ax — ^at =i -{-ax, ax=i -\- 2a
a Si Ton suppose la température extérieure / = 0, on a
1762. Cas particuliers des maximums et des minimums, 1" Lorsqu'une fonction présente une valeur infinie ou nulle, on ne considère pas cette valeur comme un maximum ou comme un minimum proprement dit. Ainsi la parabole dont l'équation est (1240)
donnant y = 0 pour x=0 ety = ±oo pour x=ioo, la fonction y passe par tous les états de grandeur compris entre + oo et — od, et elle ne présente ni maximum ni minimum proprement dit. La dérivée de la fonction précédente étant
dx '' ^ ' y' si l'on égale cette dérivée a 0, ce qui donne
on en déduit y =±00, valeurs qui répondent à x=oo. Ainsi les points
de la courbe en lesquels les tangentes sont parallèles à Taxe des x son! situés à rinfini.
Pour X = 0, on a y = 0, et, par suite,
Ainsi Taxe des y est tangent à la courbe. Soit encore la logarithmique dont Féquation est
y = loga:.
La dérivée est (1733)
dy -,, , loge 0,4342945
et si Ton égale cette dérivée à 0, on a
d*où x = co, et, par suite, y=logx=oo ; comme de plus pourï = 0 on ay=logO= — cao, la fonction y passe donc partons les états de grandeur entre -{- oo et — go, et cependant elle ne présente ni maximum ni minimum proprement dit.
2° Autre particularité des maxiTmanu et des mmimiuns» Point de rebroussement. Lorsqu'une courbe présente deux branches AM, MB (/i?. 569 ayant une tangente conunune parallèle a Taxe des y, le point M
répond nécessairement à un maximum
ou à un minimum. Pour c^ point M.
la tangente d'inclinaison a alors pour
valeur
dy dx
ou /'(x) = dz Qo.
Fig. 570
dy
Le point M est appelé point de rebroussement.
Un point de rebroussemenl M [Jig- 570) peut répondre à une tangente qui n'est pas parallèle à Taxe des y, c'est-k-dire à une valeur de
•^ qui ne soit pas nulle.
3* Une courbe peut donner une valeur nulle pour la dérivée du premier ordre, et cependant ne présenter ni maximum ni minimum. C'est ce qui arrive lorsqu'une courbe (fig 571) préscTïle un point d'inflexiofl M et qu'en ce point
UkXlUA £T MINIMA.
la tangente à la courbe est parallèle a Taxe des x\ car alors pour ce
Fig. 57,. P^*"^ «" ^
On sera averti de cette circonstence, puis qu'alors la courbe, à partir du point M, tournera sa convexité ou sa concavité vers Taxe des X selon que la fonction du second ordre f'[x) sera positive ou négative (1753). 11 est iiussi à remarquer que dans le cas où M est un point d'inflexion, la dérivée .du premier ordre ne change pas de signe, puisque la tangente à la courbe en deçà et au delà du point M est inclinée dans ie même sens sur Taxe des x; seulement au point M le coefficient d'inclinaison est nul.
Exemple de courbes présentant un maximum^ un minimum et un point d'inJLexion, Soit
l'équation d'une courbe rapportée au système d'axes coordonnés Ox et Oy. En prenant la dérivée du premier ordre et celle du second ordre on obtient:
Pour le point d'inflexion M, la dérivée du second ordre étant nulle (4754), posant
y" = 6j: = 0, d'où x = «,
on voit que le point d'inflexion est situé sar l'axe des y. Pour en déterminer l'ordonnée, on fait x = 0 dans l'équation (1), qui donne y = 1.
Pour obtenir les coordonnées des points M4 et M, répondant au minimum et au maximum, on égale à zéro la dérivée première, ce qui donne
d'où X
Par suite, l'équatioTi (1) donne:
dtl.
Ainsi les points Mj et M, ont pour coordonnées :
