OC = AB : arc ACB

ou, en représentant OG par «, le rayon OC par r, la corde AB par c, et la longueur de Tac ACB par a,

Pig. 481.

a; : r = C : a, d'où

D'abord le centre de gravité de cet arc se trouve dans le plan de cet arc, ce qui a lieu pour une courbe plane quelconque, puisque par rapport à ce plan le moment de chaque élément de la courbe est nul, et par suite aussi leur somme, c'est-à-dire le moment de la courbe totale. Le centre de gravité se trouve de plus sur OC, qui divise ACB en deux parties égales symétriques. Il suffit donc de déterminer la distance OG. Menons un axe OX perpendiculaire à OC. Le moment a x x de l'arc total par rapport à cet axe est égal à la somme des moments de tous ses éléments. Considérant l'élément MM' assez petit pour qu'on puisse le considérer comme se confondant avec sa corde, son moment est MM' x ID, le point ! étant le milieu de MM'; mais menant MN parallèle à OX et M'N à OC, et joignant 01, les deux triangles MM'N et ODI sont semblables comme ayant les côtés perpendiculaires (670), et ils donnent

MM' : Mx\ = 01 : ID,

d'où, en remarquant que MN = PP',

MM' X ID = PP' X r.

Ainsi le moment de MM' est égal au rayon multiplié par la projection

644 SEPTIÈME PÀHTIE. — MÉCANIQUE.

de MM' sur la corde. Tous les autres éléments ont pour moment une expression semblable, et leur ensemble, ou Tare total, a pour niomenl le rayon multiplié par la somme des projections des divers éléments sur la corde, c'est-à-dire le produit du rayon par la corde; on a donc

axx^c>:.r;

d'où

X irr=.c\a. et x = r-.

f S69. Le centre de gravité de la surface d*un triangle ABC se troure sur la droite AD qui joint le sommet au milieu de la base, à une distance

GD = -z AJb de la base ou à une distance GA = - AD du sommet.

Supposons que AD soit divisé en parties infiniment petites, et que par tous les points de division on a mené des parallèles à BG ; la surface du triangle sera alors divisée en une infinité de tranches, lesquelles, étant divisées chacune en deux parties égales par AD, ont toutes leur centre de gravité sur cettr droite; d'où il résulte que leur ensemble, c'est-à- ^ire le triangle, a son centre de gravité sur AD. On prouverait de même que le centre de gravité est sur BE, qui joint le sommet B au milieu du côté opposé AG; il est par conséquent le point de rencontre G des deux droites AD, BE. La droite joignant le troisième sommet G au milieu du côté opposé AB passerait aussi par le point G (659).

Menant DE, cette droite divisant GA et GB en deux parties égales, elle est parallèle à AB, et en est la moitié ; de plus, les deux triangles semblables GDE et GAB donnent (670)