THÉORÈMES SUR LA DIFFÉRENTIATION

et l'on a (1738)

dy(8inj:x---sina:)-~co8a;cosa;"-sin*x--cos*a; — i ,. , ., ^ dx"" iu?5 ~ sin»x ~su?ï~"'^^"*"^^^"^'-

Par suite la dififérentielle est

Dérivées et différentielles des fonctions circulaires inverses. 5* Soit la fonction

y = arc (sin x) ,

qui exprime que y est Tare dont le sinus est égal à x, et que Ton peut «^crire inversement

x=siny, relation qui donne (1734)

-j- = cos v;

dy ^'

d'où

dy i i i

dx~ cos y"" ^1 — sin*y "" )J\ — x*'

Par suite on a

, dx

6** Pour la fonction circulaire inverse

y = arc (cos x) ,

qui revient à

x=cosy,

on a (1739, 2* application)

d'où

dx sin y ^i — cos'y y^l — x«

rt, par suite,

, — dx

dy =

T Pour on écrit et Ton a (3*)

d'où

y = arc(tanga?), x = tangy,

g^ = l+tang'y;

Ëy = « i

dx 1 + lang'y H x"

790 HUITIÈME PARTIE. — NOTIONS DE CALCUL l?iFI*flTéSIIIAL.

et, par suite.

dy:

da;

1745. Dérivées et différentielles des fonctions implicites. Pour appliquer les règles qui précèdent à la détermination* de la dérivée

-T^, il faut commencer par résoudre les équattOBS par rapport à y, c'est-

U-dire Jes ramener à la forme

Mais souvent cette marche est pénible, et il peut être plus simple de receucir à un théorème général qui dispense ie résoudre ré^uation par rapport à l'une des variables.

Admettons qu'on ait fait passer dans le premier membre tous les termes d'une équation, et qu^elle soit ainsi ramenée à la forme

/(x,y)=0, il

qui exprime entre les variables x eiy une relation telle que pour deux valeurs simultanées de a: et y le premier juembre donne une valeur nulle.

Si l'on fait croître x de Ax, y croîtra de Ay, et la relaftio» (l» ^ viendra

fix 4- Aar, 2/ + Ay) = 0. î

Retranchant (1) de (2), on a

f[x + Ax, y -h Ay) -/(x, y) = 0.

Rotranchant et ajoutant la fonction

f{x + Ax, y),

dans laquelle y est considérée comme une quantité constante et / comme une quantité variable, il vient

fx 4- Ax, y 4- Ay) — /> -h Ax, y) H-/(x 4- Ax, y) — /'x, y) = 0.

Divisant tous les termes par Ax, on a

/(x + Ax, X + Ay) -^/(x 4- Ax, y) , /(j: 4- Ax, y) — /^x, y; ^ Ax "^ Âï ••

Multipliant et divisant lo premier terme p^r Ay, on obtient h T^ ation

/ix -r :>x, y 4- Ay) — /[x 4- Ax, y Ay /x 4- Ax,y, — /:x,y; ,

Â^;; Ax "^ Ai - "'

qui subsiste quels que soient les accroissement simultanés Ai et Ay. Pour passer à la limite, on remarque :