TANGENTES AUX COURBES
que réquation générale de la tangente à une courbe quelconque est
Nous allons appliquer cette équation à quelques exemples. 174^. Tangente à la circonférence, L^équation de la circonférence rapportée à son centre étant (1166)
on a, en appliquant la règle des fonctions implicites (1743),
dy —g dx y
Pour le point de contact, qui est donné et dont les coordonnées sont y' et x'y cette dérivée est
dy^-x; dx y'
Par suite, Téquation (a) du numéro précédent devient, pour la tangente à la circonférence ,
Chassant le dénominateur et effectuant les calculs, il vient
yy'-y'« = — XX' + X'*, OU
Ainsi la somme
yy' + a:a;' = constante /••.
1746. Tangente à V ellipse. L*équation de Tellipse rapportée à ses axes principaux étant (1174)
a*y* + 6«x« = a^b\ on a (1743)
dy __ — bH dx ~~ a*y '
ou, pour le point de contact ,
dy - 6V dx "■ aY '
donc réquation de la tangente est (équation (a) du n"* 1744)
1747. Tangente à V hyperbole, L^équation de l'hyperbole est {12i5)
794 HUITIÈME PARTIE
on a donc M 743
dy 6«j et, par suite, Téquation do la tangente est (1744, 1745)
1748. Tangente à la parabole. La parabole étant rapportée a son sommet et à des axes rectangulaires, son équation est (1240)
d'où
dx y'
Par suite, l'équation de la tangente est (1744, 1745
Pour le sommet, on a x'=0, y' — 0, et, par suite,
dy p dx 0
Ce qui indique qu'au sommet la tangente est perpendiculaire à Taxe des X.
1749. Tangente à la logarithmique, I/équation de cette courbe
étant
y = logx, on a (1733
dy iogg 0,4342945
dx "~ X ~ X
Par conséquent la tangente à la courbe au point dont les coordonnées sont y' et x' a pour équation (1744, 174o,
Cas particuliers : T Pour x' = 0, on a
Fig. 557.
y' = logx' = — cr,, dx x'
Ce qui indique que Taxe des y esl asymptote à la courbe du côté des y négatifs.
2* Pour x' = 1, on a
et
y'=:logx' = 0,
IHÉMVÉBS SUCCBS81VES. 79r)
Ainsi au point À, où la courbe rencontre TaK^e des x, on a
tan^'a:=0,43429A5.
T Pour a:' = co, on a,
1 / * dy loge
y = logx' = oD, et ^ = --^=0.
Ainsi la courbe va constamment en s'éloignant de Taxe des x, et u rînlini sa tangente est parallèle à cet axe. 17ÎÎ0. Tangente à la sinusoïde. L'équation de la sinusoïde est
otrona(173i.
y = smx,
dy
dx
= cosx.
Par conséquent l'équation de la tangente au point de la courbe qui a y' et x' pour coordonnées est (1744, 1745)
y — 2/' = cosx'(x — xf).
Fig. 55«.
Cas 'particuliers : 4* Pour x' = 0, on a (1094)
y' = sinx'=0, et ^^ = cosx'= cosO*= 1.
Ainsi la courbe passe à l'origine, et en ce point on a tang«= i et par conséquent « = 45°. On obtient les mc^mes valeurs potir le point D qui donne x'= 2?:, ainsi que pour les valeurs successives 4-, 6:î... de x'. 2* Pour x' = 3s = 180% on a
y'=sinx' = 0, et ^ = cosx'= cos7: = — 1.
Ainsi au point B, qui donne x' = ;c, on a tanga'= — 1, et par conséquent a'= 133'. On obtient les mêmes valeurs pourx' = 3::, x'= 5;:...
3" Pour x'= -Tc, x'= -::, x'=i ^s..., on a cos x' = 0 et tanga=0;
ce qui indique qu'aux points A, C, E... la tangente à la courbe est parallèle à Taxe des x, i7î5l, Dérivées successives. Nous avons vu (1731, 1744) que la relation
est réquation d'une courbe dont la tangente fait avec Taxe des x un angle dont la tangente trigonométrique est la dérivée de y par rapport à X. Cette dérivée, qu'on représente par les notations équivalantes ^ , f{x) ou y', est appelée dérivée du premier ordre, La relation
y'=f'ix)
étant une nouvelle fonction de x, on peut chercher la dérivée de y' par rapport à x, de même qu'on a cherché la dérivée de y par rapport àx; <ît si Ton désigne par /"(x) ou y" le résultat de cette recherche, on a
Cette nouvelle dérivée y" prend le nom de dérivée du second ordre j et on la représente aussi par la notation
dV dx«'
qu'on énonce d deux y mr dxdeux^ et dans laquelle le chiffre 2 de d'y n'est qu'un indice indiquant l'ordre de la dérivée. La relation
étant kson tour une nouvelle fonction de x, on peut chercher la dérivée de y" par rapport à x, ce qui donne la dérivée du troisième ordre, que Ton représente par les notations équivalentes
2^ -^ ^'^^- dx "" dx«-
Continuant ainsi de suite, ou obtient les dérivées du quatrième ordre, du cinquième ordre, etc., et les diverses relations ci-dessus se résument dans le tableau suivant :
!/ =flxi
fonction
primitive.
dérivée du !•' ordre,
id.
r id.
id.
3* id.
y.'=/Vx) = g
id.
4« id.
Exemple. De la fonction
DéRITÉBS SUCCESSIVES.
on déduit successivement (4732) :
y" =zm{m — 1) x**-*
dérivée du 1" ordre.
icL 2* id.
id. 3« W.
id. i* id.
17^2. Interprétation géométrique des dérivées mccessives. Soit ï'd fonction
y = A 4- Bx + Cx» -f- Dx'.
On en déduit (1751) les fonctions successives :
g| ou y' =B + 2Cx + 3Dx«,
^' ou y"=2C-f-6Dx,
dx
ou y'"=6D.
Ce qui montre que la fonction proposée (1) étant du 3' degré, la dérivée du 3* o/dre est égale à une constante. On verrait de même que pour une fonction du rw* degré et de la forme
la dérivée du 7?i* ordre est une constante. Cherchons à interpréter géométriquement les équations (1), (2), (3) et
Fig. 559.
(4). Rapportons les équations (1), (2), (3), etc. aux systèmes respectifs d'axes rectangulaires Ox et Oy, OjXj et 0,y, 0,t, et Ojy, etc., dans l(»squels nous prenons, pour faciliter les lectures et comparaisons, les axes Ox, 0,Xi, 0jX„ ... parallèles entre eux et les axes des y coïncidant avec une même droite. On construit ainsi par points les courbes C, Cj, C^ et Cj représentatives des fonctions y, y', y" et y'". Ainsi faisant x = OP, la relation (1) donne y = MP; la relation (2) donne le coefficient d'inclinaison -p de la tangente en M
à la courbe C , ce qui permet de mener la tangente MT (1744), et comme ce coefficient angulaire n'est autre chose que Tordonnée M,P,=y\ de la courbe Cj, on obtient le point M, de lu courbe Cj, point dontTabscisse est aussi égalo
5» ar. La relation (3) donne de mémo -p- ou y", c'est-à-dire la tangente
dx
successives
en Ml kla courbe C, et le point M, de la courbe €,, etsinsi de suite. Donnant à x différentes valeurs, on déterminera ainsi autant de points que Ton voudra des courbes C, C,, C, ..., ce qui permettra de tracei» ces courbes, auxquelles on mènera les tangentes à l'aide des dérivées
Ay dy|
dx' dx
Dans Texemple choisi (i), les courbes C et C^ sont paraboliques,
dv" celle C, est une droite dont le coefficient d'inclinaison est --y- = 6©,
dx
et celle C, est une droite parallèle à Taxe des x, puisque son coeffi-
dv" cient d'inclinaison est ~- = 0, elle est la ligne représentative de la
fonction constante y"' = 6D.
Des dérivées successives d'une fonction et de leur interprétation géométrique nous déduirons bientôt des conséquences importantes.
1735. Concavité et convexité. Se?is de courbure d'une courbe. Une
courbe est concave ou convexe en un T i^î c^^ ^^ *^^^ points M par
Os\ * n" rapport à une droite
Ox, par exemple, selon que ses éléments voisins du point M sont situés dans l'angle aigu a ou dans l'angle obtus a', formé avec Ox par la tangente MT à la courbe au même point M. Ainsi les courbes Cj et C, sont concaves en Bf par rapport à Ox, et au contraire celles C et Cj sont convexes.
La concavité et la convexité constituent le sens de courbure d'une courbe. Cherchons le caractère distinctif du sens de courbure par rapport à l'axo des x.
Fig. 561.
Fig. 560.
