THÉORÈMES SUR LA DIFFÉRENTIATION

i" Que

on représentant par/'y(x + Ax, y] la dérivée par rapport à y de la fonction fix 4- ^x, y) , dans laquelle a; + Ax étant considérée comme uni» constante, y serait seule variable (1730); 2<> Que

tiX

^^Ax-^^x.y)j-nx.y)^f.^^^^^^

c'est-à-dire la dérivée par rapport à x de la fonction proposé /{x, y;, dans laquelle y étant considérée comme une constante, x serait seule variable.

A la linn'te la relation (3) devient donc

et comme il est inutile de tenir compte de Ax dans le premier terme de cette dernière relation, puisque Ax converge vers 0, ou autrement /'^(x + dx, y) =/',(x, y), on a donc en définitive

/'v(^,y)^+/Vx,y;=0;

d'où Ton dédutt pour la dérivée

^ __ —fJXy y) (.^

ôx- J\{x,y) ' ^*^

Ainsi la dérivée d'une fonction implicite à deux variables est égale à moÎTis la dérivée de la fonction proposée, prise par rapport à \ en considérant X comme variable et y comme constante^ divisée par la dérivée par rapport à "^ delà même fonction, en considérant x comme constante.

V* application. Soit à déterminer la dérivée de la fonction implicite (li74)

aV + &*it» -- a»6* = 0. ^ (5;

On en déduit (1732, 173B, 1736]

— A(^,y) = — 2fr'a; et /'»(x, y ) = 2a»y ; donc

dy ^n^ô^x — 6*x dx ~~ 2a'y ~~ à^y

Remarque. On arrive au même résultat en prenant les diflérentidies des divers termes de la relation (5). En eJQTet, on a

2o*ydy H-26*xdx = 0,

793 UUITIÈIIB PARTIE. — NOTIONS DE CALCUL INFIKITÉ8I1IAL.

d'où

dy — fe'j dx ~ a*y '

2* application. Soit la fonction (1240)

y* = 2px.

On écrira d'où et, par suite,

-fr'x, y) = 2p, .rv(^» y) = 2y,

dy __ 2p __ £ dx 2y y '

3* application. Soit Téquation d'une circonférence (4166)

Ayant

yïx,y) = (y-(?)«-h(x-p)«-r« = 0, on a

/Va:, y) =/',(x — p)« = /',(x« — 2px + p») = 2x - 2p = 2(x-p:,

et, par suite,

dy -A(^,y) ^ — 3l(a^— P) ^ — (g— P) àx f'y{x,y) 2(y — g) y-g "

TANGENTES AUX COURBES. DÉRIVÉES SUCCESSIVES. CONCAVITÉ ET CONVEXITÉ. SENS DE COURBURE. POINT d'iNFLEXION.

1744. Nous avons vu au n* 1731 que la limite ^ du rapport de l'accroissement d'une fonction y à celui de la variable x était égale au coefficient d'inclinaison de la tangente à la courbe représentative de la fonction. Il est facile de déduire de cette propriété le moyen de mener les tangentes aux courbes dont les équations sont données, et de déterminer les équations de ces tangentes.

y' et x' étant les coordonnées du point de contact de la tangente à une courbe quelconque, une droite qui passe par ce point ayant pour équation (1161)

comme pour que cette droite soit tangente à la courbe, il suffit que

le coefficient d'inclinaison a soit égal a la dérivée -p, de Téquation

représentative de la courbe, prise pour le point de contact, il en résulte