F(AP + AT') = F(PF — AA

et comme, d'après le numéro précédent, on peut remplacer PP'par

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tK A^«^.

CALCUL DU TRAVAIL DES FORGES APPUQURES AUX DIVERS POINTS, ETC. GtB

oaV on a donc, poar la somme des travaux élémentaires,

F(aa' — AA').

Ce qui fait voir que ceite somnse est égale au produit de Tune des forces par la quantité dont a varié la distance des deux points mobiles.

Pendant le parcours simultané de chacun des éléments de AB et A'B\ la sonime des deux travaux élémentaires des forces aurait la même expression ; donc le travail total produit par les deux forces pendant tout le parcours est égal à la somme de toutes ces sommes é/é- TTientaires, c'est-à-dire à Vune des forces multipliée par la quantité dont les deux points se sont éloignés ou rapprochés.

Ce travail est le même que si Tun des poyits était fixe, et que Vautre, sollicité par Tune des forces agissant dans la direction de la droite qui joint les deux points, s'en soit éloigné ou rapproché de la même quantité.

On voit que le travail ne dépend nullement du mouvement absolu dm système, mais seulement du mouvement relatif des deux points.

Il est évident que le travail est positif ou négatif, suivant que les forces étant répulsives, il y a écartement ou rapprochement des points, ou qu'étant attractives, il y a rapprochement ou éloignement.

Si les forceSy tout en xcstant égales et directement opposées, variaient d^intensité^ on pourrait les considérer comme étant constantes pendant le parcours de chacun des éléments du chemin; on aurait alors chaque traTail élémentaire comme dans le cas précédent, et en faisant la somme de tous les travaux élémentaires, on aurait le travail total, qui serait d'autant pics exact qu*on aurait opéré snr des valeurs plus rapprochées des forces. On pourrait encore, pour évaluer ce travail total, tracer une courbe dont Faire représenterait ce travail, comme au n* 1472.

ISOtf. Traoail de» forces appliquées à vn corps solide ayant un mowmment de tremêlation,

!• Supposons d^ abord que les forces restent constantes et parallèles.

Pendant un temps quelconque du mouvement, tous les poinfts du système décrivant des chennins égaux et parallèles, le travail produit par une force F ftùsant un angle a avec la direction du mouvement est, pour un chemin parcouru Ë (1471),

ExFcosa.

Meniat un axe Oa;paranèle à la direction dn mowement, B se projette en véritable grandeur sur cet axe, et désignant par Ec cette projection, on a B = E». La projection de F sur Ox est égale à sa projection sur la direction du mouvement, et Ton voit que désignant par F« cette projection, on a

F COSa = Fm

Représentant par TF le travail de F, on a donc

aPF = E.F,.

Pour toutes les autres forces, on a un travail d'une même expression; et en faisant la somme de tous ces travaux partiels, on a le travail total, qu'on peut alors mettre sous la forme, en remarquant que E« est commun à toutes les parties de la somme,

Ce que Von peut énoncer en disant que la somme des travaux des forces appliquées à un corps solide, pendant le mouvement de translation^ est égale au chemin parcouru par un point quelconque du solide ^ multiplié par la somme des projections des forces sur un aze parallèle à la direc^ tion du mxmvement. Cette somme de projections étant égale à la projection de la résultante (1526), on voit que la somme des travaux des forces est égale au travail de la résultante (1506).

go Si les forces, au lieu de rester constantes et parallèles à ellesmêmes, changeaient d'intensité ou de direction, on établirait, pour Tun quelconque e des éléments de l'espace parcouru, l'équation que nous avons posée dans le cas précédent pour l'espace total E , et l'on aurait pour une force F

T\=^e,\\, et pour toutes les forces,

STF = e,SF;;

ce que Von peut énoncer en disant que la somme des travaux élémentaires des forces appliquées à un système solide, pendant le mouvement de translation du système, est égale au chemin élémentaire parcouru par Vun de ses points, multiplié par la somme des projections des forces sur un axe parallèle à la direction du mouvement.

Pour avoir le travail produit pendant une portion quelconque du parcours, il suffirait d'ajouter toutes les sommes de travaux, que ron obtiendrait comme dans le cas précédent, pour tous les éléments du chemin considéré.

On pourrait encore, comme au n* 1472, pour évaluer ce travail total, tracer une courbe dont l'aire représenterait ce travail; seulement chacune des ordonnées de la courbe, au lieu d'être égale à une seule force, représenterait une somme de projections de forces.

1606. Travail des forces appliquées à un solide doué d'un mouvement

de rotation autour d*un axe.

Soient M un point du corps et F une force appliquée à ce point. Par

le point M menons un plan perpendiculaire à Taxe;

supposons que ce plan soit celui du papier, et que le

point 0 soit la projection de l'axe sur ce plan.

Le point M se déplaçant d'une quantité infiniment petite MM' dirigée suivant la tangente MT, pendant ce déplacement, le travail de la force F est égal à MM' multiplié par la projection de F sur MT (1471). Or, remarquant que si MG représente en grandeur et en