U+1 "*■ (a+l)(«+^ "^ (/i+li:/i+2){H+3) "^-J

La somme des fractions placées entre parenthèses étant plus petite que la somme des termes de la progresssion géométrique décn»issaate

"^ n + 1 • (n + 4j« • (Ti + lj»"* ' dont le premier terme et la raison sont — ^-j cette somme ayant pour limite -, hi somme des termes entre panenftèses de feipression ;4; est

plus petite que -. On peut donc calculer la valeur de e avec k degré d'approximation que Ton veut. On trouve

c = 2,7182818 et loge = 0,434 2945. Mi,

La dérivée de y = loga; est donc

Ë? — ^M — loge __ 0,4342945

dx "^ ^^^ - ir "^ — X — '

et la différentielle est

dy = loge-^. I73i. Dérivée et différeyiiielle de

y = sinz. I

Ëtt donnant à Tare x raccroissenaent Ax, la fonctioo y ou le siuus ^ prend Faccroissement correspondant Aj/, et la relation <4) devient

y-i-Ay = sin(a:-|-Aa;). i'

Retranchant (4) de (2J, on a

Ay = sin (x + Ax) — siax. l

Comme on a (4448)

sinp — sin (jT — 2 cos - (p + q) sin - [p — </j, i

posant

p = x4-Ax et g = x, d'où

p + (? = 2x + Ax, p-~ç = Ax, ou 5(p + g)=x+^, l|p-,) = ^^

ta Relation (4) appliquée à la différence {S) ioime

Divisant les deux membres par Ax, il vient

ou, en divisant par 2 les deux termes de la fraction formant le second membre,

•kc Ax

/Ax\ Ax Le rapport de sin I -^ j à — ayant pour limite l'unité (iH9), passant

a la limite on a donc pour la dérivée cherchée

dx •n simplement, en remarquant que -^ est négligeable,

3^ = COSX.

Par suite, on a la différentielle

d^ = cosxdx.

THÉOBàMfig SUR LA MFFÉRCHTIATIOK,

t73tt. La dérwèe et la HfféreiUielle d^une quofUiéi constante sont nulles.

Soient les fonctions

qui ne diffèrent que par la constante ou quantité invariable C. De la fonction (1) on déduit

y + Ay=F(x + Ax:, 4e ccUe (âj,

y + Ay = F [x 4- Ax) + C ,

et toutes les deux donnent pour raccrmssemont Ay -ée la Ibnction ta même valeur

7d0 HUITIÈME PARTIE* — NOTIONS DE CALCUL INFINITÉSIMAL.

Par suite, Fuue et Tautre donnent

Ay F(x + Aj)--F(x) Se Âx '

(Le Ax ^ '

Ainsi les dérivées des fonctions (1) et (2) sont les mêmes. Il en est dr* même de leurs différentielles; car on déduit de Tune et de Fautre

dy = F'(x)dx.

La constante G disparaît toujours dans la dififérentiation.

1736. La dérivée et la différentielle d'une somme de plusieurs fonctions sont respectivement la somme des dérivées et des différenikHes de ces fonctions.

Soit la somme

dans laquelle F(x), F^fx), F,(x) ... désignent diverses quantités algébriques exprimées en fonction de x; on a, par exemple,

F(x) = log X, Fi(x) = sin x, F,(x) = x*...

Si Ton donne à x un accroissement quelconque ^, la variable y croît d'une quantité correspondante Ay, et la relation (1) devient

y + Ay = F(x4-Ax) + F,{x + Ax) + F,(x + Ax)-f-... \%

Retranchant (1) de (2), on a

Ay=[F(x + Ax)-F(x)] + [F,(x + Ax)-Fi(x)]-f [F,(x + Ax)-F,;xi] + ... Divisant les deux membres par Ax et passant k la limite, il vient

^ =lin. nx + ^)-m ^ „^ F.(x+Ax)-F.fx) dx Ax Ax

y'= Fî(x) + ¥\(x) + FVx) + ... = l^Si + cos x + wix*-» + ...

Ce qu'il fallait démontrer. On a de même pour la diflférentielle,

dy = F'(x) dx + F',{x) dx + Y\[x) dx . . . = i5!Ê£ dx+ cos xdx4-mx«-« di r ...

i757. La dérivée du produit de plusieurs fonctions ou vœriahles esl égale à la somme des produits qu'on obtient en multipliant la déritée à( chaque fonction par le produit des autres variables,

V Soit

y = uv ^1'

THÉORÈMES SUR LA DIFFÉRENT J A T70iV. 7^^

le produit de deux variables u et ©, ces variables étant deux fonctions de X telles que, par exemple,

w = logx, t?=sinx.

Si Ton donne k x raccroissement Âo:, u, v et y prennent les accroissements correspondants Aw, At? et Ay, et la relation (i) devient

y + Ay = (w^Aw) (î? -h Ar) = wt? -f t^Aw + tiAv + At<A». (2)

Retranchant (1) de (2), on a

Ay = tjAtt + î*Ar -f At^Ao,

ou, en divisant par Ax,

dont la limite est

Ay Au . A» . Au .

Ax Ax Aa- Ax '

dv dw . dt? , , , /*>>

attendu que la limite ^ dv de ^ At? est négligeable puisque le facteur dv est infiniment petit.

«' et v' désignent les dérivées de m et v par rapport à x, et la relation (3) vérifie l'énoncé. Pour u = logx et t7 = sina; on a donc (1733

-j2 = sin X —2- -f logx cos x.

De la relation (3) on déduit pour la différentielle dy,

dy = VM'dx + uv'dx = vdu + uàv ; ce qui donne pour l'exemple proposé

dy =sinx — ^ dx + logx cosx dx. (4)

Ainsi la différentielle du produit de deux variables est égale à la somme des produits obtenus en multipliant chaque variable par la différentielle de Vautre variable,

2* Soit le produit

y = siv (5)

de trois variables #,f,t? qui sont des fonctions de x; on a, par exemple,

j=x"», ^=logx, v=sinx.

Posant st=Uy d'où du^ sdt -\- tds, la relation (6) devient

y = uv,

'H'i HuiTiiME RAftitt* -^ umam ns. cuucfii. loriKiTÉsmiL. et, d'aforès le i% ob a poiur la dérivée

dy d» , du dx dr dx'

•u, a» pemfilaçaBli « ai eu par leurs ¥ateurs,

dy „, dî? » dt? , d^ , . rf*

d^=^^di + di(*^^ + ^^^='^^di + ^dï"^^'S'

ou enfin, en désignant par r', i' et s' les dérivées -p, -=- et -r-,

-r = y ' = ^/»' + *»<' + ixs\ iê)

C'est ce qu'il fallait démoatrer. En appliquant la formule (6; à l'exemple proposé on a

■^- = x«logx cosx + x^sinx— ^ + logxsin xtîîx^*.

i^e kl relaiion (6) on déduit pour la différenÉvelle de y dy = */v'dx + svt'dx + tej'dx, et pour rèxemple proposé on a

]()cr ff

dy = X"» log X cosxdx + ac* sin x — ^^ dx + log x sin xmx"*-*dj.

Par la marche du 2* on ferait voir que l'énoncé s'applique à 4 et en général à un nombre queleoiMiue de facteurs. 3* Cas particulier m Vun des facteurs est censtant. Soit le pradufl

dans lequel le facteur a est constant. L'application de la règle générale de la différentiation patur deux facteurs donne (i**)

-5^ = amx*-* + 0 =r a»ïx"»-* ; dx

d'où l'on déduit la différentielle

dy = aTwx^^-^dx.

Âifiâi dans la différentiation d'un produit, tout facteur constant eDirf comme coefficient soit dans la dérivée, soit dans la différentielle.

1758. Dérivée et différentielle d'un quotient ou d'une fraction. Soit la fonction

éHis IftqiieUe u et v s««t d«s fonetiens dune aaèfSe vonâJU^ ^r; mi a De la relation (1) on déduit (148)

Prenant les différentielles des dei>x nie»i}>res^ oa a, en apfiUq^ant la règle de la différentiation du produit de deux facteurs (1% 1737;,

Pour avoir la dérivée, de la relation (1) oo déduit

w = yv,

et prenant la dérivée des deux membres par rapport à x, on a (1% 1737)

du dv . dy

d'où

dy __ ^M___ y di?

dac ~" t?dx "~ ? S* ^^^

Kemplaçant dans cette'égalité y par sa 'valeur - on a

dy __ du^ __ if ^ dx vdx r* da: '

ou, en désignant par y', u' et v' les dérivées de y, i^ et t? par rapport kx,

, u' uv' vu' — uv'

Ce qui montre que la dérivée d'un quotient est égale au produit du dénominateur par la dérivée du Tmmérateur, moins le produit du numérateur par la dérivée du dénominateur ^ le tout divisé par le carré du

dénominateur.

En comparant les relations (2) et (4), on voit qu'en remplaçant dans ce dernier énoncé le mot dérivée par celui différentielle on a l'énoncé de la différentielle d'un quotient.

1750. Dérivée des fonctions de fonctions. Lorsqu'une fonction n'est pas exprimée immédiatenaent à laid» de la variable îhdépendante x, comme dans les exemples

y = log{sinx;, y=log(i«»;, y = sin(»ix + Cl,

on dit que y est une fonction de fonction. De teUes relations s'écrivent sous la forme

y= F/ix,

et s'énoncent y égale fonction de fonction de x.

Dans ces exemples la quantité entre parenthèses est elle-même une fonction de x ; en la représentant par u, les expressions précédentes peuvent s'écrire :

y = logw, où M=sinx;

y = log M, où M = X*;

y = sinM, où M = 7nx + C.

La quantité y prend le nom de fonction principale; la quantité u celui &e fonction subordonnée^ et x celui de variable indépendante.

Il est facile de trouver une relation algébrique entre ces diverses quantités. En effet, écrivant

^=^x — Ax Au Ax'

comme cette identité subsiste quels que soient les accroissements simultanés Àx, Au et Ay des variables x, u et y, passant à la limite on a

dy dy du , .

dx du dx

-^ étant la dérivée de y par rapport au, et -, - celle de u par rapport k X, on voit que la^ dérivée d'une fonction de fonction esl égale au produit des dérivées de ces fonctions,

V application. Soit à trouver la dérivée de

Posant la relation (1) devient d'où (1733)

y = log(sinx). il;

u = sinx, i2'

y = logu;

dy log g du u *

La relation (2) donne, en prenant la dérivée de u par rapport k x (1734;,

-=— = cosx.

Remplaçant g| et g| par leurs valeurs dans la relation (a), on a

dy log e

T^ = —2— cos X,

dx u '

et en remplaçant u par sa valeur sinx, on obtient définitivement pour la dérivée cherchée

dy loge cosx __ log g .

dx sinx tangx* ^ ''

TBÉORÈHES SUR LA DIFFÉRENTI ATION . 785

Ou en déduit pour la différentielle

dy= 'ISEi.dx.

^ tangx «• application. Soit à trouver la dérivée de

y = cos rr, (3)

égalité qui revient à (4091)

y = sin(90'' — X). (4)

Posons

tt = 90»— X, (5)

ce qui transforme la relation proposée (3) en

y = sinu;

d*où, en prenant la dérivée de y par rapport a la fonction subordonnée u (1734)

'^ = cosM = cos (90*— X) = sin x.

De la relation (5) on déduit, en prenant la dérivée de u par rapporl à X (1732, 4735, 4736),

dw dx ~

Remplaçant ^~ et ," par leurs valeurs dans la relation (a) , on a ixu ax •

pour la dérivée cherchée

-f- =f— smx.

[dx

On en déduit pour la différentielle de y = cos x

dy = — sinx dx.

3* application. Soit à trouver la dérivée de

Élevant au carré , on a

Différentiant les deux membres, il vient (1732,, 4735, 4736)

2ydî/ =1= — 2xdx;

— Xdx XQX

dx ^a'—x*'

786 HUITIÈME PARTIE. — NOTIONS DiK CALCUL llIPlKtTÉSIMAL.

On peut traiter la même question en s'appuyant sur le théorème de.< fonctions de fonctions. Posant

u = a^ — x^y d'où du= — %xdx et j- = — 2j,

dx '

la relation (6) peut s'écrire

d'où (1732}

-f-^-rlL ' = — j = — ■- = — , (506.

Remplaçant -^ et y- par leurs valeurs dans la relation la: on a, comme ci-dessns,

dy __ 1 ^ X

puis «MIC on»

, jdx

1740. Gn}(''raIif{afion du ihéœ'hme des fond iojn de fonctions, Ayant

dv pour déterminer la dérivée — de y par rapport k x, on raisonn<>

comme il suit : k un accroissement Ax correspondent les accroisseinenls Az, Ar, Am, Ay, et on a l'identité

Ay Ay Am Ak Az Ài""Âtt^ÂS^A2^ÂÏ'

qui subsiste (jucls que soient les accroissements simultanés ëes variables X, z, r, 21, y, et qui devient, en passant à la limite,

dy dy d« dr dz dx dit dv dz dx

Ce qui démontre que la dérivée (Tune fonction d'autant de fonctions que Von veut d'une viênie variabte x est bien égale au produit desdérifrer des diverses fonctions.

Application. Soit a trouver la dérivée de

y= [lo^sin(x + o)]». X

On pose successivement :

x-\-a=zz, (2)

sinz = V où r = sin (x + a) , (3i

\ogv = u où w = logsin(a:-i-a), (4

u*=zy où y = [log sin (x + «)]•• '5"

T1IÉ0RÈME& Snn LA BIFFéRENTUTlO». 7S7

Prenant les dérivées des fonctions successives (6), (4), (3) et (2). «n a:

g|=3tt» = 3[logsin(x + a)]S du __ log e log e log e

dr "" V ~ sin z " sin [x -}- a) ' -ï-^ =cosa; = cos(x 4- a),

Remplaçant ces dérivées par leurs valeurs dans la relation (a), on a 5^ = 3[log sin fx + a)Y . ?^^ , cos (x 4- a).

Multipliant les deux membres de cette égalité par dx, on aura la différentielle dy.

1741. Dérivées et différentielles des fonctions eocponentielles, c'est-àdire des fonctions de la forme

dans lesquelles y et x sont des variables et A une quantité constante. Prenant les logarithmes des deux membres de Téquation (1), il vient

logy = xlogA, (509)

relation dans laquelle log A est une quantité constante. Prenant les différentielles des deux membres, on a

22££i^ = (log A)dx; .1733, 3' 1737).

dy ^ (log A) y ^ (iogA)A'' dx loge loge

De cette équation on déduit pour la dififérentielle

^ loge

Dans le système népérien on a (404)

-^=(L.A)A' et dy = (L.A)A^dr.

Cas particuliers. 1^ Si la constante A est égale à la base du système de logarithmes népériens, c'est-à-dire si l'on a

y = €*, la dérivée devient

• dy (loge)e^__ dx"" loge ~^'

2* Si la fonction proposée était

( n aurait successivement:

logy = — xloge,

dy ^logc __^^

dx log e ^

1742. Dérivées et différentielles des fonctions circulaires ^ cesi-à-dirc des fonctions dans lesquelles entrent les expressions ou rapports trigonométriques des angles ou des arcs (1090). Telles sont les fonctions:

r y = sin a:, 5" y = arc(sin x),

2" y = cos X, 6* y = arc (cos a:),

3" y = tang I, T yz=z arc (tang xj.

4" y = cot X,

1" Pour y = sinx, on a (1734)

■^ ou f{x) = cos X et dy = cos x dx.

2° Pour y = cosx, on a (1739, 2* application)

-p ou /(xy = — sin X et dy = — sin x dx.

3" Soit la fonction

y = tang x.

Cette fonction revenant k

sinx ^ "~ cosx' ma (1738;

dy cos X cos X — (sin x x — sin x) cos* x 4- sin' j: dx ~ cos*x ~~ cos*x

Ayant

J 1 + tang* X

cos*x4- sin»x = 1 et cos'x=7-r-: =—, i^^^'.

on a donc

< t, par suite,

4" Pour 011 écrit (1107;

dy = (1 + tang* x)dx.

y = cotx,

cosx y = -: — »