P = «+PQ
742 %EmtME FARTIE. — VéCAÎIH^Uf:.
Lnjlff. 523 représente une poulie à §09ye^ moflrlMi dans une chape ou espèce d'étrier en fer. Un crochet sert à suspendre l'engin à un point fixe quand on en veut faire usage. Le pourtour de la poulie est creusé «o gorge afin que ia corde on la chaîne, k Taide de laquelle on élevé les fardeaux, ne s'échappe pas latéralement
1679. Equilibre' dynamique de la jnoi'Jle ou du palan, en négligeant le poids de la corde et celui des pouUes, le frottement latéral des poulies^ et en supposant que ces poulies ont même diamètre ei que let cméotutosU parallèles.
Appelant :
P la puissance, c'est-à-dire la tension du cordon libre ou garant ;
Q la résistance utile ;
'n ^29 ^3-- 'n les tensions des divers cordons dits courojUs allant d'une chape à l'autre;
n le nombre des cordons allant d'une chape à l'autre;
a et ? les fonctions déterminées comme à la remarqofi précédente,
on a (f678. Remarque; :
^3 = «4- ^^t ^u« ^1 rettipiaçuit /, par sa valeur.
^,= a^-a? + pif,=:a(1+f)+3'/, = ^^{pt-t)-hpr,.
On passe à cette dernière valeur de t^ en divisant « par p — 1 et en multipliant (1 4- p) par (? — 1), afin de ne rien changer (444).
/, = «+#^ = a(l-fP + p«; + p./, =-^(cs 4) + pi^^.
On passe de même à celte dernière valeur de t,^ en divisant a par fp — 1 ' et en multipliant (i+p + P*) par p — 1 ; et simplifiant. On obtient par les mêmes calculs
P=« + P<n =:^^/.g««j)^piY,.
Ces valeurs obtenues, remarquons qu'on a
Remplaçant /„ /, i^ par leurs ^-aleurs, il vient
ÉQUILIBRI PTflAHtQCE DBS VACHINES SIUPLES. 723
Multîplia«l:«ftAis«»Miit la quantité (i+P+.p»4-^ + P^*) par(p— 1) et simplifiaat, .un «
Ayant le« "«rieurs de P et Q en fonction de ^i, il suffît d'éliminer t^ pour avoir tio» relation déterminée entre P ct^ft. Or, de Téquation précédente on itm
Sabstituaaot «ette valeur dans celle de P« <•■ a
ou, en nHttBaft «.a» «facteur commun et simpÇc6«Bt,
^^JJ^ L,W(P-^)P-o
^ "VP»-i p — 1/^ p»-i "•
En négligeaiBt toutes les résistances passives, on aurait
tx = U= = ^n=P et û=^ + ^ + +<n=nP.
Ainsi, la tension de chacun des cordons serait égale à la puissance P, et la résistance Q serait égale à la puissance P multipliée par le nombre n nies oorâene allant .é'«De «ciiape « l^anrtre.
La vitesse de Û est à celle de P 4ajas le rapport - = -^ » -, c'est-
à-dire que la vitesse de Q est égale à ceUe de P divisée par le nAmbre des cordons allant d'une chape à l'autre. Il est évîèlentque, sairfféVongement inégal des cordons "SOus des ehiipges différentes, le rapport des vitesses de Q et de P est le mèine, fve Ton tienne ou non compte des réfii^tances passives.
La^^. 525 représente un piitaA àirois poulies dans chaque chape. La moufle supérieure est munie d*uB crDehet A qni^ert k suspendre Te^gin à unpoLDtftxe., lamoiiAeaiobileîeBt.aiiiisi m)iQied'iHL>cnoolieFtM.8iicpiicl on suspend le fardeau k ^ver.
On dispose encore, quelquefois le palan comme l'indique la fig, 526; les poulies^ appelées rm&ufiigHee^ sont ée diamètres inégaux. Cette dlspeeitioB est moine comoMide <p» la ppécééente.
Fig. 516.
Fig. 5Î7.
1680. Treuil (1546). En négligeant les;; frottements des tourillons du
treuil et la roideur de la corde (1677), on a, pour réquilibre dynamique,
PxSii:p=Qx^i:q, d'où Pp = Qç,
comme au n** 1550.
P puissance ou force motrice agissant dans un plan normal h Taxe du treuil; p bras de levier de P par rapport k Taxe du treuil ; Q résistance vaincue agissant dans un plan normal à Taxe du treuil; q bras de levier de Q par rapport k Taxe du treuil.
Les forces P et Q peuvent ne pas être parallèles entre elles.
En tenant compte du frottement des tourillons du treuil, la formule
ÉQUILIBRE DYNillIQOB DES MACHINES SIMPLES. 725
précédente devient (1674)
Pp = Ûg-f/Rr+yRV.
/ coefficient de frottement des tourillons sur leurs coussinets;
r et r' rayons des tourillons;
R et R' résultantes des composantes des trois forces : le poids du treuil, la puissance P et la résistance Q, décomposées chacune en deux autres agissant dans des plans normaux à Taxe au milieu de la longueur des tourillons r et r' (1492, 1518,1552);
/Rr et/RV moments des frottements des tourillons.
Gomme R et R' dépendent de Q, on résoudra Téquation précédente par tâtonnement: on déterminera d'abord Q en négligeant le frottement des tourillons; ayant Q, on déterminera les valeurs correspondantes de R et it', par les décompositions indiquées plus haut et figure 527; ces valeurs, substituées dans Téquation précédente, donneront une deuxième valeur de Q plus exacte que la première. Opérant sur cette seconde valeur de Q comme sur la première, on obtiendra une troisième valeur s'approchant encore plus de la vérité, et en continuant ainsi de suite, on obtiendra pour Q une valeur aussi exacte qu'on voudra. Dans la pratique, on pourra généralement considérer la deuxième valeur de Q comme suffisamment approchée de la valeur réelle.
Les points d'application de P et Q décrivant dans le même temps quelconque des arcs qui correspondent au même angle au centre, les espaces E et e parcourus par ces points d'application sont proportionnels aux rayons ou bras de levier p etq:
Comme, s'il était possible que toutes les résistances passives fussent nulles, on aurait
Q-p' on aurait donc aussi
726 SEPTiàHS PARTIS. — VÉeAHIQfW.
Dans la fig. 528 la puissance agit sur une eorde M enroulBr aer rme
Rk. 62».
poulie D, qui e^t ordtnairojiienX un tamboor, et la résistance sur autre cx>rde F qui s'eivroalo sur Tarbre AB du ti'euil.
Dans le treuil de pitUs ( fig, 529 ),. la puissance, aa^ lieu d'a^ par
riR. !.sa.
rintermédiaire d'une corde enroulée sur un tambour, agit sur une manivelle NA montée à Textrémité de Tarbre MN d« treBîî.
La fig. 530 représente le treuil demt les carriers se servent pour élever les pierres par les puifs^ Sur l'arbre est montée une roue en bois de 6 à 8 mètres de diamètre, dans la jante A de laquelle sont implantées des chevilles en bois ou en fer. La puissance est produite par des hommes qui tirent avec les mains ou poussent avec les pieds, sur les chevilles, k peu près à la hauteur de Taxe.
KQClLlBRft »YXAIUQU£ DfiS MAGUk'C^S SUIPLES. Fig. &30.
1684, Cabestan. Si, outre les forces P et Q qui sollicitent le treuil en agissant dans des plans njocmaux. à son axe (i680j« une force F agit p»-
Fig. 53 i.
Fig
cf^
728 SEPTIÈME PARTIE. — MéCANIQDE.
rallèlement à cet axe, comme cela arrive dans les cabestans [fig, 531), qui ne sont autre chose que des treuils à axe vertical, dont le poids, au lieu de se reporter sur le contour des tourillons, agit sur la face horizontale du pivot inférieur, la formule posée pour le treuil (1680), devient
Pp = Qg + /Rr H-zav ^f^ \ r".
/T - i" moment du frottement de la face horizontale du pivot (1675);
/' coefficient de frottement qui peut être diflTérent de celui du pourtour du pivot; r" rayon de la surface frottante horizontale du pivot.
, 1685. Équilibre dynamique dun corps glissant par son poids star un, plan incliné (1630).
Le corps est soumis à Faction de deux forces : son poids P, qui est la puissance, et le frottement, qui est la résistance. Le corps parcourant un certain espace, la longueur l du plan incliné par exemple, ce même espace est parcouru par le point d'application de la puissance P et par celui du frottement.
La projection de P sur le déplacement V étant AD = P ^/i a, son travail est /P«»a. La pression normale du corps sur le plan étant AC = P cos a, le frottement est/P cos a (1629), et son travail, //P cos a. L*équation d'équilibre dynamique est alors (1665)
/P sin a = //P cos a ou P m a =/P cos a,
a ou /= = tang a.
•^ co*a ^
Ainsi, il y aura équilibre dynamique lorsque la tangente de Tangle d'inclinaison du plan k Thorizon sera égale au coefficient de frottement/.
De là résulte un moyen de déterminer le coefficient de frottement de deux corps. Formant le plan incliné de Fun des corps et le mobile de l'autre corps ; inclinant doucement le plan incliné jusqu'à ce que le mobile soit prêt à se mettre en mouvement, c'est-à-dire jusqu'au point où le mobile conserve le léger mouvement qu'on lui imprime, à ce point le mobile est en équilibre dynamique, et la tangente de l'angle a que fait le plan avec l'horizon est égale au coefficient de frottement /.
Supposons que le mobile soit sollicité non-seulement par son poids et par le frottement^ mais aussi par une force Q, qui peut être la résultante de plusieurs autres, qui est située dans le plan vertical PAE contenant le centre de gravité du corps et la ligne de plus grande pente du plan inclinéy et que nous considérerons comme résistance utile.
Les points d'application de toutes les forces parcourent encore le môme espace. Évaluons en particulier le travail produit par chacune des forces pour le même espace parcouru l.
Gomme dans le cas précédent , le travail de la puissance P est /P sin «.
La projection de la résistance Q sur l est Q cos p, et le travail qu'elle absorbe est /Qcos^.
La pression du corps sur le plan est égale k la composante P cos a du poids P, normale au plan, moins la composante normale Q sin p de la force Q, cette dernière composante tendant dans le cas de la figure à soulever le corps. Le frottement est alors (Pcosa — QsinP)/, et le travail.absorbé par ce frottement (P cos a — Q sin p )//. L'équation d'équilibre dynamique est donc, en supprimant le facteur commun /,
• Psina = ûco8p-h/(Pcos«— QsinP). (1)
Si le mobile cmait remonté le plan incliné au lieu de le descendre^ Q aurait été la puissance et P la résistance utile, et l'on aurait eu, pour l'équilibre dynamique,
Q cosp = P sin a +/(P cos« — Qsin p ).
Suivant la valeur de l'angle p, Qcos p est une puissance ou une résistance qui s'ajoute k la puissance P sin a ou s'en retranche, et Q sin p se retranche de P cos a ou s'y ajoute.
Dans le cas où Vangle a est nul^ c'est-à-dire quand le plan est horizontal^ sin a = 0, cosoc = 1, Q cos p est seul puissance, et l'équation (1) devient, pour l'équilibre dynamique,
Qcos p =/(P— Qsin P).
Si de plus Vangle p était nul^ c'est-k-dire si la puissance Q agissait parallèlement au plan horizontal, on aurait sin p = 0, cos p = 1, et l'équation d'équilibre dynamique deviendrait
1685. Équilibre dynamique du coin.
Le coin est sollicité par cinq forces :
La puissance P, qui le sollicite suivant son mouvement;
Les réactions N et N' normales aux surfaces de contact;
Les frottements N/ et N'/ des surfaces de contact.
Chacune de ces quatre dernières forces se décompose en deux: l'une parallèle k P, mais agissant en sens contraire de cette force, et l'autre perpendiculaire k P :
Wk 8EPTIÈHS PAATie. -- MéCAaflQOK.
N en N cosk paratièie èi P^ €t N sio A perpnpà. à P,
BE = N/ em I^/sin A. éd. et N/eos k «L
N' en N' cosB ià. et N' sin B ié.
^E'si N/ en N/simB id. et M/cos B «i.
Le coin parcourant un certain espace e, remarquant que ks poiata d'application de toutes ks forces parGOureat ce naéme espace sulYant ks forces, et que ks forces perpendieukires à. P étant nemialefl k od espaça kur travail est nul^ on. a pour réquilLbre d^ynamÂque
eV = cN cos A + cX/sin A + eN' cos B + eN'/sin B ; (Il
équation dans laqpielk on petit stipprimer e.
Sur un axe perpendicukire à P, la projection de l'espace parcourt e étant nulle, la somme des projections des forces sur cet axe est nulle' (1611)y et Ton a, en négligeant ks forces perpendkukires à Taxe, d*nt ks projections sont chacune égales à zéro^
N sin A + N'/cos B = N' sin B + N/cos A [a)
ou
N (sin A —/cos A ) = N' (sin B —/cos B).
Cette éqoation donne la relation qui existe eattre kâ deax finrces M el H',
ainsi Ton en tire
Jf sînB— /cosB
N' ""sin A— /cos A* '*^
Remplaçant successivement dans l'équation (i) N et N'par leurs valeurs tirées de cetk dernière, on en conclurait respectivement P en fonction de N' ou de N.
Supposant /=0, c'est-ànlire que k frottement est WêL, l6sionBnle»(4 ) et (2) deviennent
P = Nco»A + N'cosB ;i')
et
N 8iaB ,.et
N'^sinA* ^*^
RcmpTaçant dans Féquation {i'] N par sa valeur tirée de l'équation (2'), il vient
--- /smB cos A . ^\
\ smA J
Réduisant au même dénominateur, on a, en remarquant que
9ÎnBcosA + c0ftB&ftnA=:sin[A+B} = sinC, (1098, illl)
P = N' -. — 7- ou tn = -7— r .
sm A N' sin A
ÉQOILIBIfS DTNAUIQOE BCS XAtmTRES SIMPLES.
&eHe rétMcm et ceÛe (2*) f&ttt ràïr que Tan a
StIlrC
OU encore que ces forces sont ennftre elles comme les côtés AB, AC, BC du coin, qui leur sont respectivement perpendiculaires (1123).
Dans le cas où Tangle B est droit, on a sinB =1, cosB==0, et les équations (1) et (î) deviennent
P = NcosA + N/sinA+N/
sinA — /cosA'
• Ordinairement dans la prati(|ue A = B ; alors on a N = N', c4 la formule (1) devient
P = 2N(co8A+/sînA). (H
S'il iN^i99tsit 4e mtirer le eom, on auraiit «nt^ore les fonnales (1) et (a)^ dans IctsqueUe» F, N/ et N'/ftoraiefnt ^hB^gé die signe»; B-mei ees formules seraient
— P = N cos A — N/sin A H- N' cos B — N'/sin B, (1)
NsinA — IT/cosBrriN'sinB — It/cosA. (a)
Équations desquelles on déduirait comme précédemment, pour les cas particuliers que nous avons examinés, les relations entre les forces. La suite de rapports (Aj montre que quand le eoin est en équilibre, il existe entre les forces P, N, K qui le solliciteni et les sinus des angles du triangle formé par le coin, les mêmes relations qu'entre trois forces en équilibre autour é'xm inénie point et les angles du triangle des forces (1499). Ainsi, appliquant les forces P, N, N' parallèlement à elles-mêmes, en un même point, et traçant le polygone des forces (1492), ce polygone se fermera de lui-même, c'est-à-dire donnera une résultante nulle, et il sera, dans le cas qui nous occupe, un triangle semblable à celui ABC (1613).
1^4. Équilibre dynamique de la presse à coin.
Les circonstances dans lesquelles se trouve le coin ABC sont absolument les mêmes qu'an numéro précédent; ainsi, supposant l'angle A= B=a, la formule (1"') devieat
Fig. 534.
P = 2N(cosa+/sina).
r La pression N|
Considérant maintenant le bloc interposé entre le coin et la matière, il est sollicité par cmq force» :
normale k la surface de contact avec le coin ;
2* Le frottement DEi = Ni/ du coin sur sa surface de contact.
Ces deux forces ne sont que les réactions des forces de même nom N et N/ qui sollicitent le coin ; par conséquent, elles leur sont égales et directement opposées.
3** La réaction N'' du support D^ sur le bloc;
4* Le frottement D''E"= N"/ du support W contre le bloc;
5* La résistance utile Q qu^oppose la matière à comprimer.
Le mouvement du bloc ayant lieu suivant la direction de la force Q, décomposons chacune dès cinq forces qui le sollicitent en deux autres. Tune parallèle et Fautre perpendiculaire à Q; ainsi :
Ni en Nt sin a parallèle à Q, et N^ cosoc perpendiculaire à Q ;
Nj/ en N|/ cosoc id. Nj/sina td.
N'' en 0 id. N" id.
NV en NV id. 0 id.
Q en Q id. 0 id. ^
Pour un déplacement quelconque 2e' du bloc, remarquant que les points d'application de toutes les forces parallèles à Q parcourent cet espace suivant ces forces, et que le travail de chacune des forces perpendiculaires à Q est nul, on a pour Téquilibre dynamique du bloc
Ni sin a = N,/ cos a + N"/ + Q. (2)
Sur un axe perpendiculaire k Q ou à e', les projections des forces donnent (1611, 1683)
Ni cosa + Ni/sina — N''=0.
Remplaçant dans la formule (2) N^' par sa valeur tirée de cette dernière équation, on a, en réunissant les termes en N^ ,
Ni(sin a — 2/cos a — /« sin a) = Q.
L'équation (1) donne
N ou Ni = TTf rT-' — 7-
* 2{cosa+/sma)
Substituant cette valeur de Ni en fonction de P dans Téquation précédente, on en conclut
p^ 2(cosa+/sinflt)
sina — 2/cosa— /"sina ^'
Divisant par cosa les deux membres de la fraction, et faisant ^=tanga(ll07), ona
2(1 +/tang«) '^ ■" tanga — 2/-/« tang a «' ^"^^
Pour û = 1000kil., a = 87M0', d'où tang a = 20,205 553, ou sensi-
blement 20»2, et /= 0,16, qui convient au ichéne frotté de savon sec glissant sur chêne, les fibres étant parallèles, Téquation précédente donne
Telle est la relation qui doit exister entre la puissance P et la résistance utile û pour qu'il y ait équilibre dynamique, c'est-à-dire pour que le moindre efifort mette la presse en mouvement, et que ce mouvement se conserve uniforme quand cet efifort additionnel cesse son action. Il est évident qu'un tel mouvement ne peut se réaliser qu'autant que la résistance Q reste constante, ce qui n'a pas lieu quand on comprime des matières; mais, dans toutes les positions, les valeurs de P et Q sont liées par la relation précédente.
L'application qui vient d'être faite montre que la presse à coin est peu avantageuse pour obtenir de grandes compressions, et qu'il ne convient guère de l'employer quand la force motrice est une simple pression, et non le résultat.d'un choc.
Relation entre le travail moteur et le travail utile résistant.
Pour un abaissement e du coin, le bloc comprimant avançant de 2^', les travaux moteur et utile sont
Pxff et Ûx2e'.
On a (1122) .
e = e'tanga. (3)
Multipliant membre à membre les équations (2) et (3), on obtient
tang«+/tang«tt *^^^- tang«-2/~/«tang«^^*^-
Formule donnant le travail moteur Ve en fonction du travail utile 0x2^.
i68tt. Equilibre dynamique de la 'presse avisa filets carrés. Appelons :
Fig. 535. p jj^ puissance agissant dans un plan perpendicu-
laire k l'axe de la vis; nous supposons P répartie uniformément autour de l'axe de la vis, afin qu'elle ne fasse naître aucune pression contre la surface latérale des filets ; ainsi la puissance est divisée, par exemple, en deux
forces - P formant un couple dont le bras de
levier est divisé en deux parties égales par l'axe (1521); r le bras de levier de la puissance P ; /*' le rayon moyen de la surface hélicoïdale en contact.
Nous supposerons la surface hélicoïdale réduite h une hélice travaillante ayant r' pour rayon (1294).
a Tangle ^e fait Thélice moyeooe, ou. mieux la tajogeole à celle hélice avec le plau perpendiculaire À l^ase;
h le pas de rhélice, c'est la distance d'axe en axe de deux filet$ consécutifs;
Q la résifiladice ulile que la macère oppose «u mouvomont de translation de la vis; elle agit suivant Taxe de la vis.
yégUgeûAft ]b ûrotienieni ik ïeaUévûté de la YÎ^fiv la butlace àB, la vis pMil être cmimdérée cooma étant ammiae à Tactioii de m lonses :
1* P iMttssaiiûe;
%• Q réfit^tanfie utile;
An^eiant N Itj véaetiaa «onoale mm Bmchem de eantwt et récrou sur la wr£ace hélkoMale des fiiela, ellâ ae décanpoae en deux forces :
3" N'COfia AgsfiMut paraUèleoieDi à Taxe de la vis;
4* JN si&a agisacAt datia un plan perpendiculaire à Taxe;
Le frottenttsnt N/de la surface hélicoïdale sa décompose également en deux forces :
go N/'sina agissant parallèlement à Faxe^
G"" ^ftout agifisaalduia ua plan perpendiculaire àrcxe.
Établissons les conditions d'équilibre dynamique pour une révolution de la vis. Remarquons que, excepté le point d'application de la force Q, ceux des autres forces décrivent des hélices, et que leur mouvement peut être décomposé en deux, Tun parallèle à Taxe, et l'autre circulaire autour de Taxe. Comsidérant ce premier inouvameat, h élant l'espace parcouru par les points d'application de toutes les forces, on a pour l'équilibre dynamique, en remarquant que le tra«rail de chacune des forces agissant perpendiculairement à A est nul,
Wf cosa — AN/sina — AQ = 0, d'où N= ^
cosa — /'sina'
^mr îe deuxième mouvement, on a pour Téquilibre dynamique, en remarquant que le travail de chacune des forces agissant soivaât l'axe est nul,
P.x«3cr — KskiaxSter'-^N/««#«x27:r' = i; (i)
d*où, en ôupprimant 2« et en remplaçant N par sa valeur,
p^Q^'^si"«H-/cosa "r cosa— /sina'
Divisant les deux termes de la dernière fraction par ixisc et faisant
ÉQUILIBRB nVKiaiIOVE OX6 OAGHIKES gIMPt.ES. 735
r 1 — /tanga'
On peut donner a cette valeur de P une autre forme.
Remarquant qu/en développant le cylindre de rayon f^ cliaque spire de rhélice devient Thypotéouse d'un triaaagle rectangle dont les côtés de Tangle droit sont 2w' et h (4299), on a (1090)
Substituant cette valeur dans celle de P, il vient, en réduisant au même dénominateur et en supprimant le dénominateur Stct' commun aux deux termes de la fraction.
Si Ion néfpIfDite frottement, ce qui revieTltâLilnBe/==: A, on a
En teHBBtttBMOifM» 4ttt tra'vail absorbé fnrle liMieiiinit Ae il^xtrémité de la visfonria muÊBum âlR, remarquant ^mb Sa {ppesaiefii .snor «cette surface est4|,«ll0iaMlffin0nd:!àe frottemenit«Hrt9eiiB6ne>|pe|wnBr les filets de la vis, toURrtttHMnttflft^, et le tramSaftgaïUfioïKr nme «évolution
de la vis est -^t^'Q/ (r'' rayon de la surface frottaate (4675))- La for-
mule (4) devieot alors
P xâiw— N «in« X Sfar'— ^y cosa x gïcr'— ^^^f;
<roLi,'en effectuant les mêmes opép»tions que dans le cas préeééent,
T-O'-',, tang^H-/ .'q,,2/^ ^ ~ « r ^ 1 ^ / tang a + ^ ^ 3 -^ r ' ou
Remplaçant tang^a par — p , ^en a
Application, Pour Q = 9000 kil., r = 4-,00, r' = 0»,034, r" = 0-,025, h = 0",046 et /= 0,08, la formule précédente donne
P — QOOO /"Mai v: 0.0^6 + 2 X 3,14 X 0,034 X 0,08 2 X 0,08 X 0,025\ V 1 2x3,14x0,034 — 0,08x0,016"^ 3 )
ou P = 9000 X 0,006632 = 59S69.
Quand on ne tient pas compte du frottement du bout de la vis, on a
Ce qui montre que ce frottement n'est pas négligeable.
Fig. 536. Fig. 537.
Dans les vis à filets carrés (Jig, 536), la section abcd du filet par un plan passant par Taxe de la vis est ordinairement un carré.
1686. Équilibre dynamique de la vis à filets triangulaires. Le plan méridien passant par Taxe de la vis coupe le filet suivant un triangle isocèle mnp {fig, 537).
Opérant comme pour la vis à filets rectangulaires, on obtient des équations semblables à celles 'du numéro précédent. La légère différence vient de ce que la pression normale N n'étant plus située dans le plan tangent au cylindre de rayon r', on la décompose d'abord en deux forces, l'une N cos p située dans ce plan, et l'autre N sin p normale à ce plan : cette dernière rencontrant l'axe de la vis et lui étant perpendiculaire, elle ne produit aucun travail.
Comme l'angle p que forme la normale N avec le plan tangent est égal a la moitié de l'angle au sommet du triangle isocèle générateur du filet, c'est-à-dire à l'angle formé par cbacun des côtés égaux pw, pn du triangle avec la hauteur, on a, en désignant par a le côté, et par s la
hauteur, qui est la saillie du filet sur le noyau de la vis, cos p= -, et, par suite, en représentant - par m, N cosp = Nm.
Nm se décompose ensuite en deux autres forces. Tune Nm cos a parallèle à Taxe de la vis, et Tautre Nm sin a agissant dans un plan perpendiculaire à cet axe, tangentiellement k la circonférence de rayon r*.
Cela établi, pour le mouvement parallèle k Taxe de la vis, on a
ANmcosa — AN/sina — AQ = 0, d'où N=^ ^
7WC0sa — /sin a* et pour le mouvement de rotation ,
P X gîrr— Nmsin a x ^izf — 'Sf cos a x îwr'— - itr"Q/=0;
d'où, en divisant par gw, et en remplaçant N par sa valeur,
P = 0 /"- X ^ s^P « +/COS a . 2 . /;\ ^ \r mcosa--/sina 3*^ rJ'
On a ensuite
/r- mtang«+/ 2 r^'X *^ "Vr^m-/tang«+3-^ry' ou
Pour les vis en chêne, orme, etc., l'angle p est égal k 45", d'où cos p = - = m = 0,707; pour celles en bois plus durs , comme le buis,
le cormier, le sorbier, etc., et pour celles en fer, on fait p = 30", d'où m = 0,866.
Pour p = 30*, l'application du numéro précédent donne P = 63*,55.
Pour les vis k filets carrés, p = 0, cosp = m = l, et faisant •7» = i dans les formules précédentes elles deviennent bien celles [a] et (6) du numéro précédent.
Pour serrer une vis, si elle est mobile {Jig, 538), k l'aide d'un levier ou d'une clef, on imprime un mouvement de rotation k la tête, et la vis pénètre dans son écrou. Si elle est fixe {fig, 539), au moyen d'une clef, on tourne l'écrou. Que ce soit par la tête ou par l'écrou, pour serrer une vis, on tourne de gauche k droite ; on la desserre en tournant de droite k gauche. Ce n'est que dans des cas exceptionnels, pour obtenir quelques mouvements particuliers d'organes de machines, que l'on fait des vis à gauche.
Les petites vis se serrent ou se desserrent au moyen du tourne-vis^ lame d'acier dont on introduit le bout dans une fente que porte la tête de la vis.
Ff-. 538. Tig. M».
I4>87. Double froltement de roulement et de glisêement (1637). Lors^ qu'un corps avance en roulant sur un autre, comme, par exetmfiJe, aw roue de wa^n sur un chemin ^.fer, &i la qu&ntké dont il Ajamce par rallèlemeut à la surface de cet autre est ég^ « â*«apaee paroonru par las points de son pourtour autour de son centre, il n'y « qœ roideneot du premier corps sur l'autre, et, par suite, qu'un simple â^tèemsMt àe roulement. Si la quantité dont avance le premier coips parallèienient à l'autre n'est pas «gale à l'espaoe parcouru par les ^ints de saa ftouff* tour autour de son centre, c'est qu'il y a «eu à la fois rocdement «t |(li6' «emjent du premier corps sur l'autre. On admet dans ce cas qu'il y« giissem£nt d'une surface sur l'autre sar ane étendufe égale à kKlitt' rence des chemins parcourus sur le&^urfaoes en contaet, et povleineiit sur une étendue égale au plus petk «de ices chemins. Si une ioecHMtiw avance d'une quantité égale à l'espace que les jantes de ses roues pwcourent autour de leurs axes, c'est qu'il n'y « fue roukmeat ties jaotes sur les rails; si la locomotive reste «n repos, quoique tses roues Imvnent sur place, le chemin parcouru le long des rails étant ami, ii y « glissement sur une étendue égale a l'autre chemin, c'est-à-dire sur un espace égal à celui parcouru par les pourtours des jantes autour de leurs axes. Enfin, si, par exemple, pendant que la jante d'une roue parcourt 15 mètres autour de son axe, la quantité dont elle avance le
ÈQVlLIrWVE OTKAllIQtn: «BS Ul'ACWttîBS «IMPLKS. •760
long du rail est de 6 mètres, il y a glissenwnt but une étendue de 15— 6 = 9 mètres, et roulement sur une longueur de 6 mètres. De même si, pendant que la jante parcourt ces 45 mètres, elle avance de 20 mètres le long du rail, effet qui se produit quand on fait agir le frein sur une roue, il y a roulement sur une longueur de 15 mètres, et glissement Bwr celle de 20— 45 = 5 mètres. Ce double mouvement do roulement et de glissement se présente fréquemment dans les machines; ainsi fl arrive souvent qu'une poulie qui commande une courroie de transmission, ou qui est commandée par eîle, ne parcourt pas le même espace qtre la courroie.
A^ffS. Frottement des engrenages. Le double mouvement de roulement «t de glissement dont il vient dYHre question a lieu entre les dents en contact de deux roues d'engrenage qui se commandent. Nous allons déterminer le travail absorbé par le frottement de glissement seulement; celui absorl)é par le frottement de roulement pouvant, dans ce cas, être négligé par rapport au premier.
Connaissant la pression normale entre les dents, on a le frottement de glissement (4629); de sorte que si Ton connaissait Tespace parcouru par le frottement d'une dent sur l'autre, on aurait le travail absorbé par ce frottement (4673).
Kg. 540. Soient:
A la roue qui conmiande ; r son rayon. Quand on dit simplement le rayon d'une roue d'engrenage, on désigne celui 0^ de sa circonférence primitive, c'est-à-dire de la circonférence qui passe par le point de contact t situé sur la ligne des centres ; A' la roue commandée ; r' = Oï son rayon;
a=lc=:ic' le pas des engrenages; c'est la distance d'axe en axe de deux dents consécutives d'une même roue^ ou la dimension d'une dent plus celle d'un vide, mesurées sur la circonférence primitive delà roue; û résistance s'opposant au mouvement de A' en agissant tangentiellement à la circonférence primitive.
Ordinairement il y a plusieurs dents de la roue qui travaillent à la fois ; mais, afin de faciliter les calculs, on suppose qu'il n'y en a qu'une, et qu'elle ne commande que de / en c, c'est-à-dire sur un espace égal au pas. Pendant ce p^ïcours a, le travail absorbé par la pression normale entre les dents est égal à cette pression multipliée par la longueur de la courbe parcourue par le point de contact t dans son passage de t en i\ longueur qui ne diffère pas sensiblement de a ; or, puisque le point de contact s'éloigne très-peu de l'arc tc\ on peut sup-
poser que la pression est égale à la force Q agissant tangentiellement a ic\ et le travail absorbé est (1471)
De rhypothèse que la pression normale entre les dents est constamment égale à Q, il en résulte que le frottement est égal à Q/ (1629).
Quant au travail absorbé par ce frottement, on remarque que pendant que le point de contact t passe en i\ l'espace parcouru par ce point sur la dent qui commande est égal à i'c^ et que celui qu'il a parcouru sur la dent commandée est Vc\ d'où il résulte qu'il y a eu glissement sur une longueur égale k t'c — Vc\ différence que l'on peut supposer égale à une droite joignant c et c'. Le travail absorbé par le frottement est donc Qfxcc'.
Abaissant les perpendiculaires ce et cV à la ligne des centres, 00' étant à peu près parallèle à €&, on peut supposer ce' = ee' =i te + te* ; or on a (676)
fe = ^ et te'=%
et comme l'on peut supposer, sans erreur sensible, que et = c't = a, ce qui se rapproche d'autant plus de la vérité que le pas est plus petit par rapport au rayon, on a donc
te=:^ et te'=^,; et par suite le travail absorbé par le frottement est
Le travail que la roue A doit transmettre à la roue A' pour le chemin parcouru a est alors
ar. = Qa + Qa:f(i + ^). (i)
Si P ' est la force motrice qui sollicite tangentiellement la roue qui conduit, le travail moteur pour le parcours a est Pa, et l'on a
d'où
Qq^ étant le travail utile T«, la formule (1) peut se mettre sous la forme
n étant le nombre des dents de la roue A, et n' celui de la roue A\ on a
na = %xr et n'a = 2j:r', d*où
Remplaçant r et r' par ces valeurs dans l'équation (2), il vient
2 via n'a/' ou, en réduisant,
Formule encore plus commode à appliquer que celle (2).
Application. On a T* = 300** par seconde; la roue motrice a 100 dents et le pignon 21, le graissage des dents est bien fait et donne /=0,08; il s*agit de déterminer le travail utile Tu que pourra transmettre Tarbre du pignon dans une seconde.
Remplaçant les lettres par leurs valeurs dans la formule précédente, on a
300= Tu+TuX 0,08 X 3,14 ^^ + ±), d'où Ton tire
Le travail absorbé par le frottement en une seconde est Tm — ar« = 300 — 295,71 = 4*",29.
La formule (2) fait voir que la perte de travail due au frottement est proportionnelle au pas a, que Ton doit par conséquent prendre le plus petit possible.
D'après la même formule,(2), le travail absorbé par le frottement est
proportionnel à - + p, c'est-k-dire k -, quantité qui est d autant
plus petite, pour une même valeur de r + ?# que le produit rr' est plus grand. Or ce produit augmentant à mesure que r diffère moins de r' (537), on voit donc que le travail absorbé par le frottement sera
SfiPTiàUE PAUTtE. MfiCAAIQCJta
4!autaiit plus pelit^ pour iin« même valeur de r -}-y^ que r différera moins de r\ et il sera minimum quand on aura r=^r'.
Enfin la formule (2) fait voir encore que pour les mômes valeurs de a, r et r\ le rapport entre le trawL m<iteur et le travail utile est le même quelle que soit la roue qui commande Tautre, c'est-à-dire que dans les deux cas le travail absorbé par le frottement est le même.
Les formules précédentes s'appliquent aux engrenages cylindriques [fig. 541), employés pour transmettre le mouvement d'un arbre 0 à
un arbre paraHèle 0'. Appelant r et r*' lès rayons OA et 0*A tfes cii^ conférences primitives, et n, n' les nombres de tours des deux roues dans le même tempi^, on a
— = -7, dou n' = 7i-7.
Lorsque le rapport — doit être très-grand, pour éviter de faire le
rayon r' trop petit par rapport à r, on emploie des engrenages inter-
médiairesw Ainsi (fig. 542)
Fisr. 542,
pour transmettre le mouveiDtnlide L'arbre d^kHafibie C, oa emplDi& deiu. acèrasf ïof termédiaires poiteut ofaainui ujiBroueetimipi^oik ^.R', R" étant les^ rayon* des roues 0, A, Bs r, r', r* les rayons dsa pignonfi ch, 6, «;. et» n^ it.*,
n'\ n'" lies wombros de tours dhs wàmm^ 0^. A^ B, 6 dànsiler]
temps, onn a SRicccssivenEHnit:.
EQCILIBftfi OYNAIUQU Olft W^WOÊZ^k S43li>LËS.
^t ^ «» ^ff „/ R ., RR
r r rr
n'^=n" --■ = 71 -— rr-
1089. Engrenages coniques (fig. 543J, empB^és pour transmettre le mouYement (Tun acbre à. un autte qui le reiHttitre suivant un certain
Eig.. 543.
angle, a, r et r* étant le pas et les rayons mogcens^ (ire»t*4Mfire au milieu de la longueur de la dent sur la génératrice (la^ aoatatit OB, appelant a Tanglc que font entre eux ka^am^ da^j-ampiMnipiriv, A»» fa (2) et (3) du numéro précédent deviaHHMftBitfi]|tttttiiwiniosii(i :
Tn,= Tu+ TuX
T^=Tu+ Tu xfr,
2cos g rr' '
"*"tt^'^ 7Ln' '
Ces formules font voir que le travail absorbé par le frottement aug" Fig. 544. mente depuis « = 180% ce qui
correspond aux engrenages cylindriques intérieurs, pour lesquels il est le plus petit, jusqu'à a = 0, ce qui correspond aux engrenages cylindriques extérieurs, pour lesquels il est le plus grand. Pour a=:0, ces formules reviennent à celles du numéro précédent, comme cela devait être.
1690. Engrenages à lanterne y que Ton rencontre encore dans quelques anciennes usines (fig.
544). Un tambour, dit lanterne^ est , formé de deux plateaux AB, A'B', réunis entre eux par des cylindres en bois appelés fuseaux , et il est mis en mouvement par une roue munie de dents arrondies appelées alluchons.
1691. Frottement de la crémaillère. On peut considérer une cré-
Fig. 545. maillère comme étan t une roue
d'engrenage cylindrique dont le rayon r' est infini; par conséquent, pour une crémaillère commandant une roue d'engrenage ou pour une roue d'engrenage commandant une crémaillère, la formule (2) du n' 1688 devient
1692. Equilibre dynamique du pilon.
Soient :
Fig. 546.
la puissance motrice agissant verticalement
à l'extrémité du mentonnet^ dont la longueur,
comptée depuis Taxe de la tige jusqu'au
point d'application de la puissance, est /;
la résistance utile; c'est le poids du pilon et
de sa tige supposée avoir t de côté; la pression normale contre la prison ou guide supérieur C ; N/ le frottement contre cette prison ; N' la pression contre la prison inférieure C; N'/le frottement contre cette prison.
Remarquons que dans ce cas toutes les forces sont les unes parallèles et les autres perpendiculaires k la direction de la puissance P, suivant laquelle a lieu le mouvement.
Les points d*application de toutes les forces parcourant le même espace A dans le même temps, on a donc (1665), en remarquant que le travail des forces perpendiculaires k P est nul,
PA = ÛA + N/A + N/A. (1)
Formule oà Ton peut supprimer A, et de laquelle il faut faire disparaître les inconnues N et N', afin d'avoir une relation déterminée entre P et Q, ou entre les travaux de ces forces.
Sur un axe perpendiculaire k P, Q, N/et N/, les projections de l'espace parcouru et de la vitesse initiale étant nulles, la somme des projections des forces sur le même axe est nulle (1611), et l'on a, en supprimant les projections égaies k 0,
N — N'=0, d'où N = N'. (2)
La formule (1) donne donc
PA = ÛA + 2N/A. (a)
Le système n'ayant pas tourné autour du point A, c'est que les force» qui tendent k produire ce mouvement se font équilibre autour de ce point, et que par suite la somme de leurs moments est nulle, ce qui donne
Pxi — QXO— Nxd + N/x|--N'xO-N/x|=0; (3)
d'où, en supprimant les termes nuls, et en remarquant que + V x 3 et — N/x 5 se détruisent,
P/ = Nd, d'où N= ^.
Substituant cette valeur de N dans la formule (a), on a
d'où
PA=QA + PA^, a
Ce qui fait voir que le travail utile Qh est d'autant plus petit, pour un même travail moteur PA, que / est plus grand ; supposant / = 0, c'estk-dire que la force P est appliquée k l'axe de la tige et agit suivant cet axe, la formule précédente devient
PA = ÛA.
746 SBPnibW PARTIE. — > MËCAMQUJÙ.
Ga <|ui montre cgua le travail utile est alors égal au travail motear, et que par coiiaéqueBt lefrtettaBieBteQntve les pffkAas estnuL
Quand le travail est transmis par une eaioe^ eomme cela a lieu ordîv» nairement^le système molûle' eal sollLeita nen^seulejuent p«r les six forces duL cae préeédeat, mais aussi par le frottement P'/ de la cam« sous le mentonnet, force agîseant perpendiciilairemeat à la nouvelle force motrice P'. Opérant sur ces sept forces comme dans le cas précédent^ la formule (1) conserver la même expression; ainsi Ton a encore
La formule (2) devient, en remarfvaiilLque P7^ i^t dam k sens de*N,.
Quant à la formule (3), le bras de lerrer éc P/ varîîBuit d'une manière continue entre des limites qui diffèrent entre elles de la quantité A-^dont s'élève le pilon, on peut supposer qu'il reste constant et égal à la moyenne arithmétique entre ses deux valeurs limites; de sorte que sa
valeur est 6 + s , en supposant que la distance du point A au men-
tonnet est égale à b quand le pilon est au bas de sa course, et la for- L (3) devieal
P'Z-F/^6H-^)^«xe-IWH^N/Î^II'5<0-i^/i=e ou
Remplaçant dans cette formule N' par sa valeur (SI'), on a .'-^('+5)-^'i
d'où
Cette valeur, substituée dans Fcquation (2% donne
d Ces valeurs de N et de N' substituées dans Téquation [V] fournissent
^^ d-/[2/-2/ {b + I) -/*i+/iZ]
Ordinaîpementon a ô + - = 3; alors
Comme /'i s mie valeur réelle, on voit <]iie la valeur de. la puisantMf^ P' est moindre que celle obtenue pour V dan» le eas précéÂejit pouA une même valeur de Q,
Si Ton demandait quelle est la quantité de travail moteur 9^«, que devrait transmettre Tarbre à cames pour uœ élévation à du pildH'; eonsidérant la. came eomme une deat d^engrenage dont le ra^our est. r^ el fionunaiMUuit une crémaillère, le travail absorbé par le firottemsAt da la came étant», pour la. pjressiomtDaasmÂse P' (16di)^
on a
aw,= P'A+P'A-g = P'A(n-^J).
Remplaçant P' par sa valeur (4) , on a
n étant le nombre de coiq^s de pilon donné pendant une révolution do Tarbre à cames, et P la force motrice tangantielle qui ag^t.à Textrémité du r^^on r, on doit avoir pour l'équilibre dynamique
nK. = ai»rp, d'où
eaiNCieE&*.
169S. ÉUais principaux des corps (liiOd). Les corps de. la. aatuve se jurésenteat sous- trois états, principaux 1 i^ les corps à L'état solide- oa les soUdeSy tels que les pierres^les^ bois,, les métaux, ea général,, qui. résis^ tent plus ou moins à Taction des forces extérieures sans se: déformer ; 2,* les corps à Pétat liquide^ ou les liquides^ comme Teau,, le via, lea
748 SEPTIÈME PARTIE. ^ ItfÉCANIQUE.
liqueurs en général, le métal appelé mercure, etc., lesquels se distinguent des corps solides par Textréme mobilité de leurs parties ; 3* les corps à Vétat gazeux^ ou les gaz et les tapeurs^ classe qui comprend Vavr et tous les corps analogues, qu'on nomme pour cette raison aériformes; le nom de vapeur est spécial aux gaz produits par les liquides à une certaine température.
Les liquides et les gaz prennent le nom commun de fluides; seulement les derniers sont appelés ^uide* aérif ormes.
Les liquides ne se compriment que bien faiblement pour de très-fortes pressions; c'est ce qui leur fait souvent donner le nom de^utd^* incompressibles. Les gaz, au contraire, sont très-compressibles, et comme, en outre, ils jouissent d'une élasticité parfaite, on les a appelés fluides élastiques.
Quand les liquides sont comprimés, si la pression cesse son action, ils reprennent exactement leur volume primitif. Les liquides se distinguent des gaz en ce qu'ils ne jouissent pas de la faculté e^pansi>e k l'état libre, au lieu que les gaz se dilatent de manière k toujours remplir un espace vide, quelle que soit l'augmentation qu'on fasse subir k cet espace sans y introduire une nouvelle quantité de gaz.
Un même corps peut être k l'état solide, liquide ou gazeux : ainsi l'eau peut être k l'état solide, ce qui donne la glace, ou liquide, ou encore k l'état de gaz, c'est-a-dire de vapeur. La quantité de cbaleur plus ou moins grande que renferme l'eau lui fait prendre l'un ou l'autre de ces états.
1694. Divisibilité. La matière qui constitue les corps peut se réduire k un état de ténuité extrême, mais non indéfini. Les parties constituantes, placées k la limite extrême de la division effective de la matière, prennent le nom d'atomes. Tous les atomes sont de même nature dans un corps simple, comme l'bydrogène ou l'oxygène, par exemple. Dans un corps composé, tel que l'eau, qui se compose d'hydrogène el d'oxygène, un certain nombre déterminé d'atomes de chacun des corps composants s'unissent pour former un groupe qui prend le nom de molécule; dans l'eau, la molécule se compose de deux atomes d'hydrogène pour un atome d'oxygène, et cette composition est la même pour toutes les molécules d'eau. Une très-petite agglomération d'atomes ou de molécules prend le nom de particule.
169^. La partie de la mécanique qui traite de l'équilibre des liquides prend le nom d* hydrostatique. Celle relative k l'équilibre des fluides élastiques est la pneumatique. Le nom d'hydrodynamique est réservé k la partie qui a pour but l'examen des fluides en mouvement. La partie de l'hydrodynamique ayant exclusivement rapport aux liquides prend le nom d'hydraulique (1424).
1696. En traitant de la mécanique des corps solides, on a pu poser des axiomes desquels on a déduit les lois générales de l'équilibre et du mouvement de ces corps, et il a été facile d'appliquer sans erreur sensible ces lois k des combinaisons diverses qui n'en sont que des conséquences. Mais lorsqu'il s'agit des fluides, les abstractions manquent, et
PRINCIPES. 7i9
que cela tienne a Timperfection de la manière d'envisager VacUon mécanique réciproque des molécules les unes sur les autres (1509)^ on au défaut des calculs analytiques, ou encore, comme il y a lieu de le supposer, à ces deux causes réunies, toujours est-il qu'on n'a pu donner jusqu'ici une théorie parfaite des propriétés des fluides. Cependant l'expérience jointe au calcul a suffi pour poser des règles convenables à la détermination des phénomènes pratiques.
1697. La mécanique des fluides ne peut être abordée par l'analyse sans avoir recours a quelques suppositions qui s'écartent plus ou moins de ce qui a lieu dans la pratique. Ainsi l'on suppose les corps d'une fluidité parfaite, c'est-à-dire tels que leurs molécules glissent les unes sur les autres et contre les parois des vases qui les contiennent sans donner naissance à aucun frottement (1626).
1698. De cette première hypothèse résulte le principe de V égalité de pression des fluides. Ce principe très-important, découvert par Pascal, consiste en ce que les fluides transmettent uniformément en tous sens, dans leur intérieur et normalement aux parois des vases qui les con*tiennent, la pression transmise par un point quelconque de ces parois.
Ce principe, sur lequel est fondée la construction des presses hydrauliques, se vérifie en pratiquant deux ouvertures dans deux parties quelconques des parois et en y adaptant deux pistons. Comprimant le liquide avec l'un des pistons, on remarque que la pression transmise par le fluide à l'autre piston est à la compression du premier dans le rapport des sections des pistons.
1699. De l'hypothèse de la fluidité parfaite résulte aussi que dans un fluide en repos, dont les parties ne sont sollicitées par aucune force extérieure autre que leur poids (par exemple, le fluide est placé dans un vase où il existe un vide parfait, et de plus il ne jouit d'aucune force expansive), une colonne verticale prismatique de fluide, ayant sa base supérieure sur la surface supérieure du liquide dans le vase, exerce sur sa base inférieure une pression égale au poids de la colonne, et en général la pression sur une section horizontale quelconque de cette colonne est égale au poids de la partie de colonne qui surmonte la section considérée. Ainsi la pression sur la base supérieure de la colonne est nulle, et elle augmente pour chaque section horizontale proportionnellement k la profondeur de cette section au-dessous de la surface supérieure du liquide.
Puisqu'il y a équilibre dans toute la masse du liquide, et que la pression exercée par la colonne prismatique sur une section horizontale quelconque se transmet latéralement, il en résulte que la pression est constante entre toutes les molécules d'une môme section horizontale de toute la masse liquide, et qu'elle se transmet normalement aux parois du vase en tous les points de la même section.
1700. Cette pression est mesurée sur chaque unité de surface de la section du liquide et du vase, par une colonne du liquide ayant pour base cette unité de surface, et pour hauteur la profondeur, mesurée verticalement, de la section au-dessous du point supérieur de la surface
du liquide. Celte pression, en chaque point d'une section horizontale •du liquide et de la paroi du rase, ne dépend nullement de la forme de ee vase, mais seulement de la profondeur verticale de la section audessous du point supérieur de la masse liquide. C'est pourquoi Ton peut faire éclater un tonneau très-résistant, en le remplissant d'un liiptide, et en le surmontant* d^un tube très-petit qu'on élève suffisamment haut et qu'on remplit également de liquide.
1701. Dans les cas ordinaires de la pratique, les fluides ne sont pas Boumis seulement h Taction de la pesanteur; ainsi tm gaz pfacé dans «Ti vase où Ton avait fait le vide réagit, en vertu de sa force élastique, •eontre les parois du vase, et cette réaction est considérée comme une force extérieure agissant par l'intermédiaire des parois sur la masse fluide. Un liquide placé dans un vase ouvert est soumis à la pression atmospliérique, qui produit l'effet d'un piston sur la surface du liquide, •et se transmet uniformément en tous les points de la masse fluide et -contre les parois du vase.
1702. La pression en un point quelconque d'une masse fluide et contre les parois du vase contenant le fluide se compose donc généralement de deux parties : t* de la pression extérieure qui se transmet uniformément en tous les points du fluide et contre les parois; T de la pression due à l'action de la pesanteur sur le fluide. Cette dernière est constante pour tous les points placés sur une même section horizimtale, et elîe varie d'une section horizontale à une autre, proportionnellement à la profondeur de la section au-dessous du point le plus élevé du fluide supposé homogène ; ainsi, w étant le poids du mètre cube de Huide, la pression due à la pesanteur est tak par mètre carré, sur une -couche horizontale située à la profondeur A au-dessous du niveau supérieur du fluide, et contre la partie de paroi située à la même profondeur.
1765. Du principe de la transmission de pression des fluides, il résulte qu'un liquide placé dans un vase ouvert ne peut être en équilibre qu'autant que sa surface est horizontale.
MOXENS HE llfiSIJB£R Là PRESSION Btifi FLD1DB8.
1704. L'air qui enveloppe la terre exerce en tous ses points, et sur ceux de la surface de la terre, une pression analogue à celle qu'exerce un fluide placé dans un vase sur ses différents points et contre les parois du vase (1700).
Cette pression, appelée pression atmosphérique, se mesure à l'aide du baromètre, appareil qui se compose d'un tube AB en verre, fermé à son extrémité supérieure, et communiquant par sa partie inférieure avec une cuvette C, qui contient du mercure et qui communique avec Taîr libre. Faisant le vide dans le tube AB, le mercure de la cuvette C s'y élève jusqu'à ce que la différence des niveaux a et o du mercure dans le tube et dans la cuvette fasse équilibre à la pression atmosphérique qui s'exerce sur la surface du mercure de la cuvette. Une échelle graduée placée à côté du
MOYENS lïE MESUlîEU LA 1«RBSSI0K ÎIES ^IClDES. 75|
tdbe iwdique cette différence, appdée kaufeur harontétriçue, pour chaque niveau que prend le mercare dans le tube.
170i>. h étant la hauteur barométrique indiquée, et co'le poids du mètre cube de mercure à la température actùclle,la pression atmosphérique par mètre carré est j? = ho)\
Si la température est 0% la valeur de w' est 13596^ si la température au nioment de Tobsenation est i degrés centigrades, sachant que le
coefficient de la dilatation cubique du mercure est^^, il en résulte qu'on a
tt par suite
^='''''i'-mhn)'-
La quantké U — — — ^j a est la hauteur barométrique ramenée a
la température zéro. Sa valeur moyenne au niveau de la mer «st 0",76; celle de p y est par conséquent 13596 x 0,76 = 10333 kilogrammes. Ce sont ces valeurs qu*on emploie ordinairement dans les applications industrielles, en tous les points de la surface du globe. La pression atmosphérique 0",76 de mercure équivaut à une colonne d'eau de 10",333.
1706. Lorsqu^un fluide élastique est contenu dans un vase clos, on peut mesurer sa pression au moyen d'un baromètre dont la cuvette communique avec Tintérieur du vase au lieu d^être ouverte dans Patmosphère. La valeur de la pression p du fluide a la même expression qu'au numéro précédent.
1707. Quand la pression d'un fluide qui occupe un espace clos dîf-
fêre peu de celle de l'atmosphère, on mesure la différence à l'aide du manomètre à siphon ou par des I \ n dispositions analogues. La différence de niveau A, r7i| |p=j\ multipliée par te poids du mètre cube du liquide
! t / 1| employé dans le siphon, donne la différence de
\ [ pression cherchée par mètre carré. Cette différence
M ajoutée à la pression atmosphérique 10333^, dans le X cas A, ou retranchée de cette pression pour le cas B,
donne la pression du fluide dans le vase par mètre carré. Dans rétablissement des machines à vapeur, ce manomètre à siphon, appelé manomètre à air libre, s'emploie pour des excès de la pression dans les chaudières sur la pression atmosphérique s'élevant jusqu'à 4 atmosphères ; de sorte que la différence de niveau du mercure dans les deux branches est 0",76 x 4 = 3",04, et la pression absolue dans la chaudière, 0,76 x 4 + 0,76 = 0,76 x 5 = 3-,80. Comme la température du manomètre n'est pas 0**, on conçoit que la hauteur 6",76 ne correspond pas à une atmosphère; mais cette approximation suffit
dans la pratique. Du reste, si Ton voulait ramener la hauteur A indiquée par le manomètre à la température t^ à la hauteur h! correspondant à la température 0", il suffirait de poser (1705)
^'=0"55îIt"<)^'
ce qui correspond, en kilogrammes par mètre carré de surface, à
fi-
,jA kilogrammes.
irf
1 708. Pour de fortes pressions, on emploie le manomètre à air comprimé^ qui diffère du baromètre en ce que la branche AB au lieu d'être vide renferme de Tair.
Lorsque la pression dans la chaudière est d'une atmosphère, le niveau CD du mercure est le même dans les deux branches du manomètre; mais à mesure que la pression augmente, le niveau du mercure baisse dans la branche EF, et s'élève dans celle AB de manière à com- I primer Tair contenu dans la partie AD. Supposons que . J le niveau D se soit élevé de la quantité h et soit venu ^ en D', et que celui C soit descendu de la même quantité
h pour venir en C, ce qui suppose que les deux branches du manomètre ont même diamètre, et évaluons la pression dans la chaudière. Cette pression est égale à la pression de Tair AD' augmentée de la différence %h du niveau du mercure dans les deux branches. Or désignant par H la hauteur AD occupée par Fair sous la pression atmosphérique 0",76, la hauteur qu'il occupe étant devenue AD' = H — /i, sa pression est, d'après la loi de Mariette, qui consiste en ce que les pressions d'une même quantité de gaz sont en raison inverse des volumesy
La pression dans la chaudière est donc, en hauteur de mercure,
Nous avons, comme on le fait généralement dans la pratique, négligé l'effet de l'augmentation de température du manomètre. i 709. Pression d'un liquide pesant homogène sur un plan. Nous avons déjà vu que la pression due au poids du liquide en un point quelconque est proportionnelle à la profondeur de ce point audessous du niveau du liquide (1702). Par conséquent, un plan horizontal étant en contact avec le fluide, la pression est la même sur chacun de ses points, et sur tout le plan elle est mesurée par le poids d'une colonne de fluide ayant pour base la surface A du plan, et pour
