CI:AK = BCD:ABD

Toutes ces proportions étant liées entre elles par un rapport commun, on a

gG : g'G = BCD : ABD.

centubs de gravité des FiauHES. 647

Ce qui fait voir que gg' est divisé au point G en parties réciproquement proportionnelles aux triangles ABD et BCD, et que par conséquent ce point est bien le centre de gravité du quadrilatère.

11>72. Pour déterminer le centre de gravité d^un polygone quelconque^ on le décompose en quadrilatères, ou mieux en triangles, dont on détermine les centres de gravité ; on cherche ensuite le centre de gravité de Tensemble de toutes ces figures, c'est-à-dire celui du polygone proposé, d'après, la règle générale pour composer des forces parallèles, ou en employant les moments (1566).

1373. Centre de gravité d'un secteur circulaire OAB. Considérant le secteur comme étant composé d'une infinité de Fig. 486. triangles isocèles ayant pour sommet commun le

centre 0, et pour bases les différents éléments de Tare AB, les centres de gravité de tous ces triangles -j^o seront uniformément répartis sur l'arc a6, dont le

rayon Oc= - OC (1569), et le centre de gravité de

cet arc sera celui du secteur.

Or G étant ce centre de gravité, on a (t56&}

^^ ^ corde ah arcac6

Comme Oc = 5 OC, corde a6 = - corde AB, et arc ach= - arc ACB, dé-

Signant, comme au n"* 1568, corde AB par c, arc ACB par a et OC par r, il vient

1CT4. Centre de gravité d'un segment circulaire ABC {Ji'g. 4'86).

Ce centre de gravité se trouve sur OC (1565). Soient S la surface dtr secteur OACB, T celle du triangle OAB et par suite S -r- T celle du seg^ment. Soient, de plus, D, d et x les distances respectives du point O aux centres de gravité du secteur, du triangle et du segment (1569, f573). Le moment du segment par rapport au point 0 est égal à la différence des moments du secteur et du triangle par rapport au même point; donc

(S-T)i = SxD-Txd, d'où x=?^^|^-î^.

Désignant par a la longueur de l'arc ACB, par c celle de la corde AB., par h la hauteur OD du triangle OAB, et par r le rayon OA, on a

D=|r^, d=|A, S = |ar, T = -*- Ac, S^T= i(ar- Ac),

648 SEPTIÈME PARTIE. — Uti