DÉRIVÉES SUCCESSIVES

Pour les courbes C et C,, la fonction

étant croissante (1729), leurs tangentes font des angles aigus avec Fax»' des X et ont des coefficients d'inclinaison positifs. Par conséquent construisant les courbes représentatives C et C'^ des dérivéées du premier ordre

dx ^„ .

les ordonnées seront positives pour Tune et l'autre de ces courbes, qui auront cependant entre elles une différence bien caractéristique, due au sens de courbure des courbes C et Cj dont elles dérivent; ainsi les ordonnées de la courbe C seront croissantes, de même que la fonction correspondante, tandis que les ordonnées de C'j seront décroissantes. On voit, en effet, que x croissant, la tangente à'ia courbe C fait des angles aigus de plus en plus grands avec l'axe des x, les coefficients d'inclinaison augmentent, et la fonction -r- =/'(x) = y\ dont la courbe

représentative est C, est bien croissante. On voit de même que x croissant, la tangente à la courbe C, fait avec l'axe des x des angles aigus de plus en plus petits; par suite, les coefficients d'inclinaison

vont e© diaiinuant, et la fonction -~ =f'{x) = y représentée par la

courbe C, est bien décroissante.

Construisant maintenant les courbes C et C, représentatives des fonctions dérivées du 2* ordre de la fonction primitÎTe y =fix}, courbes dont les équations sont de la forme

c'eat-a-dire dont le» oidonnécs y" sont égales aux coefficients d'incliosMOB des tangentes aux courbes C et G'^ , on voit facilement que f\a^ est positive et croissaote dans le cas de la courbe C, et qu'elle est négative et décroissante dans le cas de la courbe C^.

Ainsi à la courbe C, qui a sa convexité vers Taxe des x, répond la tourbe C domt les- orèoiftaées s^nft positives, et à la courbe Gj, qui a sa convexité vers Taxe des x, répond la courbe C''^ dont les ordonnées sont négatives. Coaune le montre la figure 561, cette propriété s'applique é^^nent aux courbes G, et G,, et l'on peut dire, d'une manière générale, qu'une courbe quelconque^ dont V équation est de la forme

tourne sa convexité ou sa concavité vers Vaxe des x suivant que y" = f'(x) est •positif ou négatif.

Fig. 56t.

1784. Point dHn/lexion, Lorsqu'une courbe AMB présente, à partir

d*un de ses points M, une portion MA concave et une portion MB convexe par rapport à une droite Oj, on appelle point d'in- Jlexion le point M à partir duquel la courbure cbange de sens. En menant au point d*inflcxion M la tangente MT à la courbe, les deux éléments Mm, Mn de la courbe qui aboutissent en M sont situés de côtés différents de cetto tangente.

étant respectivement les équations de la courbe proposée AMB et des courbes dérivées du i" et du 2* ordre, sll y a un point d*inflexion M, on obtient pour ce point

ce qui «indique que le point M" de la courbe dérivée du deuxième ordre est sur Taxe des x. C'est ce qui se conçoit à priori, car la portion AM étant concave vers Ox, la courbe dérivée correspondante A"M" du deuxième ordre a ses ordonnées négatives (1753), et la portion MH étant convexe, la courbe dérivée correspondante M"B" du deuxième ordre a ses ordonnées positives ; d'où il résulte nécessairement que la courbe continue A''M"B" coupe Taxe des x au point M", ou autrement

que pour la valeur de x qui répond au point d'inflexion M la fonction du second ordre donne y" = 0.

On arriverait aux mêmes conclusions si la courbe proposée présentait raspectA]M,B, ou celui A|M,B,.

Casparticulier. Soientdeux courbes AMB, A|M,Bi dont les points d'inflexion M, Mj répondent à des tangentes MT, M^T, parallèles à l'axe des y. Construisant les courbes dérivées du premier et du deuxième ordre , on reconnaît facilement qu'aux points d'inflexion M et M, correspondent les points M" et M", situés à l'infini, ou autrement que pour les points Met M, les dérivées du second ordre onl

Fig.

ki^

-Mr

pour valeurs