M'N BB

VexA'M'o

Bl

Remplaçant le premier membre de cette égalité par le second dans la valeur de 0, on a, en remarquant que BI = 5 AM'^ ,

AM'o V g

xBB';

valeur dans laquelle toutes les quantités ont des valeurs réelles et constantes, à Texception de BB'.

Pour chacun des éléments du parcours MqH'o le temps 0 aura une expression analogue, et en faisant la somme de toutes les expressions on aura la durée du parcours de MoM'o.

Cette somme est, en mettant -t-^jt* \/ - en facteur commun, et en re-

marquant que pour Tare MoM'ola somme de tous les éléments analogues à BB' est la demi-circonférence de diamètre AM'o,

Doublant cette valeur, on a pour la durée de Toscillation complète

■=*.Vî.

k est une quantité qui varie pour toutes les positions du mobile sur Tare MqH'o; mais dans la pratique on la supposera constante et égale à une moyenne arithmétique entre sa plus grande et sa plus petite valeur. Pour de très-petites valeurs de Tangle MoOM ^ on peut faire A: =: i, et poser

Cette expression de la durée d'une très-petite oscillation du pendule

donc

698 SBETlàSIS PAilTlB. — ai«<SA£tfaUIl.

simple fait voir que, pour un môme pendule ou pour dfls pendules de môme longueur, les oscillations sont isochrones, c'est-à-dire de la même durée, partout où la valeur de g est la même. On voit de plus que cette durée est moitié de colle des oscillations du pendule conique d'une hauteur égale à / (1642), oscillations qui sont encore isochrones.

1046. Remarques. Pour un pendule dîme longueur l', oscillant dans UA liau où g.^ig'y on aurait

Lorsque g = g\ cette proportion devient et pour Z = /',

proportions faciles à traduire verbalement.

1647. Application. Quelle est la longueur du pendule qui bat les secondes à Paris?

De la formule T = w l/-» on tire /= ^i-. Remplaçant j:, ^f et T par leurs valeuits, on a (1445).

On trouverait de même la longueur du pendule devant baltrc une durée quelconque.

1648. Détermination de la valeur de g (1447). Ajfant (164o)

T=r.y^,d'où (7 = ^*;^,

mesurant exactement la longueur l dir pendule, et déterminant la durée T de ses petites oscillations, Texpression précédente donne la valeur de g dans le lieu où Ton opère.

caoc D£s COUPS. soLoififi.

1649. Tant que deux corps solides en repos ou en mouvement, soni à distance, les actions mutuelles qu'ils exercent Tun sur Fautre sont négligeables; mais si, en vertu de vitesses acquises sous Tinfluence de causes quelconques, ils tendent a occuper au même instant une même partie de Tespace, dès qu'ils amvent k être ce qu'on appelle ea» conlftct,

CHOfi DES COlkBSl SOUDSSi 699

il se déclare des aotions mutuelle» répulsive» qui atteignent, un degré suffisant d'intansité pour modiâen en( grandeur- ou en dire«tiKnv ou.àila fois en grandeun*et en direction Les vitesses primitives des dea» canpa^ de' manière que ceux-ci ne viennent pas occuper la même portion de Fespace au même instant^ et par là satisfont aria loi générale de Yimpénétrabilité de la matière (1509).

Lorsque deux corps se rapprochent ainsi de manière à donner naissance à ces actions mutuelles par leurs changements plus ou moins sensibles de formes, on dit. qu'il y a. choc ou collision entre les. deux corps.

1650. Du principe de là réaction égale et contraire a Faction (1508)» ÎL résulte qxxQ.les actions mutuelles qui se développent pendant le chodde deux corps sont égales et directement opposées, et qu'elles n'influent en rien sur le mouvement du centre de gravité du système y mouvement qui ne dépend en intensité et en direction que des forces extérieures (1613).

i6Sl. Vinsse du centre dé gravité de V ensemble de deux corps solides après leur choc.

Supposons le cas le plv^ simple^ celui oU lés centrée de gravité des deux corps se meuvent suivant une même droite^ par rapport à laquelle lès deux corps sont, symétriques. C'é&f à ce cas qu'on ramène les applications pratiques sur le choc.

Le centre de gravité de l'ensemble se mouvra sur la droite suivie par les deux corps, comme si le choc n'avait pas lieu (1*650). De plus, il est évident que là vitesse de chacun des corps en particulier ne change pas de direction, mais bien d^intensité, et môme Tune peut changer.de signe.

Soient m et m' les masses des deux corps, v et v' leurs vitesses respectives avant le choc, et u la vitesse du centre de gravité.

Dès que le choc commence, les* actions mutuelles égales agissent en sens contraire sur chacun des mobiles, et produisent des changements de formes et des vibrations qui dépendent de la nature et de la forme des corps.

Si la vitesse relative des deux corps Tun par rapport à Tautre est faible, et que les corps aient une certaine* oonsistance, on peut admettre que le changement de forme pendant le cho&s^étend à peu de distance du point de contact; et que les vibrations des molécules sont trèsfaibles; d'où il résulte que le mouvenoent de toutes les moléeules de chacun des corps pentôtro considéré^comme n^étftnt qu'un simple mou^ vement de translation, qoi est le même pour toutes les molécules.

En se plaçant dans cette h^rpotlièee; Ventila vitesse commune à tous les points et au centre de gravité du' solide de masse m à un instant quelconque du choc, et V ceUo'de t^uslissipoints et du centrede gravité du solide de^ masse m* au même instant; onia (1612), en négligeant pen^ dant le choc les impulsions des forces extérieures, sMl y en a^ ce que Vùn peut faire, la durée du choe étant très-petite.

Il y a toujours pendant le choc un instant où les centres de gravité des deux corps ont la même vitesse, qui est aussi la vitesse u du centre de gravité du système ; à cet instant, l'équation précédente devient

(m -h 7n')u = wt? + m'v\ d'où

mv + m V

tt =

wi + wi'

u est la vitesse du centre de gravité, et sensiblement aussi celle de tous les points du système à Tinstant considéré, dans le cas de très-faibles vibrations.

Lorsque les deux corps ne sont pas élastiques, c'est-k-dire quand ils conservent les formes que des forces quelconques peuvent leur donner, les actions mutuelles cessent leur effet dès que la vitesse u est devenue commune aux deux corps ; alors les deux corps se meuvent en restant en contact, tant que des forces extérieures ne viennent pas modifier leur vitesse commune u.

Les formules précédentes s*appliquent au cas où les corps marchent en sens contraires, comme à celui où ils vont dans le même sens ; seulement il faut avoir égard aux signes qu'il convient de donner aux valeurs de V et v\ et par suite k celles de mv et mV. Le signe de u est toujours celui de la plus grande quantité de mouvement.

Si les deux quantités de mouvement sont égales et de signes contraires, la formule précédente donne m=0; ce qui montre que les corps arrivent au repos, et y restent s'ils sont dénués d'élasticité.

Si l'un des corps est au repos, on a

(m 4- wi')m = m», d'où

mv

16^2. Perle de puissance vive due au choc de deux corps non élastiques.

Si les corps restent unis après s'être comprimés, et qu'on néglige les vibrations auxquelles peuvent être soumises les molécules des deux corps, il est évident qu'il y a perte de puissance vive dans le système, puisque, pendant la compression des deux corps, et jusqu'au moment où la même vitesse est devenue commune aux deux corps, les molécules voisines du contact se sont rapprochées, et par suite les actions mutuelles répulsives de ces molécules ont produit un travail négatif, d*où il est résulté une perte de puissance vive (2*, 1614).

Le travail du aux forces moléculaires, et par suite la perte de puissance vive du système ne dépendant que du mouvement relatif des deux corps, il en résulte que pour calculer cette perte on peut supposer que l'un des corps est en repos, et que l'autre vient le choquer avec une vitesse absolue égale k la vitesse relative du système.