ED:EG = DF:GS
d'où l'on conclut, ED étant le i de EG, DF = i GS. Les deux autres triangles semblables GDF et GGS donnent GD:GS = DF:GS;
d*où, DF étant le - de GS, on conclut bien
GD = l GS, c'est-à-dire GD = j SD.
Eemarque, Menant la hauteur SH de la pyramide et la perpendiculaire GI à la base, on a Gl = r SH. AirisU la distance du centre de gra-
vite à la base est égale au quart de la hauteur de la pyramide.
i2$78. Gonsidérant une pyramide quelconque comme composée de pyramides triangulaires ayant même sommet, et pour bases les divers triangles qui composent la base de la pyramide proposée, toutes ces pyramides partielles ont leurs centres de gravité situés sur un même plan parallèle à la base, et distant de cette base d'une quantité égale au 4/4 de la hauteur de la pyramide; par conséquent leur ensemble, c'est-à-dire la pyramide proposée, a son centre de gravité situé sur le même plan ; et comme, d'après des considérations analogues à celles posées pour la pyramide triangulaire, le centre de gravité se trouve aussi sur la droite qui joint le sommet au centre de gravité de la base,
(M SBPTIÈME PARTIE. — MÉCANIQUE.
on peut donc dire que le centre de gravité d'une pyramide quelconque se trouve sur la droite qui joint le sommet au centre de gravité de la base^ au quart de cette ligne à partir de la base.
1379. Considérant an cône comme étant une pyramide dont la base esl un polygone d'une infinité de côté», ce qui vient d'être dit pour la pyramide s'appKque également au cône (846).
iSdÔ. Remarque, Deux corps égaux, dont les centres de gravité sont les sommets A et U {Jig. 489), ont paur centre de gravité le point E (9^, 15651); sî un troisième corps, égal à chacun des premiers, a le sommet C pour centre de gravité, le centre de gravité de Tensemble des trois corps est le point D; S étant le centre de gravité d'un quatrième corps égal, le centre de gravité de Tensemble est le point fi. D'où l'on conclut :
V Que deux corps égaux ont le mêm^ centre de gravité que la droUe qui joint leurs centres de gravité ;
2* Que trois corps égaux ont pour centre de gravité celui du triangle qui a pour sommets les centres de gravité des trois corps;
3* Que le centre de gravité de quatre corps égaux est celui de la pf^ ramide dont les sommets sont les centres de gravité des corps.
1581. Centre de gravité d'un tronc de pyramide à basses pond" lèles (9H). Ce'centre de gravité se trouve sur la droite qui joint les centres de gravité des deux bases du tronc, droite qui passe par le sommet commun des deux pyramides; il s'agit d'avoir sa distance a: à ce sommet commun. Par rapport à ce sommet, le moment du tronc T est égal au moment de la pyramide totale P, moins celui de la pyramide retranchée p. D et d étant les distances des centres de gravité des pyramides à leur sommet commun, on a donc
Txa; = PxD-i)xd, d'où g=^^'^~P^^.
Le centre de gravité Sun tronc de c6ne à bases parallèles se trouverait à Vaide de la même expression.
Ittfti. Centre de gravité d'un secteur sphérique OABCD, engendré par le secteur circulaire OAC qiù fait une révolution autour du rayon extérieur OE.
Considérant ce secteur comme composé de pyramides infiniment petites ayant pour sommet commun le centre 0 et pour bases les divers éléments de la zone ABCD, base du secteur, les centres de gravité de ces pyramides élémentaires seront répartis uniformément sur la zone abcd^ doot le rayon
Oa = ^ 0\ (1577). Le centre de gravité cherché est
donc celui de cette zone, et il est par conséquent le point G, milieu de if (1575).
Ayant G/ = Gi, on a 20G = 20/ + fi = 0/ + Oi, c'est-à-dire
CENTHES de gravité I>CS riGORES. ^t
OG = j (0/ + 0») , ou, en remarquant que 0/= | OF et Oi = | OJ, OG = |(OF+OI).
Sî le secteur sphériqne était engendré par le secteur circulairo OAE tournant autour de OE, Texpresslon de OG serait encore laraème, seu* lement 01 serait remplacé par le rayon OE. 1585. Détermination du centre de gravité d'une surface plane quelconque.
^* *^^* On décompose la surface en un nombre pair n
de bandes, par des droites parallèles équidistantes dont les extrêmes sont tangentes k la surface. Le moment de chaque bande par rapport à la première parallèle est égal au produit de sa surface par la distance de son centre de gravité à cette parallèle. Soient a^^a^y a^„,any les longueurs des parallèles, et ^o* ^i* Vf-Vn leurs distances / respectives à la première parallèle Ox ; les mo-
' ments des parallèles par rapport à Ox sont res-
pectivement aoX^ot ûiX^i» fljXyj-ttnXy», et si Ton considère ces moments comme étant les ordonnées Y^, V,, Yj...Ynd*une courbe dont les abscisses sont les distancées y^, y^, y,... des diverses parallèles à la première Ox, Faire de cette courbe représentera le moment delà surface donnée par rapport à Ox, Ainsi, II étant la hauteur de la surface, c'est-à-dire la distance des deux parallèles extrêmes, S la surface, et Y la distance de son centre de gravité à la première parallèle Ox, on a, en appliquant la formule de Simpson (1303),
SxY=:ï[Yo+Y„ + 4(Y, + Y3 + ... + Y^)+2(Y, + Y,+ ... +Yn-,)1.
Formule de laquelle on tire la valeur de Y.
Ayant y^ = 0, on a aussi Oq x ^o = Yq = 0.
Si la surface a un axe de symétrie perpendiculaire à Ox, le centre de gravité se trouve sur cet axe, et il est déterminé par la seule valeur de Y. Dans le cas où il n'y aurait pas d'axe de symétrie, en opérant pour un second axe Oy, comme on vient de le faire ponr Ox, on déterminerait la distance X du centre de gravité de ia surface à cet axe, et connaissant Y et X, le centre de gravité serait déterminé (1085).
1584. Détermination du centre de gravité d^ un corps quelconque. Si le corps est cylindrique (840) , son contre de gravité est celui de la section faite au milieu de sa longueur par m\ plan parallèle aux bases du cyfindre, et le problème est ramené à relui du numéro précédent.
Dans le cas où le corps est quelconque, on suit encore une marche analogue à celle du numéro précédent. Ainsi fofn partage le corps en un nombre pair n dv, tranches par des plans parallèles équidistants, dont le premier xOz et le dernier sont tangents au corps ; on détermine
6611 SBPTiftHB PÂKTIE. — MÉCAKIQOE.
les surfaces a^^a^^a^... des sections faites dans le corps par ces plans, et les distances y«, yi, y^ ... de ces sections à la première xOz. Les produits a« X y«,a, X y, , a^xy^,.. sont les moments des sections par rapport au plan zOz, et considérant ces moments comme étant les ordonnées Y«, Y,, Y,... d'une courbe dont les abscisses sont les distances y«, yi, y,... des sections à la première xOZy Faire de ceitP courbe représente le moment du corps par rapport au plan xOz. Ainsi V étant le volume du corps et Y la distance de son centre de gravité an plan xOZy on a
VxY=^[Y. + Y,+ 4fY,+Y,+ ...4-Y..,)+2(Y,+Y4+...+Y.-J].
Formule de laquelle on tire la valeur de Y.
On trouverait de même les distances X et Z du centre de gravité du corps à deux autres plans yOz et xOy tangents au corps. On a soin de choisir les trois plans tangents perpendiculaires entre eux, et le centre de gravité se trouve déterminé. par ses distances X, Y et Z à ces plans (1086).
1585. Théorème de Guldin.
Ce théorème, qui repose sur les propriétés des centres de gravité, se divise en deux parties :
!• La surface S, engendrée par une courbe plane quelconque AB, qui fait une révolution entière autour d'un axe CD situé dans son plan^ a pour mesure la longueur L de la courbe génératrice^ multipliée par la circonférence SIjsY que décrit le centre de gravité de la courbe; ainsi (727)
S = 25:YxL.
Considérons un élément quelconque MN de la courbe. Pendant la révolution, cet élément engendre la surface latérale d'un tronc de cône. Cette surface a pour mesure 2ny X M N, y étant mené au milieu de MN (932). y X MN est le moment de Télémenl MN par rapport à CD. La surface décrite par chacun des autres éléments ayant pour mesure une expression analogue, la surface décrite par tous les éléments, c'est-à-dire par la courbe AB, a pour mesure la somme de toutes ces expressions, c'est-à-dire 2:: multiplié par la somme des moments des divers éléments, ou %iz multiplié par le moment Yx L delà courbe; on a donc bien
S = 2îcYxL.
Remarque. Si la révolution de la courbe génératrice n'était pas complète, la surface décrite aurait pour mesure la longueur de la courbe génératrice multipliée par l'arc décrit par son centre de gravité.
2* Le solide engendré par une surface plane quelconque ABC, pendasd une révolution entière autour de Taxe D£ situé dans son plan^ a pour
CORPS EXÉCUTANT UN MOUVEMENT DE ROTATION AUTOUR d'uN AXE FIXE. 653
mesure le produit de la circonférence 2reY, décrite par son centre de gravité G, multipliée par la surface génératrice S; ainsi Ton a
V = 27cYxS.
Considérant le solide engendré par la surface ABC comme composé de franches infiniment minces déterminées par des plans perpendiculaires à DE, Tune quelconque de ces tranches, par exemple celle engendrée par le trapèze MNwm, peut être considérée comme étant très-approximativement la différence de deux cylindres droits ayant PO pour hauteur commune, et pour rayons, Fun Ip = R, et Tautre ip=r; son volume est donc (924)
„(Ri r*) X PO = n{K + r) (R — r) x PO. (703)
Remarquant que (R— r)x PO est la surface s du trapèze MNn?n(697), que
— 5— est Fordonnée y du centre de gravité de ce trapèze et que par
suite 7î(R + r) = 9iny, il en résulte que le volume de la tranche est 2ry*; c*est 27C multiplié par le moment du trapèze. Toutes les autres tranches ayant même expression, et le volume de toutes ces tranches étant la somme de toutes ces expressions, il est donc 2:: multiplié par la somme des moments de tous les trapèzes qui composent la surface, c'est-à-dire 2n multiplié par le moment de la surface, ce qui donne bien
Remarque, Comme au r, si la révolution n'était pas complète, le volume engendré serait la surface S multipliée par Tare décrit par le centre de gravité.
CORPS EXÉCUTANT UN MOUVEIUENT DE ROTATION AUTOUR d'uN AXE FIXE.
i2$86. La vitesse angulaire d'un corps solide qui tourne autour d'un axe est la longueur de l'arc décrit, ou qui serait décrit si le mouvement en restant uniforme était suffisamment prolongé, pendant l'unité de temps, par un point situé à l'unité de distance de l'axe et lié invariablement au corps (1431).
1^87. <ù étant la vitesse angulaire d'un corps, et v la vitesse de l'un quelconque de ses points situé à une distance r de l'axe, on a, en remarquant que les vitesses des divers points sont proportionnelles à leurs distances à l'axe,
