FROTTEMENT. PLAN INCLINÉ
mobile, on aura raccélération de vitesse J (1449, 1461); ayant J, la vitesse V acquise par le mobile après le temps t est U; l'espace Ë, par-
couru après ce temps, est - J<* (1437).
Pour F = 20*, P=100* et < = 10", on a:
u=«=:l,96xl0 = 19-,6,
Nous conseillons aux lecteurs de faire quelques applications analogues, qui sont très-propres à leur faire bien comprendre les principes fandamentaux de la mécanique.
1632. Examinons le cas particulier où Ton suppose que le mobile n'est sollicité que par son propre poids et glisse sans frottement.
Dans ce cas, la force unique qui produit le mouvement est la composante F sin a du poids, parallèle au plan ; Faccélération de vitesse du mobile est alors (1630, 1631)
, P sin a P sin a
J = — jf— = -p— = g sm a.
La vitesse acquise après le temps i est
v=: g sin ai, (1)
Après le temps t Fespace parcouru est
E = i 5F sin aiK (2)
Si E est la longueur totale / du plan, et que t soit le temps que le mobile met à descendre du sommet du plan à son pied , on a
/ = i or sin at\ d'où t = \/— ^ . (3,
2 ^ V ^r sm a ^ '
Substituant cette valeur de t dans celle de v, il vient
t? = fl sin a \/ — z — = ^igl sin a. ^ y ^r sin a " ^
Remarquant que /sin a est égal kla hauteur h du plan (1122), on a
Ainsi la vitesse que possède le mobile, quand il arrive au pied du
SEPTrÈnS PARTIE. — SÉCAfflQUE.
plan' incliné, est égale à celle qn'H aurait acquise en tombant yertic»^ lement de la hauteur h sous Taetion unique de la pesanteur (iU6}.
Ce qui vient d*étre dit pour la longueur tolale / du plan incliné est applicable à une partie quelconque V de cette longueur. Ainsi , quand le mobile a parcouru /', on a
c*est-à-dire que le mobile ayant parcouru un espace quelconque suivant le plan incliné, il possède une vitesse 1/ égale k celle qu'il acquerrait en tombant librement de la hauteur verticale h! dont il est descendu.
La valeur de v étant indépendante de /, on voit que des mobiles partant sans vitesse initiale d'un même point acquièrent tous la même vitesse en arrivant à un même plan hori^ontai , quelles- qu6 soient les inclinaûsons dfia pUaa suivis par Les mobiles. Si la vitesae acquise est indépendante de Tinclinaison et par suite de la loagMieur du plaa, il nf en est pas de même du temps que mettent les mobiles p<Mir arriver au plan horizontid; c'est ce que fiait voir la formule (3).
Si le mobile avait possédé une vitesse initiale v^^ on en aurait tenu compte dane les f4Mrmules (1) et (2), comme aux formules générales des n*' 1436, 1437, et Ton aurait ensuite eonclu, des nouvelles ^^ mules (1) et (2), la vitesse après un parcours quelconque /', comme ci-dessus.
Bemarque. La durée de la descente sur un plan étant
V^rsma V^r/sina \g h
on voit que cette durée est la même pour les divers
/t plans inclinés donnant pour -j- une quantité constante; ce qui a lieu pour tous les plans dont les longueurs / sont en grandeurs et inclinaisons les cordes AB, AC.... A'B, A'B*... d'une sphère ou d^trn cercfe, aboutissant toutes aux extrémités d'un même diamètre vertical AA'.
En e£fet, si d'un point quelconque B de la circonférence d'un cercle on abaisse une perpendiculaire BK sur un diamètre AA' = D, on a (676)
A : / = / : D, d'où -^ = D = constante;
ce qu'il fallait démontrer.
FORCES CBNTMPÈTE ET CENTRIFIISX. PtlIDULES. 687
t6S5. Étant dornié un plan BC, déterrmner le plan incliné sur lequel Fig. 500. devra se mouvoir le mobUe partant de  sans vitesse
initiale, pour qu'il arrive au plan BC dans le temps le plus court possible.
Il suffit de déterminer la ligne de plus grande pente du plan cherché. Pour cela, menant la verticale AB et la perpendiculaire AP au plan BC, la bissectrice AD de Fangle BAP est la ligne de plus grande pente cherchée. En effet, menons DO parallèle à PA, c'estàrdire perpendiculaire à BC; du point 0 comme centre, avec OD pour rayon:, décrivons une demicirconférence ; elle passera par le point A; car les angles ADO et DAO étant égaux chaeun à DAP d'après les constructions, le triangle ADO est isocèle, et l'on a OA = 0D«
Cela établi, toutes les cordes menées par A dans le cercle seraient parcourues par le mobile dans le même temps que AD (1632J; mais comme le pian BC est tangent en D, tous ses points, autres que D^ sont extérieurs au cercle, et par suite le mobile ne peut les atteindre que daa» des temps plus longs que celui employé à parcourir AD.
FORCES CENTRIPÈTE ET CENTRIFUGE. PENDULES
1634. Lorsqu'un mobile suit une circonférence ou seulement un arc de cercle, c'est qu'il est sollicité par une force indépendante de celles qui lui ont imprimé son mouvement actuel, et qui peut être la résultante de plusieurs autres. En efifet, de l'action des forces primitives, il résulterait que le mobile se mouvrait en ligne droite, suivant la direction de la vitesse acquise, et d*un mouvement uniforme.
Ce qui suit s'applique au cas où le corps part du repos, comme à celui où il possède une vitesse rectiligne initiale.
1635. La résultante R des forces qui sollicitent actuellement le mobile se trouve'évidemment dans le plan de la circonférence qu'il décrit. On peut alors la décomposer en deux : Tune, T, tangentielle à la circonférence, et qui modifie la vitesse du mobile; elle l'augmente ou la éiminue selon qu'elle agit dans.- le même sens que la vitesse initiale ou en sens contraire; l'autre, C, agissant suivant le rayon de la circonférence décrite, et destinée a modifier, à infléchir à chaque instant le mouvement, de manière à le rendre circulaire, de rectiligne qu'il eût été sous l'influence de la vitesse initiale et de la composante tangentielle T.
La direction de la eompoeanto' C lui fait donner le nom de force centripète, et son effet l'a fait appeler aussi forcer inflèchissanàe,
1636. Détermination de la force centripète C en fonction de la masse m du mobile, de sa vitesse v à Vinstant considéré, et du rayon r de la circonférence qu'il déeriL
D'ahorck, si pendant l'instant infinimfiAt petit 0 la vitesse v varie de
6SS 8BRTIÈHB PAKTIE. — MÉCAHIQOE.
la quantité infiniment petite dr, cette variation est due à la composante tangentielle T, qui a la même direction, et Ton a (1435, 1461)
Revenons à la force centripète C. Soit  la position du mobile à Tinstant considéré, et AÀ' = x Fespace infiniment petit qu'il parcourt pendant le temps infiniment petit 0. La projection du mobile sur le rayon iO décrit Tespace infiniment petit AB = s^ dans le même temps 0, et la figure fait voir que la vitesse initiale de la projection est nulle, puisque le premier élément de ÂA' étant perpendiculaire à OA, sa projection sur cette droite est on * point.
Au point A la vitesse initiale tangentielle et la composante tangentielle T sont perpendiculaires à OA; en ce même point la force centripète C agit suivant AO; or le chemin AA' étant infiniment petit, on peut supposer que pendant tout son parcours la vitesse initiale, la force T et la force C conservent par rapport h AO les mêmes directions; d'où il résulte que l'espace AB est parcouru uniquement sous l'influence de la force constante C, qui agit seule suivant AB (1487. Le mouvement suivant AB peut alors être supposé uniformément accéléré, et l'on a (14:n, 1461]
Cette formule n'est rigoureusement vraie qu'autant que 6 et par suite s et Si sont infiniment petits; car autrement la force tangentielle T ne serait pas constamment perpendiculaire à AO, de même que la force C n'agirait pas constamment suivant AO, ni parallèlement à AO.
Puisque dans la formule précédente il entre des quantités infiniment petites, il faut les faire disparaître, afin qu'elle donne la valeur de C d'une manière évaluable.
On peut supposer que la vitesse moyenne ? pendant le parcours de
l'espace infiniment petit s est égale à r; ainsi
L'arc s étant infiniment petit, il se confond avec sa corde, et Ton a (676;, en faisant AD = 2r,
s^:s = s:%r^ d'où s* = %rsi . (3)
On pourrait éliminer les quantités s, s^ et 0 entre les équations (Vh {%) et (3), mais elles disparaissent en multipliant membre à membre
FORCES CENTRIPÈTE ET CENTRIFUGE. PENDULES. 689
ces trois équations; ce qui donne, en supprimant les facteurs communs, i = — î, d ou C = .
Ainsi^ à un mstant quelconque^ la force centripète est égale au double de la puissance vive que possède le mobile à cet instant, divisé par le rayon (1473).
Remarque. Lorsque la force tangentielle T est nulle, la vitesse r reste constante, et par suite aussi la force centripète; et réciproquement.
1637. Supposant, commç cela a souvent lieu dans la pratique, que la force centripète agit sur le mobile par Fintermédiaire d'un fil dont une extrémité est retenue au centre de la circonférence décrite, en vertu du principe de la réaction égale et contraire à Faction (1508), le
mobile exerce sur le point fixe une réaction égale à , directement
opposée a la force centripète, et que Ton nomme force centrifuge.
En supprimant la force centripète, ce qui peut se faire en coupant le fil ou en le rendant libre, là force centrifuge est supprimée aussi, et le mobile n'étant plus soumis qu'à la vitesse initiale, et à la force tangentielle si elle n'est pas nulle, il s'éloigne en suivant la tangente à la circonférence. Cet efiFet est mis parfaitement en évidence par la fronde ; le projectile rendu libre s'échappe suivant la tangente à la circonférence qu'il décrivait. De même, les détritus de boue qui se détachent d'une roue de voiture douée d'un mouvement rapide suivent la tangente à la roue.
1658. Appelant p le poids du mobile, on a m = £ ; par suite les forces centripète et centrifuge ont pour expression (4636)
dou
h étant la hauteur due a la vitesse r, on a (1446)
A = r- , et, par suite, C = -^ .
La proportion précédente fait voir que les forces centripète et centrifuge sont chacune au poids du mobile comme la hauteur due à la vitesse du mobile est à la moitié du rayon de la circonférence qu'il décrit.
1659. Autres expressions de la valeur des forces centripète et centrifuge :
1* Le mouvement étant uniforme, et/ étant la durée d'une révolution entière du mobile, on a
-j-, et, par suite, C = m -rç-
06ogle
ifO SBrriÉME PARTIE. — VÉCAfflQOE.
2* (» étant la vîleMe angulnûre au mobile {"iaBÎ}, on «a aosei V = «ir, et, par suite, C = mco*r.
1 640. Forces centripète et centrifuge quand le mobile, au lieu de navre une circonférence ou un arc de cercle, décrit une courbe quelconque.
Considérant un arc infiniment petit AA' de ]a courbe décrite Ifig. 507), on peut supposer qu'il est tout entier situé dans un môme plan, et qvTû est un arc de cercle ^yant pour rayon le rayon de courbure r de la courbe à Télénient AA' li^Ho,.
Ayant la masse m du mobile, le rayon de'courbure. r de la courT)e au point considéré AA' et la vitesse r, les forces ceirtripcte et ceirtrifuge en ce point sont encore (1636)
Ainsi, en donnant a r cette dernière signification, les expressions des forces centripète et centrifuge s*apj)liquent k une triyectoire quelconque.
I G 4 1 . Applications :
4' Un mobile, qui est attaché à Tune des extrémités d'un ^1 doiïl l'autre ^st fixe, est niis en mouvement par une cause quelconque qui tout à coup cesse son effet; on demande ce que devieitt alors la tension du fil, en négligearit la masse de ce fil, l'action de la pesanteur surtout le système et la résistance de Fair?
Le mol)ilo n'étant plus soumis qu'à la vitesse acquise et à la force centripète, qui est alors la tension du fil, il prend, normalement à ce fil, un mouvement uniforme, et sir est la vitesse acquise, on a, m étant la mavsse du mobile et r la longueur du fi],
2' Le mobile M, au lieu de n'être fixé qu'à un fil, est retenu par dcuxt p. jj^g BIA et MA'; on demande quelles sont les tensions
dos deux fils, en négligeant la masse de ces fils, l'action de la pesanteur et la résistance de l'air, quand les forces motrices ont cessé leur action, c'est-à-dire quand le mouvement est devenu uni- Tc^f forme?
. r ^ \ La circonférence décrite par M a pour rayon
A 0 À MO = r et son plan est perpendiculaire à AA'. La
force centripète a pour intensité (1636)
Cl — ~"~— .
De plus, elle agit suivant MO, et comme elle est la résultante des tensions des fils, si on la représente par MB, ses composantes MD = c et ME = c' suivant les directions des fils MA et MxV sont respectivement
FORCES .GBfliTU»ÉfI£ ET filflXAlFliaB.. VBEDULES.
les tensions de ces file, et Ton a (4499)
tti
.sm,{a-}-4;) "" sina' sûijx'
d'où
sinà'
sin(a+à7
T7^, œt é':=iC
sma
sin (a + a') *
;J«a«fi)ree^eeiitrifi]^e étanisacore ^gele et.û«irtraipeÀ JA{i<>rcell%llt]*ipàte9âLJréBuUe''duJliouv6nlallt^lfiaBNBiliéré que ksttenôonsvifls fils etfAr suite les tractionsreKeBdéespar eux «ur les points fixes A et A'.&ontfiBS mêmes que si le -mobile était en repos, et que le point M, appaxtenattt aux deux fils, fût sollicité par une force égaie à la force centrifuge. '3' Supposons que le mobile Hau'lieu de se .mouvoir dans un i^lan vertical tourne dans un plan horizontal perpendicu- 'làire à la droite AA', et qu'il s'agisse de trouver la ^tanûon de chacun* des fils MA etMA', eniiuégligeant toujours la masse de ces fils, mais en tenantiCOBiiite •du poids p du mobile M.
Conservant les mêmes notatiomrs que dans le cas précédent, on a toujours
Vlg..110tt.
L'axe My étant .perpendiculaire à la vitesse . inJiiale et.au d4placiH ment, la somme des projections des forces c, c' et p sur cet axe est nulle (1611), et Ton a
oc 8tn« — c' sin a' — p-^ 0.
^.plus, les teixsioDdc.At.c;V£t lepoids^ ^^yant la forée. ceD>tripète{ pour résultante, coofildécaut Ûx .oauuaeiaxe, la^^omiae des |)rcj«Qtiûii8 tdie ces forces est égale à la projection de la résultanle^'et Uon a
c cos a;+ c' cos tL* = £-- .
Ces deux équations du premier degré entre Les. deux tensions cet c' donnent les valeurs de ces inconnues (480).
Dans le cas particulier où Ton arriverait a une valeur négative pour
c', il faudrait remplacer lefll flexible AU par une tige rigide, qui alors
supporterait une pression égale à la valeur négative trouvée.
4648. Pendule wingue. Supposons que'le fil inférieur MA' soit »op-
primé, et que le mobile M tourne comme dans
le cas précédent.
Quand le mouvement de M sera devenu unifornie,.ia 'force oentriûige fsra équilibre. à -ia teasion c et au poid&p; la somme das projections de la tension c et du poids p sur Taxe Uy seraAull« (16il),al: Ton aura, en désignant par « Ifangle lOAM,
Pig. 510.
p— ccosa = 0, d'où c=— 2-, '^ cos a
Ce problème se trouve réalisé par le pendule conique, dans lequel le fil AH est une tige rigide articulée à un manchon A, de manière à pouvoir tourner dans le sens vertical et à être entraîné, ainsi que le mobile M, par le manchon dans son mouvement de rotation horizontal.
Ce qu'il y a surtout d'important à déterminer dans le pendule conique, qui est destiné à régler le mouvement des machines d'après sa vitesse, c'est la relation qui existe entre la vitesse angulaire de M (1596) et l'angle a.
Or la tension c = -£— et le poids p ayant la force centripète
C = - w*r (1639) pour résultante, considérant Ox comme axe, la somme
des projections de ces forces étant égale à la projection de la résultante
(1502), on a
P ' . /. r • j» - « asina
— ^— sma+ 0= ^ <i>»r, dou w«=: ^^^ . «i)
cosa g rcosa ^ '
Faisant AM = L, longueur du pendule, on a
r=Lsina.
Remplaçant r par cette valeur dans la formule (1), il vient
<a' = r— ^ — ou (a
Lcosa V Lcosa'
Pour avoir la durée T d'une révolution entière du pendule, il suffit de remarquer que &> étant la vitesse angulaire, la vitesse du point M est cor, et que par suite on a
cor ~" u> '
ou, en remplaçant co par sa valeur.
Lcosa
= 2,006 v^L cos a.
Quand la vitesse du manchon change, la rigidité de la tige AM fait que la vitesse du mobile M ainsi que &> varient de la même manière.
Comme dans la valeur \/r^ — de w il n'entre de variable que V Lcosa ^
cos a, cette quantité étant en dénominateur, quand co augmente, cos a
doit diminuer et par suite a augmenter. Le contraire arrive quand tD
diminue.
On conçoit qiie Ton peut utiliser cette oscillation de la tige AM quand
la vitesse varie, pour faire mouvoir l'organe qui introduit la vapeur
FORCES CENTRIPÈTE ET CENTRIFUGE. PENDULES
dans le cylindre d*une machine à vapeur, ou Feau sur une roue hydraulique, et par suite régler l'arrivée de ces matières motrices, de manière à obtenir une vitesse que Ton peut considérer comme constante dans la pratique.
Appelant / la hauteur AO = L cos « du pendule, on a
