OA
Les forces Q, Q', Q'' ont de même une résultante r'=Q+ Q'— Q", appliquée en un point B, dont la position est donnée par Téquation
„ Q X 06 + Q'x Oy + Q"x 06" 0B= p .
1M4. Enfin si les forces P, P', Q oc^ cupent des positions quelconques autour du point fixe 0, on peut appliquer chaque force, sans changer son signe, tangentiellement en un point quelconque de la circonférence qui a pour rayon son bras de levier (1540); par conséquent si les forces P, F, Q appliquées en A, A', B se font équilibre autour du point 0, les forces respectivement égales p, p', q, appliquées en a, a', h de la même droite ah perpendiculaire à leur direction, se feront aussi équilibre. Ces dernières forces donnant (1543)
pxOa + p'xOa' = gx06. (1)
Remplaçant chaque quantité par son égale, on a aussi
Px OA + P'x 0A'= Qx OB. (2)
Ce qui montre que dans ce cas général, lorsqu*il y a équilibre, la somme des moments des puissances est encore égale à la somme des moments des résistances.
La réciproque est vraie; car si Téquation (2} est satisfaite, celle (i) Test aussi; il y a alors équilibre entre les forces p, p', q (1543), et par suite aussi entre celles P, P', Q (1640).
Bemarque. Quoique dans ces transports de forces Téquilibre ne soit pas troublé, il est évident que la résultante change de grandeur et de direction, mais que cette direction passe toujours par le point fixe.
SEFTIÈME P4ATU. — HiCAMtCft*
Fig. 471.
fMS. JBqmiikn de la poutie. On peut cosMéérrr ««tte
comme étant «i levier solicité par forces P et Q situées dans un même plan. Four réquilibre» on aura alors (1&39)
Pxr=Qxr, d'où P = Q-
Ainsî la puissance est égale à la résistance.
Dans la pratîqae, la puissance étant obligée de vaincre les diverses résistances- passives qui s'opposent an monrement, il peut y avoir équilibre sans qu'oD ait P = Q. Nous reviendrons sur cette circonstance.
f M6. Équilibre d'un système qui yeat tourner autour dws/s droUe fixe. Un tel système constitue un treuiL
Considérant une force quelconque P d'un tel système, liûsens passer par sa direction AP un plan parallèle a Taxe xx'; décomposons, dans ce plan, la force P en deux autres, Tune p' parallèle à Faxe, et Fautre p perpendiculaire à Xp\ et qui serar sitaée dans on plan perpendiculaire à xz'. Appelant flr l'angle PAp', qui est Fangle que fait AP avec aKr!^(o69), on a (1499)
p' = P ces a et p = P sin a.
La force p^ étest pnrallèle à xif, elle ne tend qu'à faire glisser le système le long de cset axe, et eîïe est detraite par la seule fixité de cet axe. B ne reste qne* fa force p, qu'on peut appliquer au point a, qui tend à produire le mouvement et qu'en pewt sf^titiier » 1« fi)rer P.
Remarquons en passant que la perpendiculaire &û' commune deux droites xx' et AP est égale à la perpendicnlafre Oa eomnmnei directions xx' et Xp; ces perpendiculaires sont en effet chacune la distance de xx' au plan parallèle PAp. La perpendiculaire Oa est le levier d'action de la force p, et le produit P sin a x Oa=p x Oa est Ib moment d'action de la force p et aussi de P (1536).
Quel que soit le nom]>re des forces d'un tel système, chacune d'elles
peut être remplacée par sa composante analogue k P sin a. Il suffit
done de déterminer les ccmditions d'équilibre d'an système queleempie
de fonee» agissant dans desi pians perpendienlaifes à Fue.
1547. Considérons d'abord le cas oii les forées sont siiuées éeaUi h
même plma.
Alors tes conditions d'équil^r^ aonl lea méaMS que si le système était mc^ile autour da pokU. <>; en le démontrei'ait par la marehe suivie au jà** itt9. Ainsi Fon a, pour le cas d'é^aiUbre,
PxOa=rOxOd,
c'est-à-dire que le moment de la puissance est égal au moment de la résistance.
ÉQUILIBRE DE QUELQUB9 ST^TÈVES AfiS^lETTIfl A SS MOUVOIR, ETC. 63&
Cette relation permet de détermkiflfr Tune de« forenas^ ott Tuir dé»- brusderlémr, lora^neles trois aii1j|>e» quantité» sont ooimue».
L*é(]vatîim; précédente Mt voir «ami i!^\ quelle que soit la pesltfoif des* forcBB antoar du point 0^, réquIHlyre' n'esta pas troubfé tant que?- le. bras de levier de chaque force reste oonetan^raineîune fbreequelconqucr P agissant au point  peut être appliquée* au point a, on tangentieÛement en* un- point quelconque de Is circonférence de rayons Oa (f 540). Comme au n^ 1544^, on démontrerait que, quel que soit le nombre àt» fbree», quand il y a équilibre^ Ut somme des moments des puissances Bit égale à la somme des moments des résistances; et réciproquement. La charge de Taxe est encore égale à la résultante des forces du système, puisqu'il est rencontré normalement par cette résultante; et Taxe reposant par deux pointi^ de sa longueur, pour avoir la charge de chaque aqppui, on décompose la résultante en d^nx composantes appliquées sur ees appuis (i5f 8), et chaoune de ces compemintes est la charge de Tappui auquel elle est appKqnée.
1548. Supposons mairUemmi' que lee deiue forées^ P ef Q« ne^ soient pa» iaaeis le même plan perpendiculaire à Faxe^ mais que leurs directions soient parallèles,
p. ^^^ Menant par xx* un plan perpendiculaire à P
K et Q, et dans ce pl&TT les^ Bras de levier aA et
"^^s;;;^^^ fl 6B de ces deux forces, on pourra toujours sup-
W é 0'"--<^v x' poser que ces forces sont appliquées en A etB.
t ^ Celk établi, puisque pour quTl y ait équilibre
la résultante doit rencontrer Taxe xx\ et que
' de plus elle rencontre AB (1516), le point 6
eommun à ces droites est son point d'application. On a alors (1516)
P:a=OB:OA.
Les deux triangles rectangles semblables OAa et 0B& donnant
OB:(>A=!Mrr Aof, on a donc (309)
P : Q = B6 : Aa, d'où P x Aa = Q x B6.
Ainsi le moment de la puissance est encore égal au moment de la résistance (1^47).
On prouverait la réciproque» c'est-à-dire que quand' cette équation r lieu il y a équilibre, en repassant par les mômes calcufs, mais en supvaut un ordre inverse.
1849. Four un nombre quelconque de forces paraltèleSy en fhisant passer par Taxe un plan parallèle à* la direction des forces, le moment' de la résultante despuissancesrparrapportkce plan est égal à lasomme^ des moments des puissances (1533)*. I>e même, le moment de la résultante des résistances est égal à la somme des moments de toutes Tes résistances. Puîsqull y a équilibre entre les puissances et les résistances, il doit y avoir encore équilibre entre la résultante des puissances et lai
636 SEPTIÈME PARTIE. — MÉCINIQUI.
résultante des résistances, et il résulte (1548) que les moments d'action de ces résultantes sont égaux. Remplaçant ces moments par les sommes de moments qui leur sont respectivement égales, on voit que quand î] y a équilibre la somme des moments des puissances est égale à h somme des moments des résistances.
La réciproque est encore vraie.
IttlM). Supposons maintenant les deux forces P et Q non parallèles, p. ^^j Du point a comme centre, avec le bras de
levier d'action Aa pour rayon, décrivons dam le plan aÂP perpendiculaire à Taxe un arc de cercle ; menons aÂ' parallèle à B6. S'il y a équilibre entre les forces P et Q, on ne le troublera pas en appliquant au point A', tangentiellement h, Tare AA', les deux forces égales et contraires p et p\ égales chacune à P. Les deux forces P etp' se font équilibre*(i547}; il y a donc équilibre entre ji et Q, et comme ces deux forces sont parallèles, on a
pxA'a = QxB6 ou PxAa = QxB6.
Ainsi le moment de la puissance est encore égal au moment de la résistance.
La réciproque est encore vraie.
Bemarque. Ce qui vient d'être dit fait voir que l'on peut transporter une force quelconque tangentiellement en un point quelconque de la circonférence dont le rayon est son bras de levier d'action.
iSl$i. Pour un nombre quelconque de forces, s'il y a équilibre, on ne le troublera pas en transportant toutes ces forces comme l'indique la remarque précédente, de manière à les rendre toutes parallèles entre elles. Dans cette position, puisqu'il y a équilibre, la somme des moments des puissances est égale k la somme des moments des résistances. Or, comme les forces et les bras de levier n'ont pas changé de valeur, il en résulte que l'égalité des moments existe bien pour des forces quelconques en équilibre agissant dans des pTans perpendiculaires à l'axe.
1552. La charge de l'axe est égale à la résultante de toutes les forces; et cet axe reposant sur deux appuis, en décomposant cette résulante en deux forces appliquées sur ces appuis (1518), chacune de ces composantes est la charge de l'appui correspondant.
On arriverait au môme résultat en décomposant chacune des forces en deux autres parallèles, ayant même bras de levier et agissant dans les plans menés aux points d'appui perpendiculairement à l'axe. La résultante de toutes les composantes agissant dans chacun de ces plai^^ serait la charge de l'appui correspondant.
1J>1$S. Le treuil et le cabestan sont deux machines qui rentrent dans les systèmes mobiles ai^ur d'un axe; leur condition ^équilibre est donc q%i£ le moment de la puissance ou la somme des moments des puissances
