ÉQUILIBRE DE QUELQUES SYSTÈMES ASSUJETTIS A SE MOUVOIR, ETC

soit égal au moment de la résistance ou à la somme des moments des résistances. Dans la pratique , il faut considérer dans cet équilibre les frottements comme des résistances ; nous reviendrons sur cette cir^ constance.^

i554. Équilibre ^une droite Â6 pouvant se mowmr d^une manière quelconque autour de son extrémité B.

Supposons d'abord toutes les forces appliquées en un ^' ' même point G de la droite, et situées dans un même

. >J| plan ne comprenant pas AB. Il est évident que dans ce f^ ^ cas il n'y aura équilibre qu'autant que la résultante de * toutes les forces sera nulle (i537).

Et en menant par le point G, dans le plan des forces, deux axes rectangulaires, on aurapour l'équilibre (1504]

Pcosa + Qcos6+-. = 0, et Psina+Qsin6+...=0.

Si les forces, appliquées au même point, ne sont pas situées dans un même plan, pour qu'il y ait équilibre il faut que leur résultante soit dirigée suivant ÂB. Ainsi, pour deux forces, AB sera la direction de la diagonale du parallélogramme construit sur les deux forces (1488); ce ' qui exige que les deux forces soient dans un même plan avec AB. Les relations des forces sont alors celles du n* i499; de plus on a R=Pcosa + Qcos6, et Psina=ûsin6, a et 6 étant les angles que les forces font avec AB.

Pour trois forces, la diagonale du parallélipipède ayant pour côtés les intensités de ces forces, c'est-k-dire la résultante de ces forces, devra encore être dirigée suivant AB.

Quel que soit le nombre des forces, la résultante devra toujours être dirigée suivant AB.

Gela établi, menons par le point de rencontre des forces trois axes rectangulaires, en prenant AB pour un de ces axes. Les composantes de la résultante suivant ces axes sont respectivement égales aux sommes des composantes de toutes les forces suivant ces axes (1503). Or la composante de la résultante suivant AB est égale h cette résultante; donc, appelant a, &, c... les angles que font les diverses forces P, Q, S... avec AB, on a

R = Pcosa4-ûcos6 + Scosc + ...,

équation qui donne R, quel que soit le nombre des forces.

Les projections de la résultante sur les deux autres axes sont nulles; donc les sommes des projections des forces sur ces mêmes axes sont aussi nulles, et en appelant a\ b\c\.. et a", 6", c"... les angles que font les forces avec les deux axes perpendiculaires à AB, on a

Pcosa' + ûcos6'+ Scosc' +... =0

et Pcosa'' 4- ûcos6"-f Scosc"H-... = 0,

formules qui expriment les relations existant entre les forces.

Mg SerTIÈME PAKTIE. — iliCAlUQfiK.

Cq8 formules peuvent être remplacées par d'aulsas plus commodei ^ns la^pratique. Les angles a\ b\c'^., et a'', b*'^ d' ... ne se déteroMBeat pas facilement. On ramène ce cas à celai où toutes les ibroes ooiaierf situées dans un plan perpendiculaire k AB. Chacune des forces P^^fi», peut se décomposer en deux autres dirigées, Tune sutvaat AB et Taiitre dans le plan perpendiculaire à ÂB. Toutes les composantes dirigeas fluiisant AJB sont détruites par la .fixité du point B. Toutes celles situées ÙBSDA le plan perpeadieulaire à idB doivent avoir une résultante nalle |K>ur ^u'U y ait équilibre; ces dernières composantes étant Psino, 4îsinÂ, S sine», prenant dans le plan de ces composantes deux axes rectangulaires, on doit donc avoir (1504)

P sina-GosA rl-(2sin6 cosp + Ssia^reosT 4- ...=o et P&UBi«xcosa'+ Q«inè<M>sp'+Ssinccos7'+ ... =0.

Les angfles a, p, y-., sont les angles que font les forces P sina, Qsin)6.., urec Vun des axes, et «', p', y'... ceux que font ces mêmes forces avec fantre axe. n est à remarquer que ces angles sont faciles à déterminer dans la pratique, car ils ne sont autre chose que les angles formés par chacun des axes avec les divers plans passant par ÂB et chacune des forces.

I58SS. Bi toutes les f en-ces ne soiit pas appliquées au même point de

la droite AB, on les y ramène en décomposant chacune **• *"• des forces non appliquées au point considéré C, par

exemple Q, en deux forces paraUèles appliquées Tune

Kau point iixe B et qui est détruite, et Tautre au point C (1518). Alors il y a équilibre dès qu'il existe entre toirtes j les forces appliquées et transportées au point C les relations du numéro précédent.

1-^S6. S*il y a des forces jparalllles à AB, telles que S [fig, 477), on remarque que la force S peut être appTi-

-J quée en É' (1540). Mais s'il y a équilibre dans le système des forces P, Q, S', on ne le trouble pas en remi plaçant la force S*, qui a pour bras de levier BE', parla force S", appliquée enC perpendiculairement à BC, tendant a faire osciller A£ daôs le même sens que S' ou S, et dont la valeur est telle que l'on a

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