AE ■" E
d'où rxEe'=:QxBb'.
Remarquant que r = P + û et e'c = Aa = b'b, on peut poser
rx^c=PxAa-hQx6'6.
i^outoat membre à m6iiibi« les équaiiotts («i) ei(2), <m a r [Ee' + e'e) = P x Aa + Q {W + h'b)
CENTRE DES FORGES l'MUU.ÈIiEft. MaMHiT DE TOMnON D*UNE FORCE. 6S7
on
rxEe=:PKAfl+QxB6.
Ce qu'il fallait démontrer.
Qonsidérant les deux forces — S et r, ûoni la résultante est r' (1519), CD a encore
r'KF/=rxEe— SxCc=PxAa-f QxB6— SxCc; car» menant Cf parallèle a c/, on a
r;CE E£.
r "" CF*^ F/'
d'Où y k4F/' =:t X Ee". (3)
Remarquant que r' = r — S et//= e"c = Ce, on peut poser
r'x//=rxe"e — SxCc. (4)
Ajoutant les équations (3) et (4), on a
^ (F/' +//) = r (E^' + e"e) — S X Ce ou
r'xF/=rxEe— SxCc = PxAa + QxB6 — SxCc.
CSe qu'il fallait dénoEontrer.
Combinant r' avec — T, on obtient R pour résultante, et menant D^' parallèle à djT^ on a (1519)
R DF JF/'.
d'où RxGi^'^r'xF/". (5)
Remarquant que R = r' — T et ^r'^r =/'/= M, on peut poser
R X 5f'5r = r' x/'/— T X Dd. (6)
RetranclTaiTt'mera!)re k membre l'équation (6) de celle (5), on a
R (W-9'9)^^^f" - f'f) + T X D(f ou
RxG5r = r'xF/-f TxD(2 = PxAa-fûxB6 — SxCc + TxDd.
Ce qui fait bien voir que le principe est général pour un nombre quelconque de forces.
'11^34. DélerTmnaiwn du centre des forces parallèles en fonction des moments de position des forces.
V La position d* un point est toujours fixée quand on connaît ses distances à trois plans rectangulaires (1086). Soient alors P, P', P^... les fiiroes parallèles données; or, y, z; x', y', z',.-- les coordonnées respectives de leurs points d'application par rapport aux plans yz, xz etxy. H
' + F'iC" + ...
Py + PV
628 SEPTIÈME PIKTIE. — MÉCANIQUE.
s*agit de déterminer, par rapport aux mêmes plans, les coordonnées X« Y et Z du point d'application de la résultante R de ces forces. D*abord on a algébriquement (1516, 1519)
Cette équation fournit, d*après les valeurs et les signes des forces P, P', F''... la valeur de R, ainsi que son signe ou le sens dans lequel ell« agit.
On a respectivement pour les trois plans coordonnés (1533)
RX = Po; H- PV + P'^ac" + ... («)
RY = Py + Py + PV + ... (3)
RZ = Pz + PV + FV' + ... (4)
d*où Ton tire
11 est évident que dans ces équations les valeurs et les signes des premiers membres dépendent des valeurs et des signes des différentes quantités qui entrent dans les seconds membres.
Ainsi réquation (1) donne la valeur et le sens de la résultante, et les trois dernières déterminent son point d'application.
2* Si tous les points d'application des forces sont situés dans un même plan, en prenant ce plan pour Tun des plans coordonnés, celui xy par exemple, on a encore
mais comme a? = 0, «' = 0, z" = 0... ,
les équations (4) et (7) donnent RZ = 0 et Z = 0, ce qui signifie que le centre des forces parallèles est aussi dans le même plan xy.
Les équations (5) et (6) restent les mêmes, et elles donnent les valeurs de X et Y, qui servent à fixer la position du centre des forces parallèles dans le plan xy.
Les coordonnées X et Y, rc et y, x' et y'.,, étant, dans ce cas, des coordonnées prises par rapport aux axes des x et des y, on voit qu'il est inutile d'avoir recours à trois plans rectangulaires; deux axes rectangulaires, tracés dans le plan des points d'application des forces, suffisent pour fixer la position du centre des forces parallèles.
Les équations (2) et (3) font voir que les points d'application étant dans un même plan avec une droite, le moment de position de la résultante par rapport k cette droite est égal à la somme des moments de position des composantes.
