. Gomme dans le cas précédent, si les forces se font équilibre, leur résultante est nulle, et Ton a (1503)

ce qui exige que Ton ait

X« = 0, Y* = 0, Z*=:0; d'où

X = P coso + P' cosa' + = 0,

Y = P cos6 + P' cos6' + = 0,

Z = P cosc + P' cosc' + = 0.

Conditions identiques k celles du 1*.

Les trois conditions X = 0, Y = 0, Z = 0 sont évidemment suffisantes pour qu'il y ait équilibre. De plus elles sont nécessaires ; car si deux seulement des composantes X, Y, Z étaient nulles, la troisième serait la résultante, et il ne pourrait y avoir équilibre. Si une seule de ces composantes était nulle, les deux autres étant rectangulaires et situées dans uii même plan, elles donneraient une résultante, et il ne pourrait y avoir non plus équilibre. Enfin si aucune des composantes X, Y, Z n'était nulle, on pourrait construire un parallélipipède ayant ces forces pour arêtes, et sa diagonale, qui serait la résultante, n'étant pas nulle, il n'y aurait pas non plus équilibre.

IttOS. Cas ok le point d'application des forces rCest pas entièrement libre. Ainsi il ne peut, par exemple, se mouvoir que sur une ligne ou sur une surface.

Alors le nombre des conditions pour l'équilibre est diminué; il est ramené k une si le point d'application ne peut se mouvoir que sur une ligne, et k deux s'il ne peut se mouvoir que sur une surface.

i** Le point ne pouvant se mouvoir que sur une ligne, prenons la tangente à cette ligne au point d'application des forces pour l'un des axes, celui xaf par exemple. Les deux autres axes seront perpendiculaires à oEx'; par conséquent, les deux composantes Y et Z auront une résultante qui sera aussi normale à xx\ et qui ne tendra, quelle que soit sa grandeur, qu'à comprimer le point d'application contre les obstacles qui l'obligent à suivre la ligne, sans nullement tendre à produire le mouvement dans la direction où il est possible.

Pour l'équilibre il suffira donc d'avoir

X = P cosa + F cosa' + P" cosa'' + ... = 0.

2* Si le point est assujetti h se mouvoir sur une surface, en prenant deux axes xxf^ yy' tangents k la surface au point d'application des forces, l'axe zz' sera normal k la surface ; par la même raison que dans le cas précédent, la composante Z sera tenue en équilibre par l'obstacle

614 SEPTIÈME PAATiE. — UÉCABUaUL

gui oblige le point d'application à se mouvoir sur la surface, et alo»

les conditions d'équilibre seront :

X = P cosa + P' cosa' + P" cosa" + ... = 0, Y = P cos6 + P' cos6' 4- P" cos6" + ... = 0.

1^06. Le travail de larésultanie d'un nombre quelconque de forces appliquées à un même point est égal à la somme algébrique des tnxoaux des composantes.

!• Supposons d'abord que V espace parcouru par le point d,' application est rectiligne. Dans ce cas, le travail de chaque force est égal à Tespace parcouru multiplié par la projection de la force sur sa direction (1471); le travail de toutes les composantes est alors égal à Tespace parcouru multiplié par la somme algébrique des projections de ces composantes; or comme cette somme algébrique est égale k la projection de la résultante (lo02), il en résulte donc bien que le travail de la résultante est égal à la somme des travaux des composantes, ce que Ton peut exprimer, V signifiant travail de», par

Tn = »'P+aru + ...

jT Si Fespace parcouru est polygonal^ pour chaque iportion droite de Fes|>ace parcouru le travail de la résultante étant égal à la somme des travaux des composantes, cela est encore vrai pour Fespace total .parcouru, et Ton peut encore poser la formule précédente.

V Si r espace parcouru est courbe^ en le considérant comme composé d'éléments rectilignes, on retombe dans le cas du 2', «trou peut encore poser la formule précédente.

io07. Lorsque les forces .appliquées au mêmepoini sont en équilibr^^ la somme algébrique de leurs travaux est égale à 0. En efifet, ces forces étant en équilibre, leur résultante est auJle; le travail de cette résultante étant nul luî-inome, la somme algébrique des travaux des eontposantes, qui lui est égale, ^st donc bien égale à 0. C'est du reste <:e qui résulte directeuM^nt de ce que la somme algébrique des projections des composantes sur la direction de l'espace parcouru est égale àiO.