SÉRIE DE TAYLOR
De cette relation on déduit successivement (1732, 1756)
f{x)=y = ct^^
f{x) = mif^\
/"(x) = m{m — i)(m - 2)af-»,
Substituant ces valeurs de /(x), /'(x),/"(x)... dans la formule (6) du n* 1756, de Taylor, cette formule donne, en remarquant que A est remplacé par a.
Ce qui n'est autre chose que la formule du binôme de Newton (518). 2* Développeînent de sin x en fonction de Tare x. De la fonction
y = sin X
on déduit successivement (1734, 1739) :
/(x) = sinx,
/'(a:) = cosx, f\x) = — sin X, f"[x) = — cos X,
/•▼(x) = sinx, /»{x) = cosx, /▼»(x) = — sinx, y>"(x) = — cos X,
Faisant Tare x = 0" dans ces expressions on aura, d'après les notations de la formule de Maclaurin (1757) :
/(x) = /(O) = sin X = sin 0* = 0,
/'(x) = /'(O) = cos X = cos 0* = 1 , f\x) = /"(O) = -^ sin X = — sin 0* = — 0, f'ix) =/"(0) = — cos X == — cos 0* = — 1 , /«'(x) =/«'(0) = sin X = sin 0*» = 0 ,
Substituant ces valeurs de /(x), f[x), /"(x)... dans la formule (2) du n" 1757, de Maclaurin, on a, en observant que les termes de rangs impairs se réduisent à zéro,
smx = x —
3* Développement de cos x en fonction de Varc x. En raisonnant comme au 2', la fonction
y = cos X
806 HniTlÈME PARTIE. — NOTIONS DS CALCUL INFiNITÉSIMAL.
donne successivement :
f{x) = cos x, f{x) = — sih x, /"( j) = — cos X,
/"(Xjrrsina,
/»'(x)=cos2r, /»(x) = — sin X,
/^»(x;=: — COSX,
/'"{x) = sinx.
Faisant Tare x = 0*, ces expressions deviennent, en adoptant les notations de la formule de Maclaurîn [1757] :
/(x) = /(O) = cos X = cos ©• = i, /'(x) = /'(O) = — sin X = — sin 0* = — 0, /"(x)=/"(0) = — cosx= — cosO* = — 1, /'"(x) =/'\0) = sin X = sin 0* = 0, /«'(x) =/*'(0) = cos X = cos 0* = 1 .
Substituant ces valeurs de/(x),/'(x),/"fx)... dans la formule deMaclaurin (1757), on a, en observant que les termes de rangs pairs se réduisent à zéro,
cos X = 1 — 7-^ -h ; ^ ^ , 1.2 ^ 1.2.3.4
MAXIBIA ET MINIMA (536)
1 7^9. Des maximums et des minimuTns des fonctions. Soit C la courbe
représentative de la ^'^' '''' fonction
Si pour une valeur OP=x de Taln scisse, Tordonnêf correspondante MP = yest plus grande que les ordonnées voisines m'p' et m"p" correspondant aux abscisses Op' et Op", dont Tune est immédiatement inférieure et l'autre immédiatement supérieure a OP, on dit que la fonction ou ordonnée y-^^ est un maximum. De même, l'ordonnée M,Pi étant plus petite que celles infiniment voisines, on dit que cette ordonnée ou la fonction y qu'elle représente est un minimum. Ainsi, d'une manière générale, une fonction présente un maximum ou un minimum, selon qu'une valeur particulière de la fonction est plus grande ou plus petite que ïétalàe grandeur qui précède et que l'état de grandeur qui suit immédiatement celui que Ton considère.
Comme le montre la figure 566, une fonction peut présenter pin-
MAXIMA KX MINIMA*
sieurs maximums et plusieurs minimums; qu'un mioimum M,P| peut Hre plus grand qu*un maximum M,?,; enfin qu'un maxinmm ou un minimum peut être positif ou négatif.
Afin de rendre plus sensibles les particularités d'une fonction lorsqu'elle passe par une valeur maxima ou par une valeur minima, construisons les courbes C, C, et C,, représentatives delà fonction proposée
et de ses dérivées du previier et eu seeoad ordre (ilôl)
On voit d'abord que la fbnetkxn
est croissante, c'est-à-dire que l'abscisse Op' augmentant, l'ordonnée m'p' «ogmeafte aussi, et que cela a lieu jusqu'au point M^ oè la fonction prend une valeur maxima y = MP. Jusqu'à ce même point, la tangente d'inclinaison
reste positive, mais elle va constamment en diminuant, pour devenir nulle au point M. La tangente en M à la courbe C est en effet paraN lèle à l'axe des x.
A partir de M, la fonction y devFent décroissante, c'est-à-dire que l'abscisse Op", par exemple, augmentant,, l'ordonnée m"p" diminue; cela a lieu jusqu'au point M,, où la fonction présente un minimum. De M en Mj, la tangente d'inclinaison est négative; elle va d'abord en augmentant depuis M jusqu'au point d'inflexion situé entre M et M, , et à partir de ce point d'inflexion elle va en diminuant jusqu'au point M,, où elle redevient nulle, puisque la tangente en M, à la courbe C est parallèle à l'axe des x.
De même, entre Mj et M,, la fonction est croissante, et la tangente d'inclinaison, nulle en Mj, devient positive, et elle va d'abord en augmentant, pour diminuer ensuite et redevenir nulle au point Mj, où la fonction présente un autre maximum.
Ainsi tout maximum et tout minimum de la fonction
804 UCITIÈME PARTIE. — NOTIONS DE CALCUL ISFIKITÉSIHAL.
r -pond h une dérivée du premier ordre nulle, on a
ccst-à-dire que les points M', M'^, M', ... de la courbe C|, qui correspondent aux points M, M^, M, sont situés sur Taxe 0|X|.
Pour distinguer un maximum d'un minimum, on a recours à la courbe C, ou à la dérivée du second ordre qu*elle représente, et Ton voit qu'à un maximum MP répond une ordonnée de la courbe C, ou une dérivée du second ordre négative, tandis qu à un minimum M^P, répond une ordonnée de la courbe C, ou une dérivée du second ordre positive.
On peut d*ailleurs démontrer qu^il en est nécessairement toujours ainsi. En etfet, lorsque la fonction
est croissante, la tangente dMnclinaison en m\ par exemple, à la courbe C est positive, et au sommet M, répondant au maximum, cette tangente d'inclinaison devient zéro. Or, comme une quantité positive qui tend vers zéro est nécessairement décroissante, ce qu'indique la portion AM' de la courbe C|, il en résulte que
est une fonction décroissante. Cela établi, comme nous venons de voir {fig. 567) que lorsqu'une fonction est décroissante, la dérivée de cette fonction ou la tangente d'inclinaison correspondante est négative, il en résulte donc bien que la dérivée WP" du second ordre de la fonction proposée est négative lorsque cette fonction primitive atteint son maximum. On établirait de la même manière qu'à un minimum MjPj d'une fonction répond nécessairement une dérivée M"jP'\ du second ordre positive.
Comme c'est le signe seul de la dérivée du second ordre qui distingue le maximum du minimum d'une fonction proposée, s*il arrivait que cette dérivée fût nulle, elle serait alors privée de signe, et n'indiquerait plus s'il y a maximum ou minimum. Dans ce cas, il est nécessaire de recourir aux dérivées suivantes du 3* et du 4* ordre, ainsi qu'il va être indiqué.
Nous avons vu (1756) qu'une fonction
y=/(a:J-A) peut s'écrire sous la forme
fix + h)=fx) +f:j]h+r^x: ^ -f /rx; ^ +/-:x) j-^ + ...
MAXIMA ET MINIMA. a09
L'accroissement de la fonction peut donc s'écrire
f(x + h) -/(x) =/'(x)A + r (x; ^ + r(x) j^ +f-{xj j-^^ + ...
Si, pour une certaine valeur de x, les fonctions /Vx) et/"(x) sont nulles en même temps {fig, 568), cette dernière relation se réduit à
et comme, lorsque Taccroissement h de la variable X est très-petit, les termes du second membre qui suivent le premier sont négligeables par rapport à celui-ci, on a alors approximativement
Fig.
ses
pnr
et si l'accroissement /(x-f A)— /(x) de la fonction est nul, ce qui répond au maximum ou au minimum, on a
rix)
ce qui exige que
puisque l'accroissement h de l'abscisse, quoique très-petit, n'est pas nul.
Ainsi l'on voit déjà que le maximum ou le minimum de la fonction répond à
U reste à déterminer dans quel cas il y aura maximum, et dans quel cas il y aura minimum.
Remarquant qu'avant un maximum l'accroissement /(x+ A) — f(x)esl positif et qu'avant un minimum il est négatif, d'après la relation (1) f^(x) étant de même signe que cet accroissement puisque h et par suite h* est toujours positif, comme une fonction positive /"(x) qui tend vers 0 est décroissante, et que la dérivée d'une fonction décroissante est négative, il en résulte donc que /**(x) est négative lorsqu'il y a maximum ; c'est ce que montre la fig, 568.
Par la même raison, si l'accroissement ytx + A)— yi[x) est négatif,
n^) A a o sera négative, et par suite; aussi /*'(x); or une fonction néga- 1 «2.3
tive qui tend vers 0 étant nécessairement croissante, comme une fonction croissante a une dérivée positive, f^^{x) est donc positive dans le cas du minimum.
I$10 HUITIÈME PAniIE. — NOTIONS DE CALCUL INFINITÉSIMAL,
En résumé, il y a maximum ou minimum lorsque la dêrirte du troisiètne ordre f'"(x) est nulle, et c*esi un maximum ou un minimum, selon que de 'plus la dérivée du quatrième ordre f*^(x) est négative ou positive.
En général, quand plusieurs dérivées successives s'annuleyit en même tempsy il n'y a ni maximum m minimum si la premièpe dérivée suivante qui lie s'annule pas est d'ordre impair; mais si elle est d'ordre pair^ il y a maximum ou minimum selon qu'elle est négative ou positive,
1760. Ainsi l'on peut poser cette règle générale : Une fonction y d'une seule variable x étant donnée sous la forme
paur trouTer le oiAxinium ou le uiiniuimn de cette fonction, on prend la dérivée première de y par rapport à je;, et Ton égale cette dérivée à zéro, ce qui doan« une relation de la forme
Cette équation résolue par rapport à x donne la valeur de x correspondant au maximum ou au minimum. On cherche la dérivée du second ordre
et suivant que cette dérivée est négative ou positive, il y a maximum ou minimum. La valeur de x déduite de l'équation (2) est substituée dans l'équation (1), qui donne la valeur de y maxima ou minima.
Si la dérivéo du second ordre y" est nulle, on détermine les dérivées du 3* et du 4* ordre
y'"=f"{x], (4) 2/»^=/-;xj; 5j
on égale /"'(j) a 0, et l'on en déduit la valeur de x, laquelle substituée dans l'équation fi) donne une valeur de y qui est un maximum ou un minimum, selon que la dérivée y'^' est négative ou positive.
On opère de même quand il est nécessaire de recourir aux dérivées du 5* et du 6* ordre, et ainsi de suite.
1761. Applications de la règle précédente.
i" Exemple. Le produit y de deux facteurs variables x et z, dont la somme c est constante, est maximum quand ses deux facteurs sont égaux (537).
D'après l'énoncé, on a :
Do 'a] on tire
Remplaçant z par cette valeur dans [b], il vient
2/ = ex — x» ; f ♦)
MAXIMA £T lUNIMA. 8ii
c'est la relation (i) du numéro précédent. Prenant la dérivée du premier ordre et Tégalanl à 0, on a (1732, 1736)
jf =/'W = ^-2x = 0; (2)
d'où Ton tire pour la valeur de x correspondant au maximum ou au minimum,
Prenant la dérivée du second ordre, on a (1735)
da« •' '""^ - *' et cette dérivée étant négative, x= - répond à un maximum et non vl
un minimum. Remplaçant x par cette valeur dans (a), on en conclut aussi
Ainsi il y a maximum lorsque les deux facteurs sont égaux, c'est-àdire quand on a
2* Exemple. Déterminer parmi tous les cylindres de même volume V celui dont la surface totale s est un minimum, r étant le rayon de la base et h la hauteur du cylindre, on a
j=:27:r* + 2rrA, [a)
et
V=:7cr»A, d'où A=r^. {b)
Remplaçant h par cette vaieur dans la rehUion (a), cette idatÂOB ne contiendra plus que les deux variables ^ et r, en même temps qu'elle satisfera à la condition que le volume V du cylindre soit constant, et elle deviendra
s = 2-r» -f =r 2rrH 2Vr-^ . (1 )
C'est la relation (1) du numéro précédent, dans laquelle?/ est représentée par j et x par r. Prenant la dérivée du premier ordre et régalant k 0, on a
g=/[r) = 47cr-2Vr-« = 0; (2)
d'où Ton tire pour la valeur de r qui correspond au maximum ou au
minimum, comme
Prenant la dérivée du second ordre, on a
et cette dérivée étant positive, r = i/ -- répond à un minimum et non
k un maximum. Remplaçant r par cette valeur dans (1), on obtiendrait la valeur minima de s en fonction de V; mais ce qu'il importe le plus d'avoir, c'est l'autre dimension h du cylindre. Or remplaçant V par sa valeur (6) dans (3), on a
r = \/-^ ou r»=— , dou h = ^r=iy/^.
iUnsi s est minimum lorsque la hauteur du cylindre est le double du rayon, et de plus on a
3* Exemple. Température moyenne de Vair dans une cheminée correspondant au maximum de tirage {Aide-Mémxnre, deuxième partie). On a
Qi poids d'air écoulé par la cheminée dans une seconde;
1^3 poids d'un mètre cube d'air à 0« et sous la pression atmosphérique CjTS;
D côté de la section minimum intérieure de la cheminée, supposée carrée;
H hauteur de la cheminée en mètres;
a = 0,00367 coefficient de dilatation de l'air;
M nombre constant pour une même nature de cheminée;
f température moyenne de l'air dans la cheminée ;
/ température de l'air extérieur.
.■,3». Vf étant une quantité constante pour une même cheminée, Qj sera maximum lorsque 1\3D« l/-II ou même Kl uT^ *f\t sera maximum. Représentant ce radical par y et la variable V par i, on a pour l'équivalente de la relation (i) du numéro précédent
MAXIHA ET MINIMA. 813
y* + 2axy* + a*x^y^—x + / = 0 ;
d'où, en prenant la dérivée (i743) et en régalant à 0,
Ay '^ — ^ay* — go^ya; -f 1 ^ dx 2y + iaxy -h 2a*x*y
Cette relation ne pouvant exister qu'autant que le numérateur est nul, on a donc, lorsqu'il y a maximum,
— 2ay* — 2ayx + 1 = 0 ou — %ay* (1 + ax) + 1 =0,
et en remplaçant y' par sa valeur (1)
d'où Ton déduit successivement :
