V : (0 = r : 1 , d ou t^ = wr, et w

IS88. Puissance vive d'un corps tournant autour d'un axe fixe. Lorsqu'un élément matériel m tourne autour d'un axe, sa vitesse étant cor.

654 SEPTIÈMK PARTIE. — llACiJIiQQfi.

sa puissance vive est (1473)

Lorsqu'un corps solide quelconque tourne, chacun de ses points matériels possède une puissance vive d'une expression analogue à la précédente; en faisant la somme de toutes ces puissances vives élémentaires, on a la puissance vive du corps, qui peut alors être représentée par

2 signifiant somme.

Comme - co* est le môme pour toutes les parties de cette somme, on peut le mettre en facteur commun, et poser

mr*, produit d'un élément matériel par le carré de sa distance à laie de rotation, est ce qu'on appelle le moment d'inertie de Vêlement m par rapport à Vaxe.

2]mr*, somme des menants d'inertie de tous les éléments matériels d'un corps par rapport à un axe, est le inoment d inertie de ce corps par rapport à cet axe.

La formule précédente fait voir que la puissance vive dun solide tournant autour dun ajcejixe esU à un instant quelconque y égale à la moitié du produit du carré de la vitesse angulaire du corps à cet instant par le moment dinertie du corps par rapport à Vaxe de rotation.

1 889. Rayon de gyratioru II existe une valeur R de r telle, que si toute la matière du corps se trouvait à la distance R de Taxe, la puissance vive et par suite le moment d'inertie, pour une même vitesse angulaire par rapport à cet axe, n'auraient pas changé.

R est ce qu'on appelle le rayon de gyration du corps.

M = 2m étant la masse du corps, posant (1588)

d'où

on a

Jmr» =R«2»»=MR\ a)

Lorsque les corps sont homogènes, on peut substituer aux masses élémentaires m ics volumes élémentaires u, qui leur sont proportion-

CORPS EXÉCUTANT UN MOOWlfSNT DE AOTATIOM AUTOITR D*UN AXE FIXE. 6ft5

sels, dans Téquation (a), qui devient

Sur» = R«2;w = UR», d'où R«=-— ;

alors le rayon de gyration peut être défini et déterminé ' indépendamment de toute notion de mécanique.

La détermination des rayons de gyration des corps homogènes et de figures géométriques est du domaine du calcul intégral (voir 8* partie); nous nous contenterons ici d'énoncer leurs valeurs pour les corps qui ont des formes employées dans la pratique.

Ayant le rayon de gyration, MR* sera le sommet d'inertie, et 5 tt)»MR» la puissance vive. P étant le poids du corps tournant, on a (UB9)

M= -, et par suite

MR» = - R«, et

4 P ►=lco«^R«.

1590. Tour une tige homogène AB â^une trh-^iite section^ tour-liant autour de Vaxe Ay passant par son extrémité^ on a

R*=5/*sin«a;

R rayon de gyration; l longueur de la tige ; a angle que fait la tige avec Taxe.

Remarquant qu'on a (1122) /sina.= BG ou /*sin»a = BC\ il s'en suit que

R*= iScV

Le moment d'inertie est alors, P étant le poids de la tige (1589)» P«, IPitt;»

et la puissance vive

i^co^BC».

Four la tige BB', qui est rencontrée par Vaxe en un point quelconque iesa longueur^ r étant le rayon de gyration de la partie AB, et r' celui de la partie AB', on a

r«=:|BC' et r"=iBX^'.

P et P' étant les poids des parties AB et AB' de la tige, les moments d*inertie de ces parties sont respectivement

-r«=^-BC' et i-r'«=,î--B'C'*.

Le moment d'inertie de la tige totale étant égal à la somme des moments d'inertie des deux parties, on a donc, R étant le rayon de gyration de la tige totale,

^^r« = 1?bc^ + ^L'Fc', d'où R.^PX5C' + P'XB^

Dans le cas où le point A est le milieu de la longueur de la tige, c'est-à-dire quand il est le centre de gravité de la tige, on a B'C = BC, P' = P ou P -f- P' == 2P, et la formule précédente devient

R«=:1bc'.

Ce qui fait voir qu'alors le rayon de gyration de la tige totale est le même que celui de chacune de ses parties considérées séparément.

Si Taxe rencontrait le prolongement de la tige BB", on remarquerait que le moment d'inertie de BB'' est la différence des moments d'inertio des tiges BA et B"A, et on le déterminerait en suivant la même marchr que pour déterminer le moment d'inertie de BB'. Du reste, nous verrons (1602) comment, étant connu le moment d'inertie d'un corps par rapport à un axe passant par son centre de gravité, on peut déterminer son moment d'inertie par rapport k un axe quelconque parallèle au premier.

iiJOI. Pour une tige en arc de cercle AB, d'une très^etite section^ tournant autour de son rayon OA passant par une de ses exirémitésy on a

R'=^P*(i-|f sin2a); (a)

p = OA rayon de courbure de la tige ; / = arc AB, longueur de la tige; a = angle au centre correspondant k l'arc AB. Pour un quart de cercle, ou un demi -cercle, ou trois quarts de cercle..., c'est-à-dire pour a = 90*, i a = 180% a = 270»... on a sin 2a = 0, et. par suite

Ayant R', on aura le moment d'inertie en multipliant R* par la

masse — de la tige ; et ce moment d'inertie multiplié par ^ w*, moitié

du carré de la vitesse angulaire à un certain instant, donnera la puissance vive à l'instant considéré (1589).

A l'aide de la formule (a) , et en suivant la même marche qu'au numéro précédent, on déterminerait le rayon de gyration, le moment d'inertie et la puissance vive, soit que l'axe OA rencontre l'arc AB en un point quelconque compris entre A et B, soit qu'il rencontre le prolongement de cet arc. •