EQUILIBRE DE QUELQUES SYSTÈMES ASSUJETTIS A SE MOUVOIR, ETC

3* Tous les points d^^plication des forces étant situés sur une même droite, en prenant cette droite pour axe des x^ on a encore

et comme « = 0, z'=0...; y = 0, y'=:0...,

il s'ensuit que les équations (3), (4), (6) et (7) donnent respectivement

RY = 0, RZ = 0, Y = 0, Z = 0.

L*équation (5) reste la même, et elle donne la valeur de X pour fixer Sur Taxe des x la position du centre des forces parallèles. On voit que dans ce cas, pour déterminer ce centre, on n*a besoin d'avoir recours qu*à une droite joignant tous les points d'application des forces.

L'équation (S) fait voir que le moment de position de la résultante est dans ce cas égal à la somme des moments de position de toutes les forces par rapport à un point quelconque de la droite qui joint les points d'application/

Fîg. 464. Pour le cas d'un couple, on a

■ . / et en prenant les moments de position par rapport à un point quelconque 0 de sa direction a6, on a

RX=: P X Oa— û X 06= P X a6.

Ce qui fait voir que le moment de position d'un couple est coTistant^ et égal au produit de Vune des forces par la distance des points d application desforces.

ÉQUILIBRE DE QUELQUES SYSTÈMES ASSUJETTIS A SE MOUVOIR DANS DES CONDITIONS DONNÉES.

i(S3H. La perpendiculaire abaissée d'un point sur la direction d'une force est le brcu de levier daciion ou simplement le bras de levier de cette force par rapport à ce point.

Ce point est le centre des moments daction. Le moment daciion^ ou simplement le moment de la force par rapport k ce centre, est le produit de cette force par son bras de levier (1532).

i»56. Le bras de levier d'une force par rapport à une droite est la perpendiculaire commune à la droite et a la direction de la force.

Cette droite prend le nom d'axe des moments d action.

Le moment d action^ ou simplement le moment de la force par rapport à cet axe, est le produit de cette force par son bras de levier. Cette définition suppose la force située dans un plan normal k l'axe; s'il n'en était pas ainsi, son moment serait le produit de son bras de levier par

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030 SBPTIÈHK PARTIK. — MÉCANIQUS.

la projection de la force sur uxt plan perpendiculaire à Taxe. Cette projection est la composante qu'on^ obtient en- décomposant la fbroe es deux autres, dirigées Tune parallèlement à Taxe et Tautre dans le plan normal h Taxe (1546). Cette composante a le même moment que la force, et en général que toutes les forces^ lesquelles, décomposéas comme il vient d*étre indiqué, donnent la même composante normale.

1557. Équilibre $\m corps solide assfujetti à se mouvoir autour éTun point fixe.

Quel que soit le nombre des forces qui soUicitent le corps, on peut les- remplacer par deux autn»»» dozst l'une passe par le point fixe (t5e7}, et qui est diétruite paria fixité de ce point, et en une autre, qui fera iiéces8aîrement oBCiller le corps- si^eiie? n'est pas nulle; ou si elle m passe pas ^le-môme par le point fixe, cas ou elle se combine avec Ié première force pour n'en fiiirer qu'une- qui est la résultante dé toutes les forces données^ Ainsi, pour qu'il y ait équilibre, la résultant» de tnutesles forces qui sollicitent le corps doit étue nulle, eu passer par le point fixe.

1558. Lorsque toutes les forces qui sollicitent le corps sont situées dans un même plan qui contient le point fixe, il ne peut y avoir mouvement autour du point fixe que dans ce plan. Un tel système constitue un levier, qui n'est ordinairement, dans la pratique, qu'une tige rigide mobile autour d'un petit axe, qui lui est perpendiculaire et qu'on suppose réduit au point unique où il rencontre le plan du mouvement.

Un levier est sollicité par des forces qui tendent, les unes à produire l'oscillation, et les antres à s'y o^oser en agissant en sens contraire. Les premières de ces forces sont les puissances, et les secondes les résistances.

1559. Équilibre du lemer. Les deux forces P, Q et le point O^SMi»

dans un même plan, et la réssi^ tante doit passer par le point 0 (1514}. Cette résultante passant aussi par le point de concours 0', la droite O'O est sa direction, et abaissant du point 0 les perpendiculaires Oo, Ob sur les diFCC-p tions des forces, on a (1501)

|=^,d'oùPxOa=:ax06. (IJ

Ainsi le levier étant en» équilibre sons Fàctionr de deux forces : l' ces forces sont dans un même plan azec le point â^ appui; V les dans forces tendent à faire tourner le levier en sens cmitraires; 3* les forces sont en raison incerse de leurs bras de levier.

P étant la puissance et Q la résistance, Téquation (f ) montre qua quand il y s équilibre, le moment de la puissance etft é^ à cekti d»ik résistance.

Aqdiubre de quelques systèmes ASSoiBrrrs a se Mouvoin, etc. (HT

La récipimqye esi vrcûe; car la résultante étant le lieu géoméfrîque éBs: {NBiits pour ksquels }» proportion précédente existe, elle passera par le poiat O, et elle sers dédrurte par la fixité de ce point.

L'équatio» (♦») permet de calcnier une des quatre quantités P, Q^ Oa et 0^, les trois astres^ étant données. Pour P = 65\ Oa=2" et efr=l",40; en a

[.a pression sur le point 0 est évidemment, abstraction faite du poids du levier, égale à la résultante des deux forces P et Qf.

1840. Les conditions précédentes d'équilibre ne changent pas, soit qu'on applique chacune des forces P et Û en- un point quelconque de sa direction, soit qu'on lui donne une position quelconque autour du point 0, mais de manièire qii'elie tende toujours à. pvoduim ^'oMî^hrilibn daaa le même sens et que son bras, die levier eonserre la méone- vîtieur^ Cest ce qui fait que pour eosaparer les ittiansités ^'ont des Soree» » faire osciller un solide autour d'un poéot fixe, il fiant toujours supposeir ces forces appU^u^saux exlrémilé» de leurs bras de levier p(*rpeBdioulaiKes^ et aliers Tintensilé d'aetion d'une force est direclement propectioAnellc il hk gtaadftiur da 1» force et à celle de son bras de levier, c'est-à-dire au produit de ces grandeursv produit que, pour cette raison, nous avons appelé momeni d'action. (i;»S6).

liHI. Un levier est dit du preminsr gfinre quand le point d'appui csrf stttué entre les point» d'application, de la puissance et de la résistance? (fig.. 46&). La balance^ les balanciers ordinaires de machines à vapeur^ la pince-coudée dont on. se sort pour soulever par côté les lourds fardeaux en sont des exemples^

Lorsque le point d'application de la résistance est entre celui de la puissance et le point d'appui (/<^ 466), le levier est du deuxième genre, La pince droite^ la brouette, etc. en sont dtes exemples.

Enfin, quand Te point d'appïfratîon de te puissanoo est entre celui de la résistance et le point d'appni [Jtg. 467), comme, par exemple, dtens Ift pédale, organe de tfueK que» machines qu'en fait mouvotr »fec fr* pied', le levier estdu treisiPme genre.

Remarque. Comme pour Ite levier du- pr©^ nrier genre (453»), dans cetrx du dewiîèAie et du troisième genrs, abstraction faîte dif poids du levier, la charge du point d^appvfi est égale à la. résultante de la puissance et delà résistance.

Fig. 466.

632 SEPTlillE PinTIE. — MÉCANiaUE.

ii»42. Dans le cas particulier où les forces P et Q sont parallèles

Fig. 468. ®"*''^ ®^^®** ®* ^^ *^^ P^"® ®^^®* agissent

sur une même droite ab qui leur est perpendiculaire, les bras de levier Oa et 06 de la figure 465 deviennent les portions du levier droit a5, et les conditions d*équi* libre du n* 4539 ne changent pas. On peut du reste arriver k ces conditions en remarquant que le moment de position de la résultante par rapport au point 0 est nul, et qu'on a (1534).

RxO ou 0=PxOa — Qx06, c'est-à-dire

PxOa = QxOÔ ou 1 = ^.

Dans ce cas, la charge du point d'appui est R = P +Q, R = Q— P, R = P— Q, selon que le levier est du premier, du deuxième ou du troisième genre, et il est à remarquer que les moments de position ne sont autre chose que les moments d'action.

1545. Pour le cas ok Von a vn nombre quelconque de forces parais Fig. 46f . lèles agissant dans des sens quelconques sur

jf uTie mime droite perpendiculaire à leur di-

rection, par la même raison que dans le cas précédent, pour qu'il y ait équilibre, le point d'appui 0 doit encore se trouver dans le plan des forces, la résultante doit passer par ce point, et l'on a également, Q " en prenant les moments par rapport au

point d*appui et en ayant égard à leurs signes,

RxO ou 0 = PxOa+P'xOa'+P"xOa"-QxO6— Û'x06'— Q"xOô",

d'où P X Oa+P'x Oa'+P"xOa"= Qx 06+Q'x06'+Q"x06^.

Ce qui fait voir que la somme des moments des puissances est encore égale à la somme des moments des résistances.

La réciproque est vraie. En effet, la somme des moments des puissances étant égale à celle des moments des résistances, la somme algébrique de tous ces moments est égale i 0. Le moment de la résultante est donc aussi égal à 0, ce qui ne peut être qu'autant que cette résultante est nulle, ou que son bras de levier est nul, et, dans l'un et l'autre cas, il y a équilibre.

Toutes les puissances P, P', P" ont pour résultante une force r = P + P' — P" (1524) appliquée en un point A dont la position est donnée par l'équation (1534)

r X OA = P X Oa + P' X Oa' + P" X Oa". Équation qui permet de remplacer un nombre quelconque de forces pœ-

iQUlLIBRE DE QUELQUES SYSTÈMES ASSUJETTIS A SB MOUVOIR, ETC. 633

rallkles ^r leur résulianie^ eu encore pcar une force quelconque r^ agis'^ sawl à V extrémité d'un bras de levier

P X Oa + P' X Oa' + P" x Oa"

Si le bras de levier OÂ' avait été donné, on aurait trouvé la valeur de la force r^, capable de remplacer toutes les forces, par Téquation

P X Oa + P' X Oa' + P" X Oa'"