SÉRIE DE TAYLOR

I7;>o. Théorème préliminaire. Si daos une Ib action

on remplace x par a; + A, d'où il résulte que y prend la valeur y' el que la relation (1; devient

dî/' la dérivée du premier ordre -~ , die y' par rapport à x, calculée (»n

considérant x comme variable et h comme constante, est égale à la dérivée du'promier ordre -^,àey' p»r rapport à A, calculée «n coftâdérant h comme variable et x comme constante. Ainsi l'on a

dy' ihf da: ~ dS*

Kn effet, posant x H- A = x\ la relation (2) devient

d'où

dx'-^f-"^' ou

Supposant h constante et x variable, on a

d(x + /i) = da:, et l'expression (3) peut s'écrire

Supposant, au contraire, x constante el h variable, on a dx+/0=:d/t,

S^RIE DE TAYLOK. 803

et la relation (3) peut s'écrire

Les équations (4) et (5) ayant le môme second membre, les premiers membres donnent bien

dy'^dy; dx dh'

1736. Série de Taylor. Supposons que le développement de la fonction

par rapport aux puissances successives de A, ait donné

y' = y + A/H- B/i» -{- CA» 4- D/i* + etc. (2,

On admet ainsi que le polynôme qui exprime la valeur de y' contient un nombre infini de termes, dans lesquels l'exposant de h va en croissant indéfiniment depuis le premier terme où il est zéro.

Quant aux coefficients A, B, C, D...., ce sont des fonctions inconnues de la variable x, qu'il s'agit de déterminer.

Prenant la dérivée de y' par rapport à h dans la relation (2), on a (1732)

^' =A-h 2BA + 3CA« + 4DA»+ (3)

Dans la môme relation (2), la dérivée de y' par rapport à x est, en considérant h comme une constante,

Les premiers membres des relations (3) et (4) étant égaux (1755) les seconds donnent

A + 2BA+3CA' + 4DA»+... = g + -^A+gA»+J§A» + ... (5)

Égalant deux à deux les termes de même ordre dans cette dernière relation, on a une suite d'égalités, desquelles on déduit :

dy dA dB j£ ^"~dx' ""âdx^ ^-âdz' """4dx

Remplaçant A par sa valeur dans l'expression de B, puis B par sa nou- Tclie valeur dans G, puis G dans B, et ainsi de suite, il vient :

80i HL'ITIÈIIE PARTIE. — NOTIONS DE CALCCL INFINI TÉSIV AL.

d^ ,, dx d'y i

2dx ~ dï» 1.2'

°dj' 1 d'y 1 3dx t.2 ~ dxM.g.S'

I) - dj» 1 ^ d^ i

4dx 1.2.3 di*i. 2.3.4*

Remplaçant A, B, C, D... par ces valeurs dans le développement :i, on a

^ ^^dx ^ dx* 1.2 ^ dxM.2.3 ^ dx* 1.2.3.4 Équation que Ton peut écrire sous la forme

f{x+h)=f{x)-^r[x)h+rix)-^+r{x]j^ 6.

Telle est la formule de Taylor, qui donne le développement d'une fonction à Taide de ses dérivées successives.

i7o7. Formule de Maclauriny ou cas particulier de la formule de Taylor.

Si dans la fonction

et dans son développement (1756)

y'-fw +f{x)h+r{x) Y^+rix) ÎX3 + - "•

on remplace x par 0 et A par x, la fonction devient et son développement prend la forme

y =Ax) =/(o; +/'(o;x +/"(o) ^ +r{o) ^ + ... ■^:

qui est connue sous le nom de formule de Maclaurîn, et dans laquelle / 0), /'(O), /"(O)... sont les valeurs de la fonction y et de ses dérivt^^ successives lorsqu'on y fait x = 0.

i7J$8. Applications des formules de Taylor et de Maclaurin {i756, 4757;.

1' Soit à développer