CORPS EXÉCUTANT CN MOUVEMENT DE ROTATION AUTOUR D*UN AXE FIXE

On verrait encore que quand Taxe rencontre Tare au milieu, c'està-dire quand il passe par son centre de gravité, le rayon de gyration de Tare entier est le même que pour chacune des deux moitiés prises séparément.

4592. Pour un disque homogène en quart de cercle dHune irès-^faible et uniforme épaisseur^ tournant autour d'un des rayons qui le limitent, ou pour un demi-cercle qui tourne autour du diamètre qui le limite,, ou encore pour trois quarts de cercle et pour un cercle entier, on a

« P étant le rayon du disque.

Ayant R*, on obtiendra facilement le moment d'inertie, puisque, connaissant les dimensions du disque, on a son volume, lequel, multiplié par la densité de la matière, donne le poids du disque. Ayant le moment d'inertie, on obtient la puissance vive en le multipliant par la moitié du carré de la vitesse angulaire (1589).

1893. Un cylindre homogène droit à base circulaire tournant autour de son axe^ ou un secteur quelconque de ce cylindre tournant avlour de cet axe^ donne, R étant le rayon de gyration et p le rayon du cylindre,

Ayant R', on détermine le moment d'inertie, puis la puissance vive, comme au numéro précédent.

io94. Pour une jante à section rectangulaire^ ou pour une portion de cette jante tournant autour de Vaxcy on a

OU, en remplaçant les rayons intérieur et extérieur p et p' de la jante en fonction du rayon moyen pi = ^ ^ et de la dimension de la jant« mesurée suivant le rayon, 6 = p — p',

l»9o. Un cône droit à base circulaire ou un secteur de ce cône tournant autour de son axe donne, p étant le rayon de la base,

RI = i. p«.

11596. Pour un tronc de cône tournant autour de son a^e, on remarquerait que le moment d'inertie du tronc est égal au moment d'inertie du cône total, moins le moment d'inertie du cône retranché pour obtenir le tronc. Ayant le moment d'inertie du tronc, en le divisant par

SEPTIÈME PARTIE. — MÉCAiriQlIB.

la masse — du tronc, on aurait R* (1589); c'est la môme marche que

peur une simple t%e tournait autour d'i»ii axe (4590). On ojf^rcpiit de même pour un tronc do secteur conique.

4tttl7. 1771 segment sphérique ÂBC, à w%e bcae^ tournant autow du diamètre BB' perpendicuiaire au pian de sa bmse^ c*es^*érdm passant pat son centre de framiéy donne

Fig. 495.

«•=ïôx

p rayon de la sphère ; A = BP hauteur du segment.

Pour une deminsphère^ h ::^p, et ki formule pféeëdente devient

Pour la sphère eniièrcy R" a aussi cette dernière valeur.

Le rayon de gyration d'un segment sphérique k deux l>ases s'oblîendireit en remarquant que le moment d'itiertie de ce segment est égal à le différence des moments d'inertie de deux segments sphérîques à une base (1596).

i,i98. Pour une zone sphérique ABC, à une base (fig. 495), tournant autour du diamètre BB' perpendiculaire à sa base, l'épaisseur de la calotte étami très-mince^ on a, p et A rftntt les mémee signifleadons qu'au numéro précédent,

Si la calotte était une demi-sphère^ on aurait A = p, et, par suite.

Pour une sphère creuse entière et très-mince on aurait aussi cette dernière valeur pour R*:

Le rayon de gyration d'une zone à deux bases s'obtiendrait encore en remarquant que le moment d'inertie de cette zone est égal à la différence des moments d'inertie de deux zones ;i une base (1596).

1599. Un parallélipipède rectangle ayant a, b, c pour arêtes, et tournant autour de l'arête c , donne

Fig. 496.

Rt=i(ai+5»}.

Cette valeur étant indépendante de c, on en conclut qu'un disque rectangulaire très-mince, tournant dans son plan autour d'un sommet, donne une même expression.

Si le parallélipipède, au lieu de tourner autour de c tournait autour d'un axe parallèle à c , mené par le

CORPS EXÉCUTANT UN MOUVlMBinr DB ROTATION AOTOUR D*UN AXE FIXE. 65ft

milieu de b, par rapport à cet axe, le rayon de gyratîon serait le même pour le parallélîpipède donné que pour chacune de ses moitiés déterminées par un plan mené suivant Taxe parallèlement au plan de c et a; or chacune de ces deux moitiés étant un parallélipipède rectangle

ayant a^ ^b eic pour arêtes» et tournant autour de Tarête menée par b

parallèlement à c, on a

ce qui revient à remplacer 6 par ^ b dans la formule (a).

Si Vaxe était mené parallèlement à c par le centre de la figure^ qui est aussi le centre de gravité^ par un raisonnement analogue au précédent, on verrait, en décomposant le parallélipipède en quatre autres par deux plans passant par Taxe, qu'il faudrait, dans la formule (a),

remplacer 6 par ^ 6 et a par x a; ce qui donnerait

1600. Pour un elUptcnde quelconque (lâiO), suivant que le mouvement a lieu autour de Taxe 2c, ou 26, ou 2a, on a respectivement

Rt = i (a« + 6*), a» = I (a* + c»), R« = g (6«+c»).

Lorsque Vellipsoide est de révolution^ on a c= 6, et les trois formules précédentes se réduisent aux deux suivantes :

applicables respectivement aux cas où Tellipsoîde tourne autour de son pcftit ou grand axe.

Multipliant le volume de FeUipsoIde (1210) parla densité de la ma(tière,

p on a le poids P; on en conclut la masse —, et par suite le moment

p dlnertîe — R*.

Faisant a=:6 = c = p, les formules précédentes se réduisent à la formule unique

Ce qui devait être, puisqu*alors Tellipsolde est une sphère (1597).

1601. Pour un cylindre droit à base demi-parabolique ABC tournant

660 SEPTIÈME PARTIE. ^ MiCAMlQUB.

autovT de V arête qui se projette en A, on a

FJg. 497.

lA JP

Fig. 4M.

rA X

a = AB, 6 = AC.

Pour un cylindre droit à hase parabolique CBC, on a la même valeur pour R*.

Ayant (1257) surface ABC = -a6, connaissant

la hauteur du cylindre, on déterminera son volume, puis son poids, et ensuite le moment d'inertie.

1602. Étant donné le moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe Oz passant par son centre de gravité G , trouver celui du même solide par rapport à un axe quelconque AB parallèle au premier.

On mène un système de trois axes coordonnés perpendiculaires; on prend Oz pour Tun d'eux, et Ox dans le plan des deux axes de rotation Oz et AB.

Considérant alors un point quelconque m du solide, ses coordonnées x, y, z sont respectivement égales à OP, CP et Ctw; ses rayons degyralion r' et r, par rapport aux axes Oz et AB, sont égaux aux droites CO et CA; soit A: = OA la distance des axes.

Cela établi, le triangle rectangle CAP donne