VI
1645. Une surface de révolution possède un mouvement uniforme de rotation autour de son axe vertical; on pose en un point quelconque de cette surface une petite sphère pesante M, à laquelle on imprime le même mouvement de rotation; quelle doit être la méridienne IMK de la surface pour que la petite sphère reste en repos relatif?
La réaction normale de la surface ne faisant que remplacer la tension de la tige du pendule conique (1642), on doit avoir pour Téquilibre
Lcosa*
La valeur de «a* étant constante pour toutes les positions de la sphère H, L cos a, c'est-à-dire la sous-normale de la méridienne IK doit être constante; ce qui indique (1253) que cette méridienne est une parabole
dont le demi-paramètre est j> = L cos a = ^ , et l'équation.
Fig. Kit.
La surface d'un liquide contenu dans un vase auquel on imprime un mouvement de rotation autour d'un axe vertical, affecte la forme de la surface de révolution précédente.
1644. Le mobile^ au lieu de tourner dans un plan horizontal omme dans le pendule conique (1642), décrit dans un plan vertical des révolutions dont le rayon est la lon^ gueur du fil OU; on suppose que le mobile^ qui a reçu une impulsion tangentielle initiale^ est soumis aux actions de la pesanteur, de la force centrifuge et de la tension du fil, et il s'agit, toujours en nÂgligeant Vinfiuence du fil et la résistance de Vair^ de déterminer : 1' to vitesse v du mobile quand il occupe une position quelconque M; ^ la tension c du fil pour cette même position, sachant qu'au point culminant M« sa vitesse, que Von peut considérer comme vitesse initiale, était v^ .
r Le gain de puissance vive ^mv* — x^V an mobile pendant le
69è SEPTI<E PAIITnE. HéCAinQITE.
pureottrs d6 M^M^est égal a la mmme desqaanlÀtéft de tinivail prodoiÉtt pfirles forces qai aolMoîtentle mobile pendant 'ce même parooure (i6i i)k GeB:fore88 étant Isiforeaceiitniage; la* tensioii du fil) et raotion* de la pesanteur, comme les premières sont à chaque instant perpendicolairas au chemin parcouru , leur travail est nul; orna donc, eiLdésignantpar^ la projection M^A du chemin parcouru MqM sur la direction verticale MoO de la pesanteur,
d'où,
ESpressîbn dans laquelle tout est connu, et qur'fait voir qu'en un point quelconque de la descente dû mobile, le ccerré de la vitesse est ègai au carré de là vitesse au point culminant phJtsle carré de la vitesse due à la hauteur verticale dont le mobile est descendu {\ 446). Au point inférieur M'^ là vitesse étant v'^ on a, en faisant OM = r.
Passé le point M'o, le mobile commence à remonter, sa vitesse diminue, et Ton établit, comme pour la descente, que la vitesse en un point quelconque étoat.t^;. on^a^ eui faisant Mf^À'i^-e-'^.oui W^'=.^—'e^
v'*=tj7 — 25^(2r — e).
Remplaçant v^ par sa valeur (1), il.vient,,en aimpUôanI,.
Ce qui fait voir que non-seulement pendant la partie descendante, mais ^ienpottr tdtUa Uk^rèoolutioTiy Jetoarré de.la vitesse en un point queleonque aséégal amoarré- de la viiessiet au- point culminani,^lus:le cars\é de la vitesse due à la distance verticale dUr. point GonetéBréaurdessotts^iâu point culminanl. De plus^.ORvoit qulà.une même distance de ce point culminant^ la vitesse est la même, qaele mobile monte ou descende; on voit aussi que. dans les hypotkèseevoù noua oûttSt sommes placés, c'estardiffc en supposant qulil n'y' atni- frottementni résistance d'air; 1b mouvement est périodique uniforme (14s3û); les révolutions sont de même durée, ot ipour cette ratôoa^diles isoeirones^ ,
En un mot, v^ étant la vitee&eooimue^^ en^ un\ point quelconque de la circonférence; eVn larvitease enua point situé à une distance verticale quelconque e du pnenui^, on^a
V* = îjft* + 2g[e^,
2^5 est positif ou irégatîr suivant que e est compté au-dessous ou au* dessus du point de départ.
Ce qui vient d'être posé est vrai pour tous les cas oùl un point maté-
FORCES Gfi»Tftlràt£ ET GENTaiFUGB. BH^DULES. 6jM^
riel soumis à raaiîon da la pasaaleui< sa maut sur uoa courbe quel^ conqiie qui ne lui opposa qja'uuo résistance normale (1614;.
2f i?W',ywo«*-nott* jncûntanant de déiermimer. la tension c.
Au pointMi le iiia2)ile se déplaçant nonmalfiiucnt k la direction OM, la sanama de» projectious sur OMt» de la ten»oac et du poids p, est égale et dinactemont opposée à. la force centriXu^, ou mieux cette somme de projections est égale à la force Gentcipète« el^Fon a
c + p C0sa= .
Remplaçant m par 2, et u' par sa valeur v^^ + ^ige (1"), il vient, en remarc^uant q,ue cosa= (1090),
d'où
^ r gr r '
^ \gr r y'^
Expression dans laquelle tout est connu, et qui fait voir que les valeurs^ de «0* 6t de e peuvent être telles que la tension c soit négative ; c'est alors une compression, et le fil doit être remplacé par une tige rigide* Les formules précédentes s'appliquent à toutes les positions du mobile autour du point 0^ pourvu que asoit toujours Tangle du fil OM avec la partie OM^.du. diamètre vertical, ce q^ui fait varier, eu conséquence le
signe de cos a et par suite celui de p cos a =p •
164S. Pendule simple^ Supposons que, comme dans le cas précédent, le mobile se meuve dans un plan vertical; mais qu'au lieu de lui imprimer une vitesse initiale capable de lui faire décrire une révolution entière, on ne fasse que Técarter de la position verticale 0M^o> ^^ qu'on l'abandonne a l'action seule de la pesanteur [Jig, 513).
Négligeant la résistance de l'air et Je frottement, on calcule la vitesse du mobile en un point quelconque de sa course comme dans Ite cas du n' 4644, en i^emarq^uant que la vitesse v^ est nulle. Ainsi le mobile étant arrivé au point M de sa course, c'est-à-dire ayant parcouru l'espace vertical ^\A' = e, on a
c* scr 2ye ou V = \jtge.
Arrivé au point inférieur M'o de sa course, le mobile décrirait à gauche de OM'o un arc égal à M'qMq, puis redescendrait pour remonter en Hq et redescendre de nouveau, et ainsi de suite, en reprenant toujours la même vitesse en un môme point; d'où il résulterait à l'infini des oscillation» égalies en amplitude* et en durée.
Dana la pratique^ il n'y a que pour de très^petites oscillation» que
SEPTIÈME PAUTIE. — MÉCANIQUE.
Ton peut négliger Tinfluence du frottement et la résistance de Tair sur le mouvement; aussi est-ce pour ce cas, et en négligeant la matière de la tige, que nous allons déterminer la durée de Toscillation de cette machine élémentaire, appelée pendule simple. Supposons qu*arrivé au point M le mobile parcoure l'élément infiniment petit MM' dans rinstant infiniment petit 6; on aura (1434, i446}
r=î"L= y/â^, d'où 6:
MM'
expression du temps employé a parcourir un élément infiniment petit s de Tare MqM'o en fonction de cet élément et de rabaissement vertical e.
Menant M'N parallèle à OM'q, les deux triangles ÔA'M et MM'N sont semblables comme ayant les côtés perpendiculaires, et donnent
