ÉQUILIBRE I>£S CORPS PLONGÉS ET FLOTTANTS

bfsriba (!^69) ; puis (1 566)

g^G:Gg = rectangle ablc : triangle cld ou g'G : g'g = àblc : abie^

Quand l'arête a de la paroi rectangulam pressée est placée au point e dans la surfkce <hi iuide, la pression totale sur ab est représentée par le poids 4n volame triangulaire dé, et le centre de pression se trouve

au point g^ donnant bg' = ^ ba.

ÉQUIUBIIE DES GOBPS PLONGÉS ET FLOTTANTS.

1742. lorsqu'un corps est plongé en totalité ou en partie dans im fluide pesaniy en repoSy les pressùms que celad-d exerce ^normalement à la surface du corps ont une rés%UtogUe unique égale et directement opposée au poids du fluide déplacé. En efUi, comiaAe rien ne seraU changé aux pressions si le corps plongé était remplacé par le fluide quMl déplace, et qu'il est évident que ce fluide ne peut être en équilibre qu'autant ^e les dî^erses pressions qui le sollicitent «nt pour résultante une £Ôrce égaie et directement opposée à son poids, cette résultante étant verticale, il en résulte que tout corps plongé en totalité ou. en partie dans un Jimàe en équilibre perd de son poids le poids du fluide déplacé. Ainsi un corps suspendu à un fil exerce, dans le vide, sur ce fil, une traction égale à son poids; aiais si on rabaisse de ma* nière qu'il vienne plonger dans un liquide, il perd de son poids une partioB égale au poids du liquide déplacé, et U te&sion du fil dioiinue de la mênie quantité. Si le poids du corps est moins grand que celui d'ua ég^ volume du liquide, il s'enfonce jusqu'à ce que le poids du liquide dépUïbé soit égal nxk sien, puis il reste flottant, et la tension du fil qui le stt^^endait devient nulle. Si le corps est plus dense que le fluide, il s'immerge complètement, et la tension du fil est égale k l'excès do poids du corps sur celui de l'^l volume de liqiûde. Supposant le fluide bemogèae en tous ses points, la perte de poids d'un coi^s entièrcmeni submergé est la même, quelle que soit la profondeur à laquelle il se trouve daas le liquide; aiosi la tension du fil qui le suspend reste constante, et si l'on coupe le fil, le corps se précipite au fond du vase cofilenant le liquide, et s'y repose en exerçant une pression verticale égale à la tension du fil, c'est-à-dire égale à la difiërence entre son peidfl et celui du liquide déplacé.

Ce qui vient d'être dit s'applique à un fluide pesant quelconque; ainsi un «avpa pesé dans l'air accuse un poids trop faible d'une quantité égale au peids de l'air déplacé par le corps, moins relui de l'air déplacé par

les poids qui sont dans l'autre plateau de la balance. Cette perte est négligeable dans la pratique.

1713. De ce qui précède, il résulte qu'un corps libre entièrement plongé dans un fluide n'est en équilibre qu'autant : 1* que son poids est égal à celui d'un égal volume du fluide; 2" que le centre de gravité du corps et celui de son volume sont situés sur une même verticale. L'équilibre est stable si le premier centre de gravité est au-dessous du second ; il est instable dans le cas contraire.

Pour l'équilibre d'un corps flottant, il faut : 1* que son poids soit égal k celui du liquide déplacé; 2" que le centre de gravité du corps et celui du volume de la portion immergée soient situées sur une même verticale. L'équilibre est encore stable si le premier centre de gravité est au-dessous du second; mais cette condition, toujours suffisante, n'est pas nécessaire.

1714. C'est parce qu'un corps plongé dans un fluide perd de son poids exactement celui du fluide déplacé, qu'un corps moins dense que le fluide dans lequel il est plongé s'élève ; un morceau de liège tenu sous l'eau devenant libre, il vient k la surface ; un aérostat s'élève dans l'air jusqu'k ce que son poids soit égal k celui de l'air qu'il déplace; c'est aussi ce qui fait qu'un corps plus dense que le fluide descend au fond quand on l'abandonne k lui-même.

ÉCOULEMENT PERMANENT d'UN FLUmE A PRESSION CONSTANTE, SORTANT d'un VASE PAR UN PETIT ORIFICE.

1718. Le mouvement d'un fluide est dit permanent (le régime est permanent), lorsque les hauteurs des niveaux ou mieux les pressions, les aires des sections transversales et les vitesses du fluide en chacun des points de ces sections sont constantes.

De la nature propre des fluides, les molécules étant contiguës les unes aux autres sans interruption, ce qu'on exprime en disant qu'il y a continuité du fluide, il résulte que pour les liquides, que l'on peut considérer comme étant incompressibles, il passe dans chaque section le même volume de fluide k chaque instant quand le régime est permanent.

Pour les gaz, la permanence du mouvement exige bien, comme pour les liquides, que le même poids de fluide passe dans chaque tranche dans le môme temps ; mais les pressions étant variables d'une section k une autre, il en résulte que les volumes écoulés sont variables pour chaque tranche.

1716. Hypothèse du parallélisme des tranches. Afin de pouvoir analyser les phénomènes de l'écoulement des fluides, on a été obligé de supposer le parallélisme des tranches, c'est-k-dire d'admettre que tout le volume fluide est composé de tranches très-minces, normales k la direction du mouvement du fluide, se mouvant en restant constamment parallèles k elles-mêmes, conservant toujours le même volume et ne

ÉCOULEMENT PERMANENT d'UN FLUIDE, ETC.

faisant que s'élargir ou se rétrécir, suivant que le vase dans lequel elles se meuvent s'élargit ou se rétrécit. La vitesse du fluide est la même en tous les points de chaque section.

On conçoit que ces hypothèses ne sont k peu près réalisées que dans le cas où le fluide se meut dans des vases, des canaux ou des tuyaux de conduite dont la forme continue et régulière ne varie que par degrés insensibles.

1717. Théorie de V écoulement 'permanent d'un liqmde conservant un niveau constant dans le vase qui le contient.

Supposons que les parois du vase sont continues et tellement raccordées avec Forifice d'écoulement, que l'on puisse, si cela était entièrement possible, considérer le parallélisme des tranches comme réalisé; ainsi l'on peut supposer que les vitesses sont égales et parallèles entre elles en tous les points de l'orifice d'écoulement, ainsi qu'en tous ceux de chacune des autres sections normales à la direction du mouvement du fluide.

Représentons par :

Fig. 551. s la surface de la tranche supérieure AB du liquide;

y la vitesse avec laquelle tous les filets traversent cette

tranche; s l'aire de l'orifice d'écoulement ab ; V la vitesse des filets fluides à cet orifice ; w le poids du mètre cube de liquide; h la difi'érence de niveau de la section ÂB et du centre

de gravité de l'orifice ab; P la pression par mètre carré sur la section AB; p la pression par mètre carré sur la face extérieure du plan ab;

Ô le temps très-court que met chaque tranche pour quitter sa position et prendre celle de la tranche équivalente consécutive; m la masse de chaque tranche, et q son poids ; t'o la vitesse initiale (qui peut être la même ou différente pour les divers points du fluide) des différents éléments matériels fluides au commencement du temps 6; t>i la vitesse des divers points matériels fluides après le temps 6.

Appliquant au système matériel considéré l'équation de l'effet du travail, abstraction faite des frottements, on a (1614)

S 5 mt?,* — S 5 mV = PSVO— jwrO + gA; S - m»|* somme des puissances vives que possèdent les divers éléments

du fluide a la fin du temps 0;

S - mV somme des puissances vives au commencement de ce temps;

PS pression totale sur la surface AB;

V6 espace parcouru par la pression PS pendant le temps 6;

758 BEmÈMB parub. — utcàmvi^.

PSV0 travaH produit par PS pendant le temps 6*;

jwtp8 travail négatif produit par la pression ps sur Forrftce ab pendant le temps 6 ;

qh est le travail produit par Factioû é« la pesanteur sur tout le

liquide; car le fluide étant partout homogène, le travaif dft à Taetion de la pesanteur swp tout le liquide se réduit k celui qu'elle aurait produit en agissant seulement sur ïa tranche ABÂ'B', pendant qve cette tranche passe dans la position aba'b\ Remarquent qu'on a

SYe^nft = â,

puisque ces trois expressloas représentent ehacu.:o le volume d'eau écoulé pendant le temps 0, Téquati/ïii de Tefièt du travail peut être mise sous la forme

De la permanence du régime, il résulte que Taccroissement de puissance vive du système est égal à la puissance vive de la masse - comprise à la fin du temps 0 dans la tranche aba'h\ moins celle d'une masse équivalente contenue au commencement de 0 dans la tranche ABA'li'; ainsi

Égalant les deux seconds membres des équatîons (1) et (2), il vient, en supprimant le facteur g,

Equation homogène; car - = ^^ et ^ = h\ sont les hauteurs de deux

colonnes du liquide dont îl s^agit, au^xqnelles seraient dues les pressions P et j) par mètre de surface.

Multipliant les deux membres de Téquation précéctente par î^r, elle devient

t;«-V»=2ç/A + ML=£). ,-3)

On a vs ^ VS ou tV = V«S«, d'où V* =^ t?' ^, •

Substituant cette valeur de V dAus Téq^uation (3), on a

ÉCOULBHDIt PKiniA{«£«r d'iTN FLOIOK, ETC. 7W

d*oà l'on tire

OU, en remplaçant ~ par h^ et - par A'^,

Supposant, comme cel& arrive ordinairement dans la pratique, que^ est très-petit par rapport à S, on peut négliger gj, et la vitesse d'écor*lement du fluide devient

^=^%gh^!^^^= sl^g{h + %,^h\)

Lorsqu'il s'agit de Técoulement d'un liquide placé dans un vase ouvert, les pressions P et p, ou les hauteurs h^ et h\ qui les représentent, ne sont autre chose que les pressioner-atiiTOsphériques sur la surface du liquide et sur la paroi de Torifice d'écoulement, et comme on peut les supposer égales, la vitesse d'écoulement est alors

V = ^Jïgh, {a)

Ce qui fait voir que la vitesse d^ écoulement dujluide est égale à celle que prendrait im corps en tombcnd ée la hauteur h dans te vid& (f446).

La hauteur A, qui mesure la charge du fluide sur le centre de gravité de Forifice d'écoulement, est appelée pour cette raison hauteur génératrice, et de hi formule précédente on tire

Cette formule, due à Torricelli, disciple de Galilée, se vérifie sensiblement dans la pratique par l'observation des jets d'eau< vevtieatix ou horizontaux, pour tous les petits orifices et les grandes charges par rapport aux dimensions de ces oriikes.

Dans le cas où Vorifice cPécouïement est noyé, la pression p est égale à la pression atmosphérique plus la pression du liquide sur la face exfiêrreure de Forifice. La pression athiosphérîque étant détruite par la même pression qui" agit sur la surface du ïîquide dans le vase, il en résulte que P— p se réduit k — p' et h^ ^H\k— h'; ainsi l'on a

760 SEPTIÈME PARTIE. — HiCANiaCB.

h' étant la hauteur du niveau du liquide au*des6us de la face extérieure de Torifice d'écoulement.

La vitesse d'écoulement est alors

V = y/%gh - 2gh' = s/^g{h — h'). (c)

Ce qui fait voir que la vitesse est égale à celle qui résulterait d^une charge sur Vorifice égale à la différence h — h! des niveaux.

Les formules précédentes font voir que la vitesse d*écoulement est indépendante de la nature du liquide, et qu'elle dépend uniquement de la hauteur A ou A —■ A'.

Applications :

V Un liquide s'écoule dun réservoir par un orifice dont le centre de gravité est à 4 ",50 au-dessous du niveau du liquide dans le réservoir; quelle est la vitesse d écoulement?

Remplaçant les lettres par leurs valeurs dans la formule (a), on a

2* Quelle est la hauteur génératrice de la vitesse d'écoulement 5", 42? Pour cette vitesse, la formule (6) donne

3* Les hauteurs des niveaux d'un liquide sur le centre de gravité d'un orifice noyé sur les deux faces sont 2" et 0",50; quelle est la vitesse dVcoulement?

Avec ces données, la formule (c) donne

Nous donnons dans la partie pratique de notre Aide-Mémoire une table complète des hauteurs génératrices des vitesses les plus usitées.

1718. Fluides élastiques. La formule (4) du numéro précédent s'applique aux fluides élastiques comme aux liquides. Pour les fluides élas-

p tiques la hauteur h étant généralement négligeable près de — = A|

et de — = h\ , on peut écrire

Ainsi^ la vitesse découlement d'un gaz est encore égale à celle que prendrait un corps tombant dans le vide d'une hauteur (hj — h',) = H', qui mesure^ en gaz qui s'écoule^ la différence des pressions sur les deux faces de Vorifice.

La pression d'un gaz ou d'une vapeur se mesurant k l'aide du manomètre, P — p se trouve évalué par une hauteur H| d'eau ou de mercure.

£C0UL£1IENT PERMANENT D*UN FLUIDE, ETC. 76i

Il faut alors transformer H^ en une hauteur H' de gaz qui s*écoule, qui produirait la même pression , en multipliant H| par le rapport de la densité du liquide du manomètre k la densité «j du gaz qui s*écoule ; ainsi la hauteur H' sera, si H| est exprimée en mercure (1705),

Le gaz ou la vapeur se dégageant dans Tatmosphère, comme le manomètre indique l'excès P — p des pressions sur les deux faces de l'orifice, il en résulte qu'on a H' = (A| — h\) et que la vitesse d'écoulement est

v=s/2^=y^gE^

Application. De Tair se dégage d'un récipient où il est à la pression de trois atmosphères, par un orifice qui communique à l'air libre; quelle est la vitesse d'écoulement?

On a

La densité de l'air à 0* et sous la pression atmosphérique étant lé ==rr

de celle de l'eau, le poids du mètre cube d'air est ==jr x 1000 = i',3 ; et sous la pression de trois atmosphères, on a

La hauteur génératrice H' est alors

et la vitesse d'écoulement,

4719. Vitesse réelle d'écoulement d'un fluide. Les vitesses précédentes d'écoulement d'un fluide sont appelées vitesses théoriques. Dans la pratique, on conçoit que le frottement du liquide contre les parois du vase et de l'orifice, et la résistance de l'air diminuent ces vitesses.

Lorsque V écoulement a lieu en mince paroi, c'est-à-dire quand l'épaisseur de la paroi dans laquelle est pratiqué l'orifice d'écoulement est moindre que la plus petite dimension de l'orifice, et au maximum de 0",05 a 0*,06, la vitesse réelle \' avec laquelle le liquide s'écoule, lorsque la vitesse est à peu près nulle dans le vase, est égale à la vitesse théorique diminuée de un a deux centièmes ; ainsi, en moyenne, on a

t?' = 0,985» = 0,985 )/%gK*

Quand Yécoulement a lieu à gueule^bée, c'est-à-dire lorsque les filets

762 SirriÂBK VAIHIE. — MiCiUfiQllfi.

fiiddes se rapprackeirt des yflWM de ranfice, ee fiiî a Meu quid Té- ^îsseor é» 1& para est égaie «u aMii» k nae Ma et dénie M^ piaie petite dÂaieneien, eu que eet orifke eet proi^a^é é'mk ajutage éeat la longueur estëgaie; àtiois ou qnaftire foie la plus peëte dîmensîiQii de IV rifice^ on a dans les cas ordinaires d'écoulement de Feau

v' = 0,891? = 0,82 ^%gh'

Pour FëtabKseemeBtdes' jets d'eau à Taide de courte ajat^*es;légBiement convergent!» on peut supposer e' = d,97v,

f TM. Contraction ée ta veirte. Lorsqu'un fluide fr^écoule par wê orifice, on remarque que la section de la veine fluide va en diniraait jusqu'à une certaine (Selance de Torifice. Cet effet de diminution prend le nom de contractioji de la veine. C'est su point où la contraction est la plus grande que les formules des numéros précédents donnent la vitesse d'écoulement. La vftesse est évidemment moindre en ton» les autres points de la veine fluide.

1721. Contraction complète ou incomplète de firreme. La contracfioi étant principalement duc à ce que les divers filets fluides n'aniveot pas parallèlement entre eux perpendicuftiireraent à la section de l'orifice d'écoulement» on conçoit que la contraction sera d'autant plus la^le que l'orifice se raccordera mieux d'une manière continue avec les parois du vase.

On dit que la contraction est complète, lorsqu'elle s'opère entièrement sur tout le contour de l'orifice; ce qui a Reu quand cet oriïfce est Soigné du fond et des parois du vase d'eau moins une fois et demieà deox fois sa plus petite dimension.

La contraction est dite incomplète, lerefu'elfe est oupprimée sv ub, deux ou trois côtés de l'orifice, c'est-à-dire quand un, deux ou trois des côtés de l'orifice font prolongement aux papoie du vase.

1722. Dépense théorique par un orifice d'écoulement. En négligeant la diminution de la vitesse d'écoulement, et en supyoeairtmiMela eoatraction de la veine, il est évident que la dépense, c'est-à-dire le volume ff de fluide qui s'écoulerwt par seeoitde-, serait (1747)

# étant la section de l'orifiBe et. ti la viisese théeriq/ue.

1725. Défend qfisctif».. Il est évident qa'à cauee de» diminslîeM 4e ht viiBflae et de la section ée 1» veine fluiée^ la dépense effectiffft, c'estèHKre le volume Q de fluide écaulé par aeconde, est moindra fK U éépenae théerique ÛV et que foma

û = &û' = Aw» = &« )/i^h ,

k étant un nombre phis petft que Flinîté.

Ce nombre Ar, qu'on appelle coefficient de la dépense y est le rapport de la dépense effective à la dépense théorique sv\ il varie suiTant la fâme et les dlmenÂons de l'orifice, et les valenra de la charge k sur

COURS »'BâD ET TVYACX HB CONDIUU. OCS EAUX. 761

l^oriAcc. ¥9wr ées orifioes ciiteulaires de <r,ea à û^,OS^ dedÎMDèive^-im te iMpiMle ttStamt de tontes ]^n», «n a Iroufé qiift TuveA» k leGlîaii contractée n'était que les 0,64 de celle de Torifice. Pour left vumes d'^ f^msy dosi le seuil est en géfléral très-npjpraefaé éa fond du tadîer d^BBonl, le coefficienA è de la dépende est moycnBemeat ^68i\ que la imamt sait ou ne soit pis noyée su? les daax £m6s.

JRoas- renfvjons à la partie pratûpie de^ notra AO^Mémêwé pour lâs vafteors de Ir à enpioyer daas tes diffécents cas cte la pvatif ue.

Application. Quel est le volume d'eau éemàé ea â&' par im oeHtee de QF^ftWi de seetten, labaatenr constaate da aivaatt de ïeâÊi aiii-dessus àm centre de gravité de ToriAee étant 1",S<^ «& te «aefficieat de la dé* peDse«,«4?

lUmplaçaKt tes tettres par leurs valeurs daasla fomute pFéaédeate, la dépense par seconde est

Q = 0^64 X 0^005 \^Slx9,Slxl^ = Û-%0173A4. Le volume écoulé en 25' est alors

COURS d'eau, et tuyaux de conduite des eaux.

1724. Cours d'eau à section constante et à pente uniforme. Lorsque le régime des eaux est établi, c'est-à-dire quand le mouvement de Feau est uniforme, on a

Û = S», d'où » = §.

Q dépense ou volume d'eau écoulé par seconde; S section transversale du cours d'eau ;

V vitesse moyenne d'écoulement de Feau.

On a aussi, d'après de Prony,

I = |(aîî+6r«).

I pente par mètre; elte est égale à la différence de niveau de deux points de la surface de l'eau, divisée par la distance de ces deux points mesurée suivant l'axe du cours d'eau ;

S section transversale du cours d*eau ;

V vitesse moyenne du cours d'eau ;

P périmètre mouillé; c'est le contour de la section S, diminué de

la largeur du canal à la surface de Teau ; a = 0,000 0444 coefficient constant; b = 0,000 309 id.

Ite Fvonrfv qui a le premier donné la formule précédente, a déterminé les valeurs de a et 6, en discutant les résultais de trente et une

764 SEPTIÈME PARTIE. — MéCANIQDE.

expériences faites par Dubuat, sur des canaux factices et des rivières dont la section a varié de 0*^,011 k 29**,00, et la vitesse moyenne de 0%12 à 0-,88.

Eytelwein, en suivant la même marche que de Prony, mais en ajoutant aux résultats de Dubuat ceux obtenus depuis par MM. Brûnings, Woltmann et Funke, pour des canaux et des rivières dont la section fluide a varié de 0"',014 à 8604-',00, et la vitesse de 0*,124 à 2*,42, a conclu de 91 résultats» qu*on devait faire dans la formule de Prony a = 0,000 084 et 6 = 0,000 365.

La formule de Prony, modifiée par les nouvelles valeurs de a et 6 d'Eytelwein, convient mieux au cas des grandes rivières; mais elle ne 8*applique pas également bien aux 9i expériences discutées par Eytelwein. Les résultats de Dubuat, notamment, sont beaucoup mieui représentés par la formule de Prony.

On appelle rayon moyen^ le quotient de la section transversale S d*an cours d'eau parle périmètre mouillé P; ainsi, en le représentant par R, on a

et la formule de Prony donne, en remplaçant a et 6 par leurs valeurs,

RI = 0,000 0444t; + 0,000 309i7%

d'où l'on tire (526)

V = v^0,005163 + 3233,428Rl — <>»0'7i «5, ou à peu près

De ces formules on tirera la valeur de t?, connaissant 1 et Q, ou celle de la pente I pour obtenir une vitesse » = ^.

Voir la partie pratique de notre Aide-mémoire pour les valeurs de RI correspondant aux diverses valeurs de v, d'après les coefficients a et 6 de Prony et d'Eytelwein.

i72S. Relations entre la vitesse moyenne^ la vitesse maxima à la sttrface^ et la vitesse au fond d'un cours deau. Des expériences de Dubuat, de Prony a conclu la formule-

V vitesse moyenne (1724);

V vitesse à la surface, prise au point où se trouve le fil de Feau, c'est-

à-dire au point où elle est la plus grande ; cette vitesse maxima correspond généralement à la plus grande profondeur de Teau. Dans la pratique, pour des vitesses à la surface comprise entre 0",20 et 1",50, on peut supposer

COURS d'eau et tuyaux de conduite des eaux. 765

t?=|v = 0,8V, ou V=i,25r.

La formule (a) donne pour v des valeurs trop grandes lorsqu'il s'agit de grands cours d'eau; ainsi des expériences directes faites sur la Seine ont donné o=0,62y, et d'autres faites par M. Raucourtsur la Newa ont fourni v = 0,75V.

Dubuat a conclu de ses expériences qu'on avait, en représentant par U la vitesse au fond d'un canal ,

d'où l'on tire, en faisant y = l,2&v,

U = 0,75©, ou t> = i,33U.

1 726. Tkiyaitx de conduite des eaux.

Outre la formule relative à l'établissement des canaux à ciel découvert (1724), de Prony a encore donné une formule analogue pour le ca» d'une conduite cylindrique régulière dans laquelle le régime des eaux est établi ; cette formule est

H = ot? + 6t?* = 0,000 0i73r + 0,00034g

de laquelle on tire (526) /V '>^ =î ^ ,

j jrj .(uinIVjt.^isity^;

v= y 0.0062 + 2871,44 --N^^. .^ j >J. ^^^W ou à peu près

V vitesse moyenne de régime;

D diamètre intérieur de la conduite;

J pente par mètre, ou différence de niveau de l'eau aux deux extré-

mités de la conduite divisée par la longueur totale de la conduite ; a coefScient égal k 0,000 0173 d'après de Prony, et à 0,000 0224 d'après

Eytelwein ; b coefficient égal à 0,000 348 d'après de Prony, et à 0,000280 d'après

Eytelwein.

Ayant v, on a la dépense

S = ^ section de la conduite (728).

jâpplication. Quelle est la dépense par seconde d'une conduite de 0",25 de diamètre, de 1500 mètres de longueur et de 9 mètres de charge totale?

766 SEPTIÈME FARTS. — WEÉCMStVSE.

On a d'abord

'=ïlô = •■'«««'

puis

»=»,wy/

0,A5XM06 ^^^^^

Afin d'abréger les calculs relatifs à la conduite des eaux, de Prony a donné un tableau des valeurs de -j- correspondant aux diverses valeurs de V. (Voir, pour ce tableau, la partie pratique de notre AtàMnémoire^ où nous donnons aussi une taÛe très-ét«ndue des vileases «Ules déf^enses corresyoBilBiit aux, 4iiverses chargea usitées, trèB-cominode pour réiaUisMoaeiii des tujf^wL 4e cûikkiiXe dfis eaïuu

HUITIÈME PARTIE

NOTIONS UE CiXCUL INFINI ïi&i MAL.

CAMvi. »m

NOTMIKS JPRELIlUNiUaES.

1727: VwritMe, Com%ant4e. FbneHon. Fonetwm expèkite, FonetUm rmjÀicite. On appe&e veeriaMe^ une ^antité qui prend sucoeesirement différentes vftiears, et constante ceHe qui conserre laméiHe valenr dans ' tout le cours d'n9 même calcal. La tiatore de la qoee^tkm dent on s^oecvpe indique quelles sont les variables et les constanles.

Connaissant la loi mathématique saivant laquelle varie une quantité, on peut foire passer cette qoantîtê par ses divers états de grandeur, et par snite en déduire ses valeurs particulières. Soit Téquation

2/=^az, (1)

d"une droite passant par rorigine des axes supposés rectangulaires (il60]. On voit de suite que y et x sont des variables, et que a est une constante. On peut faire varier xde — »> à +^, et y varie de la même manière de — =» à + :>♦., et dojuvant à x une valeur déterminée, réquation précédente fournit la valeur correspondante de y. Donnant de même a y une valeur déterminée, Téquatron précédente fournit la valeur correspondante de x.

Soit encore Téquation

d'une circonférence dont le centre est Foriglne des axes supposés rectangulaires. On voit encore de suite que y et x sont des variables et r une constante. On peut donner a x toutes les valeurs depuis — r jusqu'k +r(495). Poura;=0 on ay=±r, et pour x=dbr on ay = 0; ïinsî y varie aussi de — r a + r.

D'une équation entre deux variables y et x, telles que les précédentes (1) et (2), en donnant à Tune quelconque de ces variables une valeur, on peut déduire une valeur correspondante pour Tautre; c'est ce qu'on exprime en disant que cbaeune des variables est fonction de

Tautre. Cependant, si Téquation est résolue par rapport à y par exemple, équation (3), on donne plus particulièrement le nom de fonction k y, et celui de variable indépendante k la variable x, à laquelle on donne des valeurs arbitraires.

En général, lorsqu*une relation algébrique contient un nombre quelconque de variables x, y, 2, résolvant Féquatîon par rapport à Tune de ces variables, x par exemple, on obtient une expression algébrique qu'on peut représenter par

que Ton énonce x égale fonction de y, x, et qui signifie que x est égale à une expression algébrique contenant y et z. On dit que x est la fonction et y, z les variables, ou que x est fonction de y et de z.

Appelant Y le volume d'un parallélipipède rectangle et x, y, z ses dimensions, on a (903)

\ = xyz ou y^f[x,y,z)\

le volume du parallélipipède est fonction de ses trois dimensions x, y, z.

Lorsqu'une équation entre plusieurs variables est résolue par rap- • port k Tune de ces variables, cette variable prend le nom de fonction explicite; si l'équation n'est pas résolue, chaque variable est une /cmction implicite des autres, y est une fonction explicite de x dans l'équation (3), et une fonction implicite de x dans l'équation (St). Par la résolution de l'équation, la fonction implicite devient une fonction explicite.

1728. Représentation graphique des fonctions. Quelle que soit la nature des quantités variables qui entrent dans une expression algébrique, on peut toujours, lorsque cette expression ne contient que deux variables, construire une courbe dont les coordonnées représentent ces deux variables k une échelle donnée (1156).

r' exemple. Soit l'équation

dans laquelle y et x sont des variables et a, h des constantes. Nous avons déjà vu (1160) que cette équation est celle d'une ligne droite AB dont h est l'ordonnée OC à l'origine et a le coefficient angulaire. Pourx=0, on a y= 6, et prenant OC =6; le point C appartient k la droite; faisant x=OP et prenant y = 0X4- ft, le point M appartient aussi k la droite, qui est alors CM prolongée indéfiniment. Il convient d'attacher un sens plus général à la représentation graphique de l'équation du premier degré entre deux variables :

2* exemple. S étant l'aire d'un rectangle dont 6 et A sont les deux dimensions, on a (690)

S = ôA.

CALCUL DIFFÉREN'FIEL. NOTIONS PR^^^MlNAIHES, 769

Supposant la base b constante et la hauteur h variable, cette équation sera celle d'une ligne droite passant par Torigine. Prenant une abscisse égale à une valeur de hy et élevant une ordonnée égale à bh^ on aura un second point de la droite, qu'on pourra alors tracer. Une ordonnée quelconque de cette droite représentera Taire S du rectangle qui a Tabscisse correspondante pour hauteur, c'est-k-dire que Taire S contiendra autant de fois Tunité de surface que cette ordonnée contiendra de fois Tunité de longueur.

3* exemple. Soit Téquation

y = ox*.

y et X étant des variables et a une constante, cette équation est celle d'une parabole (1240), que Ton construira par points en donnant à x différentes valeurs et en calculant les valeurs correspondantes de y. Remarquant que cette équation revient à celle y'=2jîx, en changeant

X en y et y en x, et en faisant le paramètre 2p=-, on pourra encore

construire la courbe par le procédé du n* 1249. A Téquation précédente se rattachent celles bien connues

E = Ji^», et h = pt\ (4437,1446]

4* exemple, La fonction

y — ax^y

dans laquelle a est une constante, est Téquation d'une courbe parabolique du 3* degré, que Ton peut construire par points en donnant successivement à X diff^érentes valeurs, et en tirant de Téquation les valeurs correspondantes de y.

On construirait de même la courbe représentant la fonction

qui exprime le volume de la sphère (947). Une ordonnée quelconque de la courbe exprimerait le volume de la sphère qui aurait l'abscisse correspondante R pour rayon, c'est-à-dire que la sphère contiendrait autant d'unités de volume que cette ordonnée contiendrait d'unités de longueur.

Les fonctions

y=x'— ox'+èx— c, et y = x*-f-ax* + x'— 6x'— ex— fi,

qui contiennent la variable indépendante a différentes puissances, sont également représentées par des courbes que Ton construirait par points comme les précédentes ; c'est ce qui a été fait au n* 534. 5* exemple. Une quantité variable peut être fonction de plusieurs au-

770 HUITrtn rMLTIS. -* HOTIOIIS BK CàLCVl. INVIKITÉSIMAL.

trts varîaUas, tdfe est» a élmt seule coodtaBle,

Une telle foiuitioa pettt ète repréaestée gnifhiff ueimBl dès^ %ue Ton CMmail les variatioBs de y el de 2: cMrespoïkdaftl à la vam&ÎAa de x, c'est^-dûre les valeurs de y «1 de z cojrrespûodaat à une vakiàr ^aelcenque de x. Si Von peut poser, par e&^iple^

on a

et les valeurs de V sont représentées par les ordonnées d'une droite passait pttf Foriguie^ et domt les «discisses MBtles vakurs de s'. On pourrait poser aussi

xyz = x'*, d*où V= asf^.

Alors les valeurs de V seraient représentées par les ordonnées d'une parabole dorrt les valeurs de ar' seraient les absetsses. Si Ton avait

selon qu'on poserait

zs* = x\ ou xs*= a:'-, on aurait

y=ax\ ou y = ax'y

c'est-à-dire, comme ci-dessus, l'équation d'une droite ou d'une parabole.

De ces divers exempies, on peut conclure que la valeur d'une fonction quelconque peut toujours être représentée parles aréonuées d'une courbe, dont les abschwes sont les valeurs dp la variabte indépendants* ou même les valeurs d'une fonction de plusieurs vai-iabies- ftédpraquement, on peut admettre aussi qu'une eowbe queloooqi» rapportée il deux axes représente la loi de variation sinmltanéc de deux variables a: et y.

1729. Variation des fonctions. Fonction croissante ou décroissante.

!•' exemple. Soit l'équation du premier degré à deux variables, c'està-dire l'équation d'une djroifc

Fïg. 553.

Fig. S54.

Si la variable indépendante ir = OP augmente d*nne quantité PP' = a, la fonction y = MP deviendra y'=M'P', et l'on aura

iy' = rt(x + «) + *; ^

d'où, en retranchant (1) de (:2i,

y' — y = aa ou M'Q = axPP'.

CALCUL IMFPÉaENTlfiL. HOTIOKS PKÉUMitf^ig^g^. 77t

Divisant les deui membres de cette égalité par a, on a ^hr^=« ou p^ = a.

Ce qui montre que le rapport de Faccroissement y' — y de la fonction f^k eelui a de la variable r, est indépendant de Taccf oissemént <x = PP' «Hrikaé à x, aussi bien que de raceroissement eorrespondant tpai en e9i lésnlté pour y.

2* exemple. Soit la fonction

y = ox*. (17^8, 3« exeniiiie*,

X devenant x + «, et désignant par y' la nouvelle valeur de la fonction, on a

y' = a{x + a)* = a»' + 2aflcc + aaK

L'accroissement de la fonction est alors

y' -^y^ gaax + a«% d'où ^ "~^ = 2ax + ««.

Le rapport ^ "~^ n'est pas, comme dans rezenuple précédent, indépendant de a; mais comme à mesure que <x diminue le terme an devient de plus en plus petit. Ton cen<^oit que « peut décrvîtve assez pour qu'on puisse négliger aa par rapport à Sax, et poser à la limite

t^zv^

%ax.

Ainsi le rapport % ^ a une limite toc parfaitement déterminée. IL

sera établi que cette propriété est générale pour toute relation algébrique entre deux variables.

Une fonction y =/(x) est croissante ou décroissante, suivant que y augmente ou diminue quand x augmente. Ainsi la Jig. âë3 représente une fonction croissante, et celle 554 une fonction décroissante. Une même fonction peut être alternativement croissante et décroissante.

1750. Quantité différentielle. Coefficient différentiel. Dérivée. Objet du calcul différentiel.

Lorsque l'accroissement a de l'abscisse ou variable x est petit, on le désigne par Ax, que l'on énonce delta z, et que l'on peut considérer comme une fonction de x; de même un petit accroissement y —y se désigne par Ay. D'après ces notations, on a

Lorsque Ay et Ax décroissent et deviennent aussi petits que l'on veut, sans cependant devenir nuls, on les représente à la limite par dy et dx.

Dans le 2* exemple du numéro précédent, on a ainsi pour la limite du rapport des accroissements de y et de x,

^- = 2ax, d'où dy = %ax di.

Ce qui montre que Taccroissement infiniment petit dy de la fonction ou ordonnée y a pour expression algébrique le produit de Taccroissement infiniment petit dx de la variable ou abscisse x par le coefficient variable 2ajr.

Les quantités dy et dx considérées comme dos infiniment petits sont appflées les différentielles de y et de x. Le coefficient 2ax, par lequel il faut multiplier la différentielle dx pour avoir la différentielle dy, prend

le nom de coefficient différentiel. Le rapport -p est appelé la dérivée de

y par rapport à x ou la dérivée de la fonction y par rapport à la variable x; il est égal au coefficient différentiel. Dans l'exemple précédent, le rapport inverse

dx 1 dy "" 2ax

est la dérivée de x par rapport à y; x est alors la fonction et y la variable.

Ordinairement la dérivée -— se désigne par y' ou par /' (x) ; ainsi

Ton écrit

notations qui rappellent que la dérivée de la fonction y est prise par rapport a la variable x. Si Ton prenait la dérivée de x par rapport à y, on écrirait

il ne faut pas confondre la différence de deux quantités avec la différentielle d'une quantité. Ainsi, dans le dernier exemple, ayant la différence

y' — y — 2aax + a4x*,

tandis que la différentielle

dy = 2axdx,

on voit que la différence y' — y de deux quantités, telle petite quVUe

soit, est évaluable en nombre, tandis que la diflérentielle dy ne Test pas.

La différentielle d'une quantité ne peut être considérée que comme

une expression ou symbole algébrique résultant du calcul ; mais il n'en

est pas de môme du rapport -^ , qui a une valeur parfaitement déter^

minée, et que l'on peut évaluer en nombre.

CALCUL DIFFÉRENTIEL. NOTIONS PRÉI^/*/AU//l£5, 773

L'objet prÎTicipal du calcul différentiel est de déterminer ïa loi qui lie les accroissements d^une fonction à ceux de la variable dont elle dépend, c'est-k-dire la valeur du rapport -^- .

1751. Interprétation géométriqtte de la dérivée d'une fonction. Soît C

Fig.

une courbe quelconque, laquelle rapportée a deux axes coordonnés rectangulaires a pour équation

f{x) représentant Tensemble des calculs à effectuer pour construire la courbe par points, en donnant à x difiTérentes valeurs et en calculant les valeurs correspondantes de y. Considérons sur la courbe C deux points M, M' dont les coordonnées sont respectivement y, x et y', xf. On voit que pour passer de M en M' il faut augmenter Tordonnée y d*une quantité M'Q, qui est positive ou négative selon que la fonction est croissante {fig, 555) ou décroissante {^g. 556), et le rapport des accroissements simultanés de Tordonnée et de Tabcisse est

Menant la sécante MM', le rapport ^, ^ est la tangente trigonomé-

trique de Fangle « que forme MM' avec Taxe des a;, et si le point M' se rapproche progressivement de M, ce qui revient à faire décroître les accroissements des coordonnées du point M, la sécante MM' atteindra une position limite dans laquelle elle sera tangente à la courbe, et quicorrespondra à la limite

i du rapport V^^^,

Ainsi Ton arrive a cette conséquence importante : la limite du rapport des accroissements simultanés d^ une fonction y et de la variable x e^ égale à la tangente de V inclinaison sur Vaxe des x de la courbe C t/u représente la fonction^ ou autrement, cette limite est égale au coeffi^ dent d'inclinaison de la tangente à la courbe.

La détermination de cette limite de rapport résout le problème général des tangentes, qui est une application importante du calcul différentiel.

774 HUITlftHB PàRTlE. — ROnOllS IME CALCUL ffiFIHlTtoMAL.

BfFFÉIICVTmLLES ET DÉIUV^ES DES FCmCTIOIfS FONDAIICNTALES :

1752. Soit à déterminer la dérivée et la différerdielle de

1* Supposons d'abord que m est entier et positif. Donnant à x un accroissement Ax, il en résulte pour y un accroissement correspondant Ay, et réqnatioii (1) devient (518)

y + Ay= (x-f- Ax)" = X* + WMf»-» tkx + ^^7J" «*-'(Ax)« + .... («)

Betnachant (4) de (2), on a

Ay = maf^^tix + ^>^(^»— ^) x-^'fAx)» + ....

Bmsaiit Les étm\ membres de cette nouvelle équatioii p«r Ax, eOe

^y = ,„:,-. + fiii^ X— Ax + ....

Av Ge qui mMrtre (|iie la valeur du rapport -^ centieBi m tenne wa"» * «p

dépendant de feccroîssement Ax, mais que tous les autres ont Ax en facteur. Or comme Ax peut être aussi petit que Ton veut, et par suite aussi les termes qui le contiennenf comme facteur, on conçoit qu'à la limite, c'est-à-dire quand Ay et Ax sont de« quantités infiniment petites ou des différentielles, on peut négliger ces termes, et poser

lim^ ou -/-^vuf^'\ [Z]

ou encore f t736()

y'=^f(z)^maf^.

Ce qui montre que pour avoir la dérivée y' de la fonction'^ = x", il ^ufii de donner à la variable x pour coefficient l'exposant m de lafonction^ et pour exposant ce même exposant m dÀwmué d'ume unité. Ainsi pour

y = a*, on a ^my'=bx^,

et peur

y = x, on a y' = x* = 4. [5Û6J

De la relation (3) on tire

dy = nix*-"* dx.

Ce qui montre que la différentielle dy de la fonction y est égale à la

DIFFAMIIUBIiUS et DÉUirâH MS mUCTlONB MMU>AllSKr^l.ES. 775

riable x, i* C(M où Vexposant de x c^/ fractionaaire. Soit la fonction

dans laquelle p eiq sont des nombres entiers positifs. Élovant les deux membres à la puissance 9, on a (508)

d'où, en prenant la différentieiie de cliaque membre (i**),

^-*dy = pa^^dXy ot par suite

dy p xP-^ dx~"q y9->" Ayant

on a donc

«Jy __££^ y.

dx g X y«' ou, puisque y =af,

dy __ P y dx g x'

Remplaçant dans cette dernière égalité y par sa valeur x' , on a en définitive

Ainsi la règle du 4* ponr avoir la dérivée est encore applîtraMe H ce cas.

De réquatton précédente, on tire Téquation dîfîérentioîle, c'est-à-dire la relation algébrique entre les différentielles dy et dx,

Application, Pour y == yx = x* ,

on a

, dx

^ly = —F.

T Etepotant négatif. Soit la fMietîon

776 HOITIÈHK PARTIS. — 1C0T109S DE CALCUL IimiCITÉSniÂL.

dans laquelle m est un nombre entier. Cette relation revient à (506)

ou, en renversant les rapports,

Faisant croître x de ^, cette dernière relation donne

* =(x + Ax-. (3,

Retranchant (3) de (2;, on a successivement

= X* — (x H- Ax *,

Ay i — [(x4-A3:''»«-T«']

Ax y- + y^y "" û^x

Passant à la limite, y^y est négligeable, et il vient fi*,

dxy»

d'où

g=-y«7nx— «. (4

Comme la relation (ij donne y* = -75;, on a donc en définitive, en remplaçant dans Téquation (4) y* par cette valeur,

£ = 5- 7nx«^i = — mx*-^-«*» = — mx-^-K (5;

dx X*"» • ^

Ainsi la règle donnée au i'pour obteuir la dérivée est encore applicable quand Texposant de x est négatif.

La relation (5) montre que la dérivée est négative. Ce qui doit être, car d'après Téquation (i) à un accroissement Ax de la variable x répond une diminution, c'est-à-dire un accroissement négatif, de la fonction.

De réquation (o) on déduit la différentielle

dy ou dx-"» = — wx-*-'dx.

1735. Dérivée et différentielle de

y = logx. (1,

X croissant de Ax, y croît d'une quantité correspondante Ay, et Ton a y + Ay = log(x+Ax). (2,

DlFFéKENTlBLLBS ET DÉR1TÉB8 DES FONCTIONS FONDAMENTALES. 777

Retranchant (i) de (2), il vient

Ay = log (x + Ax) - loga: = log ^^^ =^ log (* + ~) » (3»3) d'où

"Ax" Ax ^^^

Posant

.X Ax i

Ax=— ou — = — , m X m

l'expression (3) devient

Ax X X ° \ m/ X

Passant à la limite dx de Ax, limite qui correspond à 7n = cy), on a, en représentant par e la valeur limite de fi H — j ,

dy log g dx X

Pour avoir la valeur de g, développant M H j d*après ta formule

du binôme de Newton, on a (518)

ou, en supprimant les facteurs communs dans chaque terme et en effectuant la division par m,

4 2 et si l'on fait m = oo, il vient, attendu que les termes —, —, ... sont ' ' ^ mm

nuls.

iâuin^iiB PMTis. - wrms m cjmxl tmimémM.

Les termes affectés de 71 ayant pour facteur commun -—^ — , ia