MC

Remarquant qu'au numérateur on peut négliger idi par rapport k 1 +«■, on a, en divisant les deux termes par dx et en représentant par p le rayon de courbure MC,

■ VA^lT"

d£ dx Ayant

é = tanga = f=/'(x, et | = g =/"(x,, la relation précédente peut s'écrire

(l + [/W]f (i + [f{x)Y) (i -f lf{x)]*f ■

Si Ton adopte toujours le signe + pour le numérateur, p^rendra le signe de f"{x)^ et sera par conséquent positif ou négatif selon que]la courbe aura sa concavité tournée vers le sens positif ou négatif des ordonnées y (1753).

Application à la parabole, L'équ/ition de la courbe étant (1240)

y« = 2px,

on a successivement :

dy ^dx ^" y^=P'

Cette dernière relation dififérentiée donne (1737)

di . • d.y

d'où -T- ou /"(x)

-r- OU /" X) = = f-.

(-es valeurs substituées dans [la formule fo) du rayon do courbure?

ûigitizedby@OOgle

doDoeot

•^ tndiqaeqiie Pour y = 0.

p a on .«igni» i on a

contraire â ceini de

Ainsi au ffommel de la parabole le rayon de courimre est le doolile de la distance do foyer ao sommet { 238 . jépplteation à la ckmcmjérence. De l'éqaatÎMi de la circonférence 1 166

on déduit successivement 4743^ :

— - dz = îdy + ydi,

dx y \ dr/ y '

Remplaçant /"x) et f'^ par leurs valeurs dans la formule générale (6), il vient

Ainsi le rayon de courbure est une constante égale au rayon du cercle.

CALCUL INTÉGRAL. NOTIONS PRÉLllIINAniBS. %i$

CAI.CVI. ivnmRAL.

NOTIONS PRÉLUflNAIRCS.

1764. Ohfet du calcul intégral. Intégraiion. Intégrale. Le calcul ÎDtégral a pour objet, étant donnée la dérivée y' d*une fonction y sous la forme

de trouver la fonction eUis-aiènie

ou bien encore, étant donnée la loi des accroissements simultanés de la fonction y et de la variable ac sous la forme

dy=f'{x]dx,

de trouver la relation qui lie la fonction y à la variable x» c'estrà-dire de trouver

Comme on le voit, l'objet du calcul intégral estrînverse de celui du calcul différentiel.

Le calcul intégral résout dans toute sa généralité la question : étant donaée l'équatîoo d'iuie tangente à une courbe sous la forme

trouver l'équation de la courbe sous la forme

Ainsi les fonctions simples ou fondamentales (1732, 1733, 1734, 1739] yncof*» ysaloffl:, y as sinac, y=cco8a;,

ayant respectivement pour dérivées et pour différentielles :

y' = 7iMc«»-\ y'^-~y y'==cosx, y' = — sinx;

dy = înx»»-*dx, dy = — ^ dx, d^r = c^xdx, dy^-^ sinâodxj

si Ton donnait une de ces dérivées ou une de ces différentielles, le tableau qui vient d'être formé fournirait immédiatement la relation fondamentale dont elle dérive.

Cependant, comme une même dérivée, par exemple celle

OU une mémo diflférentielle *

dy = ma?»-*da:, répond non-seulement k la fonction

y =/W = ac*, mais aussi à la fonction

C. étant une constante tout à fait quelconque; ce qui résulte de ce que deux fonctions

y=/(x) et y=:/(a;)+C,

qui ne diffèrent que par une constante C, donnent la même dérivée ou la môme diflFérentielle (1735)

g=y'-/'(x), dy=/(x)dx;

il s'ensuit que si Ton donne la dérivée ou la différentielle, on doit en conclure que la fonction primitive est de la forme

Cela signifie que si la courbe C (fig, 574), dont Téquation est

Fig. 574. y =:f{x),

satisfait à la question, il en sera de même de toute autre courbe C\ dont Fordonnée d'un point quelconque A donne