S^=BC ^" S=BC' ^^^ ^=-BC

Toutes les forces agissant comme S se transportent de la même manière, et l'on retombe dans le cas du numéro précédent.

1337. Le cas du n« 1556 se réalise dans les grues fréquemment employées, il y a quelques années, pour élever les pierres dans les bâtiments en construction.

ÉQUILIBRE DE QUELQUES SISTÈMES A8«UI£TTM A fiS MOUVOIR, ETC. 639

Le grand arbre AH tourne sur ua pivot B, el il est maintenu dans une position verticale par 4» 4)ordes ûxée» au paiiit A«t à des objcls fixes du sol ou des bâtiments voisins.

Pour établir convenablement cette machine, on remplace le poids R par une force horizontale R'

B appliquée en A (1556); on prend les composantes

horizontales des iensions P, Q« S, T que peuvent supporter en toute sécurité les cordes qui fixent AB^ et la force R', dans toutes les positions qu'elle peut prendre autour de A, quand on fait tourner la grue, doit être moindre que la résultante de celles des composantes Psina, Qsîn6... qui s'opposent à son action (ces composantes agissant tout autour du point i^ il n'y en % qu'un certain noniiiFe d'entre elles qui s'opposeiut à la îoree R'}. S'il y a ibKHS 4Mi quatre oordes, ce qui arrive ordinairement, il y « des positions où la com^^ ■ante d'une seule conte s'oppose à R' ; pour .une telle posiAion, on o« es considérant la corde de tension P,

P sîn a =ft' ;

d'où Ton conclut P =

-: — , vaieur qui ne doit pas dépasser la tensÂcin

Kg. 4-«.

que la corde peut supporter en toute sécurité. Cda suppose nulles les tensions des cordes quand la pierre n'est pas suspendue à la grue. 1tt$8. ISysthnc de forces appliquées en un point ussvjelti à se mourvoir svT vn plan. On décompose chacune des forces du système en deux. Tune normaSe tra plan et l'autre située dans le plan. Les composantes normales sont détruites par le plan, et pour qu'îl y ait équilibre il suffit que toutes les composantes situées dans le plan du mott-* vement se fassent équilibre. Les conditions sont alors ramenées à celles d'un système de forces situées dans un même plan fl5d4}. lt(S9. Bysfhne de forces appliquées en un point assujetti à se mouvoir sor une droite. Supposons im plan incliné et un corps A reposant sur ce plan; îl est érîdentque îe corps n'étant sollicité par aucmie force autre que son poids P (44iî), il glissera en suivant la ligne de plus grande pente du plan (744). Décomposant la force P en deux autres, Tirne p' = AC = P cos a, perpendiculaire k la ligne de plus grande pente, et qui sera détruite par la fixité de cette ligne; l'autre p = AD î=i P sin «, qui sera parallèle à ia ligne suivie par le corps, et qui ne sera détruite qu'en appliquant au point A une force égale et «contraire a p. Il refi(te donc k déterminer le rapport de P a p.

Le triangle AM) étant semblable k celui formé par le plan indîné, on a

-=j, dou p = P-^.

640 SEPTIÈME PIRTIE. — HÉCINIQUE.

Ainsi la puissance P est à la résistance p comme la longueur 1 du pian incliné est à sa hauteur h.

Les mêmes triangles semblables donnent encore, 6 étant la base du plan,

-? = ^ et P=^ p' b p' b'

Il est h remarquer que Tangle PAG est égal à Tangle « que fait le plan incliné avec Thorizon.

ilS60. Le centre de gravité d'un corps ou d^un système de corps est k centre des forces parallèles dues à Faction de la pesanteur sur les molécules du corps ou du système de corps, c'est-à-dire le point par lequel passent toutes les directions du poids de ce corps ou de ce système (4441, 1442, 4530}.

1561. Gomme on peut remplacer les actions de la pesanteur sur les diverses molécules d'un corps solide par leur résultante, qui produit absolument le même effet, on peut considérer le centre de gravité du corps comme un point auquel est appliquée une force égale et parallèle au poids; d'où il résulte que si, dans les cas d'équilibre des forces que nous avons examinés, ou dans tout autre problème de mécanique, on veut tenir compte de la pesanteur, il suffit de considérer chaque corps comme étant sollicité par une force égale et parallèle à son poids et appliquée à son centre de gravité, et de combiner ces forces avec les autres qui sollicitent le système.

1562. Les actions de la pesanteur sur les molécules d'un corps solide pouvant être remplacées par le poids du corps appliqué à son centre de gravité, on en tire différentes conséquences :

4* Un corps solide est en équilibre dans toutes les positions qu^on lui donne autour de son centre de gravité, quand on rend ce centre fixe.

2^ En suspendant un corps solide par un fil, quand il y a équilibre, la direction du fil passe par le centre de gravité ; car la tension du fil, qui agit évidemment dans la direction de celui-ci, ne peut détruire le poids du corps qu'autant qu'elle lui est égale et directement opposée, et que par conséquent elle passe par le centre de gravité.

Suspendant successivement un corps solide par deux de ses points, la rencontre des deux directions du fil à travers le corps donne le centre de gravité ; d'où il résulte un moyen mécanique pour déterminer le centre de gravité d'un corps,

3* Connaissant les centres de gravité de plusieurs corps^ pour déter^ miner le centre de gravité de leur ensemble, on pourra employer le mode suivi pour la composition des forces parallèles (4524), en prenant ici pour forces les poids des divers corps, ou bien les masses, qui sont proportionnelles au poids (4460). Ainsi le centre de gravité de deux corps

CENTRES DE GRàVITÉ DES FIGURES. 641

dont les poids sont P et p et les masses — = M et - = m » se trouve sur

la droite qui joint les centres de gravité des deux corps, à des distances de chacun d'eux qui sont réciproquement proportionnelles aux poids ou aux masses (1516).

On peut aussi fixer la position du centre de gravité d'un système de corps en faisant usage des moments de position (1534), comme on a fixé le centre des forces parallèles par rapport a 3 plans, a 2 axes ou a 1 point, selon que les centres de gravité partiels ne sont pas dans un même plan, ou sont dans un même plan ou sur une droite. Les équations qu'on obtient dans ces divers cas sont identiques à celles du n' 1534; seulement les forces sont remplacées par les poids ou par les masses des corps.

io65. D'après ce qui précède, on voit que la position du centre de gravité d'un corps, par rapport à la surface de ce corps, dépend de la manière dont toutes les molécules sont disposées les unes k l'égard des autres dans toute l'étendue du corps. Elle dépend donc : l"de la forme du corps; 2' de la répartition des molécules dans toutes ses parties, c'est-a-dire de la densité relative de ces diverses parties.

Dans la détermination du centre de gravité, il faut avoir égard à ces deux considérations; mais si le corps est homogène, c'est-à-dire également dense dans toutes ses parties, on n'a plus à avoir égard qu'à la première, et alors la détermination du centre de gravité revient à la résolution d'un simple problème de géométrie.

1S64. Dans la pratique, les corps dont on a à déterminer le centre de gravité ont ordinairement des formes bien définies et étudiées en géométrie; de plus ces corps sont homogènes, ou du moins on peut les supposer tels (aucun corps de la nature n'est parfaitement homogène). Nous nous occuperons d'abord des corps de formes géométriques, et observons que les corps étant homogènes, on peut, dans la détermination des centres de gravité, remplacer les poids ou les masses par les volumes, qui leur sont proportionnels ; ce qui ramène le problème à trouver le centre de gravité des volumes. Si les corps n'ont que l'épaisseur d'une molécule, les poids, les masses et les volumes sont proportionnels aux surfaces matérielles formées par les corps, et le problème est ramené à trouver le centre de gravité des surfaces. On est de même amené à trouver le centre de gravité des lignes^ quand la largeur et l'épaisseur des corps sont partout celles d'une molécule. (Voir 8* partie.)

18615. On nonmie centre défigure^ tout point qui est tel qu'un plan quelconque qui le contient coupe la figure en deux parties égales. Ce point est le centre de gravité de la figure; car, considérant l'un quelconque des plans sécants, les moments des deux parties du corps par rapport à ce plan sont égaux comme composés des mômes moments élémentaires, et comme ces deux moments sont de signes contraires,

642 SEPTIÈME PAUTIE. — MÉCAKfQCrE.

leur somme» c'est-à-dire le moment total de la figure, est égal, à léro, ce qui ne peut avoir lieu qu'autant que le centre de gravité est sur le plan (1534); comme il doit de même se trouver sur tout autre plan «écut, il est rintersection de tous ces plans, c'est-tà-^dire le centre de figiure.

11 en résulte que le centre de gravité :

1* D'une ligne droite est le milieu de cette droite;

2* Du périmètre ou de la surface d'un parallélogranmie est le point d'intersection des deux diagonales (624) ;

3' Du périmètre ou de la surface d'un polygone régulier est son centre (714);

4* De la circonférence ou du cercle est le oentre ;

5* De l'ellipse ou de sa surface est son centre (1183, 1164);

6' De deux arcs d'hyperbole symétriques par rapport au centre <le l'hyperbole est ce centre (1219);

7* Des arêtes, ou de la surface, ou du volume d'un parallélipipède est le point de rencontre des diagonales (810);

8* De la surface ou du volume d'un polyèdre régulier est le centre (946);

9" De la surface ou du volume de la sphère est le centre;

10* De la surface latérale, ou de la surface totale, ou du volume d'un cylindre droit k base circulaire (834), est le milieu de Taxe du cylindre;

ir De la surface ou du volume de l'ellipsoïde de révolution est le centre (1208).

1 866. Trouver le centre de graméé de éevx droites. On joint les centres de gravité, c'est-à-dire les milieux, des deux droites; puis on divise la droite qui en résulte en parties réciproquement proportionnelles aux poids des droites ou à leurs longueurs. Cela revient à trouver le centre de gravité de l'ensemble de deux corps dont les poids sont proportionnels aux longueurs des deux droites, et dont les centres de gravité sont ceux des droites (1562).

Pour trois ou 'pour vn nombre quelcottqwe de droites^ ou pour le contour d'un polygone, on détermine de même le centre de gravité, en considérant chaque droite ou côté comme étant un poids proportionnel à sa ongueur et appliqué en son milieu, et en opérant comme pour la composition des forces parallèles (1524).

Pour déterminer le centre de gravité de plusieurs surfaces on opèrtrail absolume?it de la même manière, seulement les poids qu'on supposerait appliqués aux centres de gravité des surfaces seraient propertionnels à ces surfaces.

Pour plusieurs volumes, on prend pour poids ces volumes ou des quantités qui leur soient proportionnelles, et Ton opère encore comme pour la composition des forces parallèles.

Dans ces divers cas, on peut aussi déterminer k position du centre de gravité de l'ensemble des figures à l'aide des moments de chaque ligne, ou de chaque surface, ou de chaque volume (1562).

1)^67. Le centre de gravUédu périmètre d'wn triangle ABC est le centre 0 du cercle inscrit au triangle DËF dont hs soinniets sont les milieux des côtés du triaaigle proposé,

En eftet, le centre de gravité de Fensemble des côtés ÀB, AC est le point H, tel qu^on a (1566)