CALCUL INTÉGRAL. NOTIONS PRÉLIMINAIRES

1 76». Interprétation géométrique d'une quantité intégrale. Notation dPune intégrale. Limites d^une intégrale. Intégrale définie. Intégrale indéfinie*

Soit donnée la fonction dérivée du premier ordre

d^où

Fig. 575.

et proposons-nous de retrouver sa fonction primitive

Supposons le problème résolu, et soit AMM'B la courhe roprésontative de cette fonction p^iuliti^('.

Considérant deux points infiniment voisins M et M' de cette courbe, à la limite, Taccroissement M'Q' de l'ordonnée MP est la différen* tielle dy de cette ordonnée MP = y, et l'accroissement PP' de Tabscisse OP est la diftérentielle dx de cette abscisse OP=a:; et Ton voit que pour passer de l'ordonnée d'un point A à Tordonnée d'un autre point H de la courbe, il faut ajouter à Tordomiée du point A la somme d'un certain nombre d'accroissements tels que M'Q', M"(i"..., qui peuvent vivo inégaux entre eux, mais que Ton suppose très-petits.

Comme à la limite l'arc MM' se confond avec sa corde ou mt^me ave:: la tangente à la courbe en M, la figure MM'Q' est un triangle rectiligne rectangle, qui donne

M'Q' = MQ'tang:M'MQ'),

dy = ^^ df = ^W\^) — 2/'ti-r,

en désignant par y' la tangente d'inclinaison en M. L'élément M'M" donne aussi

M-Q"ou dy, = dj:,i^;

et comme il en est de même pour tous les éléments de la courbe AB, on voit que la quantité BC qu'il faut ajouter a l'ordonnée du point A pour avoir celle du point B est la somme des différentielles dy, dy,..., c'està-dire

2dy = Sy'do:,

en représentant, pour abréger, par Sdy la somme de toutes les quai.tités analogues h dy et par ^y'i\x la somme de tous les produits analogues à y'dj.

812 HUITIÈME PARTIE* — tHmOSS DE GALGOL IHrOflTÉSIlIAL .

Cette somme eat Fintégrale cherchée de dy, et on rèerit

r'dj,

jdy=yd

qu'on lit intégrale de dy égale intégrale de y'àx.

Cette somme ou intégrale devant être calculée depuis le point A jusqu'au point B, désignant, par exemple, par a Tabscisse de A et par b relie de B, l'égalité précédente s'écrit

que l'on énonce Vintégrale entre les limites ^ethde ày égale Vintégrale mire les limites k et h de y'da;, et qui signifie que l'intégrale d'une quantité différentielle de la forme

dy=/'(x)dx

est la somme des accroissements dy de la fonction y, faite entre deux limites a et 6 répondant à deux ordonnées ou valeurs particulières finies de la fonction y.

Une de ces limites peut être nulle ou négative; c'est ce qui arrive selon que le point A se trouve sur Taxe des y ou a gauche de cet axe ; dans l'un ou l'autre cas l'intégrale s'écrit

\ dy = i y'dx, ou V dy = \ y'di.

l.a limite a étant négative, celle h peut aussi être nulle ou négative.

L'intégrale prise entre deux limites prend le nom d'intégrale dë/fftâe,

et l'intégrale sous la forme générale V dy prend celui d'intégrale indéfinie.

1760. Exemple du calcul d'une intégrale définie dont les limites sont „. ,. données. Soit

iMg. b76.

ft X

f = { x'dr.

ce qui donne (1732, 1764)

et proposons-nous de calculer cette intégrale entre les limites correspondant aux points A et B, dont les coordonnées sont :

Calculer l'intégrale \ x'dx entre les limites correspondant aux point»

eALCITL lirréORAL. notions PRÉLltftNAHtES.

A et B rcverrant géométriquement à trouver la longueur BQ cfii^il faut ajouter à AP pour obtenir Bft, la relation (2) donnanort

AP=y = ^'+C, et BR = y = Ç + C,

AP=BQ=f-|' = JW

Ainsi le résultat demandé s'obtient en remplaçant successivement dans riniégrale indéfinie (1) lavaviable x par ses deux valeurs correspondant aux limites de V intégrale^ et en prenant la différence algébrique des deux résultats trouvés,

1767. Une intégrale définie peut être représentée géoméiriquement par

Vaire d'une courbe. En effet, si Ton construit les courbes C et C représentatives de la fonction primitive et de la fonction dérivée du premier ordre

Fig. 577.

d'où

dy=/'(x)d!r = y'ét,

comme en intégrant cette dernière expression on retrouve la fonction primitive (1), on a

= \ y'àx.

L accroissement infiniment petit dx de la variable x étant représenté géométriquement par PP'=P,P'j, et y' par Tordonnée M,Pit le produit y'dx Test par le trapèze Mj P, M'i P', , puisque à la limite on peut supposer M jPi = M'iP',, et il en résulte que raccroissement dy = M'û' de l'ordonnée y =MP de la courbe C est représenté par l'aire MjPjM'jP'i. Comme un autre accroissement quelconque de l'ordonnée est de même représenté par l'aire correspondante, il en résulte que pour passer de l'ordonnée du point A à l'ordonnée du point B, la somme totale BD des accTTHSsements infiniment petits de y sera représentée par la somme des aires infiniment petites correspondantes, c'est-à-dire par Taire AjA'jBiBV Ainsi Ton peut poser

r dy = r y'dx = surf. A, A\ Bj B\ ,

a cib étant les limites de l'intégrale, c'est-à-dire fixant les ordonnées entre lesquelles cette aire est calculée. En résumé, on voit que le calcul d'une intégrale définie peut toujours

824 HLITIÈilE PARTIK. — iNOTIONS DE CALCUL INFINITÉSIMAL.

se réduire à déterminer Taire d'une courbe comprise entre deux ordonnées, ces ordonnées correspondant aux limites de Fintégrale, et cette courbe représentant géométriquement la fonction dérivée du premier ordre de la fonction cherchée, donnée sous la forme

REGLES D INTEGRATION.

1768. Intégrales des Jonctions simples. Il n'y a pas de méthode de recherche pour remonter des fonctions dérivées ou des fonctions différentielles aux fonctions simples qui les ont données. La fonction

ayant pour dérivée (1732)

^ = y' = ma:— \ (2)

et pour différentielle

dy = ?nar*»-*da;, (3)

si Ton donne Tune des expressions (%) ou (3), et qu*on demande la fonction primitive, la réponse sera

et Ton écrira

^ dy = \mj;'*-'dx = ar« -f C ;

c'est-à-dire que pratiquement on fera les opérations inverses de celles qui fournissent la différentielle. Ainsi, dans l'exemple choisi, on augmentera Texposant (m — 1) d'une unité et l'on divisera par le nouvel exposant et par dx, ce qui donnera

^ dy = \7nx"»-*di ou y =

puis on ajoutera une constante arbitraire C, afin d'avoir l'expression générale dont la dérivée est mx"^*.

Cet exemple montre que \di formule générale de V intégration d'une ex^ pression différentielle dans laquelle la variable x est élevée à une puMsance quelconque est

Cette règle n'est cependant pas applicable daiis le cas où n = — I. En

RÈGLES d'intégration. S2a

t'ffet, elle donne alors

qui est le symbole de Fimpossibilité (48fi). Mais la fonction

y = logx donne (1733)

dy = \oge—y

et si les logarithmes sont pris dans le système népérien (405),

, ôx

«expression différentielle qui a alors pour fonction primitive

\dy = \-^ = L.x + C,

et non

co-f-C.

Tableau de quelques iivtégrales et de leurs différentielles correspondantes.

x^da; = — — + C. 1

aiogi = i5^dj:, (1733) Ç^^^ dx = log i + C. » i

da- =^^a'dx, (4741) Ça-dx = J^S-^ o' + C. 3

log<? ' J loga

dsinx= cosxdx, (1734) Vcosadx = sinx + C. 4

dcosx = — sinxdx, (4739) Uinxdx = — cosx+C. 5

Pour X < î :

I • dx /.«,,,x\ r dx • . /^

d arc sm x = , 1742 \ , = arc sm x + C. 8

l arc cos x = ■

-dx ,.«,^, C dx

, ^''., (1742) C— 2^ = -arccosx + C. 9

darclangx=;j--— î, (1742) L , =:arc tangx + C.

darccotx=^p-p-j, J__ =arctangx + C.

8% HOITIÈME PARTIE. — NOTIONS DE CALCTIL INFINITÉSIMAL.

i 769. L'intégrale d'une somme de différentielles dune même variable i est la somme des intégrales des différentielles ^i composent celte somme. En efTet, la somme algébrique

dans laquelle UyV eiz sont des fonctions quelconques d'une même va* riable x, donnant (1736)

d(u + r — z) —dw + dc — dr,

on a bien, en iirtégrant le» deux membres,

U;tt + r — z) = ^du + idt? — Vdz + C,

C étant la somme des constantes qu*il faut ajouter aux intégrales particulières.

!•' Exemple, En intégrant l'expression différentielle

dy =ac*dx +x"dac— xi»dx,

on obtient ainsi (1768)

jj^+l /j^+i jfiH-l

2* Exemple, De même en intégrant

dy = — ^ dx + cosxdx, ^ X

on obtient (1768)

dx+ \cosxdx=:logx + sinx + C.

1770. Tout facteur constant dune expression différentielle est cwserve comme coefficient dans Tintégrale de cette expression. En effet, la fonction

dans laquelle a est une constante, donnant (1737, V\

dy =a/'(x)dx, réciproquement, en intégrant cette dernière fonction on a bien

Ja/'(x)dx=a/(j) + C.

Comme application on a (1768) '

lÈALES D'mtteKATION. 897

1771. La camidéraiion du coeJScient canséomt permet de déduire directement les intégrales de cej'taines fonctions de celles du n" 1768. 1" Exemple, Les foncticNds différentielles

dy = — - et dy=-2|-da:

ne différant que par le coefficient constant logp, leurs intégrales no diffèrent que par ce même coefficient, et comme on a (1768"

on a donc

Ji^dx = loga:4-C,

rdx^logx J X loge

Si les logarithmes sont pris dans le système népérien (403), comme alors L.e= i, on a

2* Exemple, a et 6 étant des coefficients constants, on a (439, 1768, 1769)

{{ax-^- 6a:»)«dx = Ç a»x» dx + f %abx^ dx+{ b^x' cl j- a'x* 2a6x* bV ,,

1772. Intégration par changement de vainable ou par substitution. Une fonction différentielle qui n'est pas immédiatement intégrablc le devient quelquefois par un changement (le variable.

r' Exemple. Soit à intégrer

dy = (ax + ôxj^^dx. (I ;

On peut développer le second membre d'après la formule du binôme de Newton (518), puis intégrer séparément chaque terme; mais il est plus simple d'opérer de la manière suivante. On pose

ax + 6x = « ou (a + 6)x = z, d'où

X = — ^ et dx = — -7 dz ; a \- b a-\- b

on substitue ces valeurs de ax+ 6x ot de dx dans la relation (1), qui devient

on intègre les deux membres, ce qui donne (1768, 1770)

ou, en remplaçant z par sa valeur ax-hbx,

1 {ax-hbx)^+^ , ^ y=ïT6 7n + 1 '^^•

2* Exemple, Soit k trouver Tintégrale

On pose

- = 25 , d'où dx = aàz et ( - 1 = z* ; a \aj

ce qui donne, en substituant dans (l'j,

y = [-7^=dz = a* Ç ,^ ■ =a»arc sin 2:+C=a» arc sin - 4-C. (176a)

3* Exemple. Soit

y = Jtangxdx = Jj;^"^.dz. (1")

On pose

cosa: = 2, d'où dz = — sinxdx ou sinxda: = — dz, et remplaçant dans (1") sin xdx et cos x par ces valeurs, on obtient

r-^^-log^ ^^^logcosx •^ J z log e log (?

En prenant les logarithmes dans le système népérien (405), L.« = l, et par suite on a

y = — L.COSX + C.

i* Exemple. Soit à intégrer, A étant une constante.

Posons

dy = 7 r-TTi»- ^*

^ (ax + 6)»

ax + o=z' dou x= et dx= — .

Substituant ces valeurs dans la relation (!'"), elle devient , \{z — b)^iz A fz^dz 26zd;g b*dz\

HÊGLES d'intégration. 8!^^

dy = ^, (^-9ibz-*dz + b*zr-*éz\; d*où, en intégrant les deux membres (1768« 1769, 4771),

ou, en remplaçant z par sa valeur ox + 6,

A/log(ax+6) 26 ^' ^ , r

^""a»\ loge "^oaî + ô 2(aa: + 6)V

5* Exemple. Soit

y = \ v/a*— x* dx. (a)

On pose, ;r étant une première variable auxiliaire,

X = a sin z , (a')

d'où (1734)

dx = a cos zàz et x" = a" sin* z , et, par suite,

y^a' — x* = v^a* — a» sin* 2; = a v^1"^^^sîn*7 = a cos 2:. (1107)

Remplaçant dx et y^a" — x* par ces valeurs dans (a), il vient

y = \ a* cos* zdz = à^\ cos* rdz. (6)

Ayant (1113)

« • - j» * • 1 + cos sur cos 2« = 2 cos* 2 — 1, d ou cos* z = 5 ,

la relation (6) peut s^écrîre

, f 1 + cos 22 . ^, C Ae , „t r cos2z

ou »

a*r , ,fcos22 , . .

Pour intégrer le second terme de cette dernière relation, posons

22 = «, doù z= -, et d2=— .

On a alors

a*2 , , f costt dw a»2 , a* „. ,, a*2 a* .

sa* HOITIÈMB PARTIE. ^ ■•TIOMft OS CALCUL INFINITÉSIMAL.

Gomme la relation {a') donne

sm z = - et z = arc sm -, a a'

et que de plus on a (1107, 1113) et

cos2= V*-«»n'2: = yi— -j = -2^— j — ,

substituant ces valeurs dans la dernière expression de y, il vient

î/ = — arc sm - + -=- a - V^ ^ 2 a 4 a a '

ou, en simplifiant et ayoïOaxU la ooostante G»

y = y arc sin ^ + j ^a*—a^ + G.

Cette formule trouve son application an n* ITH pour la détermination des aires du cercle et de Teilipse. 6* Exemple, Soit encore

y = \ v^p* + «" dj:, (a)

p étant une constante.

Posant, z étant une varîaUe auxiliaipe,

la relation (a) devient

y = \(z— x)dx= \rdx— \xdx= \zdx— y. (a^

De la relation (6) on déduit successivement : p* + x«= z'— toc + x',

«• = 2x« + p« -f Sb5 sfp^T^'

L'équation (c) différentiée donne (1732, 1735, 1736, 1737) 0 = «zdz — 2zdap — 2xàf,

BiCLKS D'iNTBGRATIOM. 831

d'où

on a

Remplaçant dx par sa valeur dan/ 1 2dx de la reUtîon (a'),

ou, en remplaçant z et 2' par leurs valeurs,

Cette valeur de 1 zàx substituée dans la relation [a') donne pour Tin- Cégrale cherchée, en ajoutant une constante C,

Cette formule trouvera son application au n<» 1785 pour la rectification de la parabole.

I7VS. Intégratien pcar parties. Bn intégrant l*«x|»raaiMi

dy = Mdt?, dans laquelle u et v «ont des fonctions de x» on obtient

y ou \ttdr = ttt? — VtJdtt.

En effet, différentiant Texpression

y=zvx^ on a (1737)

dy ou d(îtt?) = »dîi + wdr, d'où

udtJ = d(i«?) — rdti,

et en intégrant les deux membres on a bien

y ou \ u&v = tir — ^ udu. (A)

Ainsi rintégrale du produit uàv se transforme en une différence algébrique dont Tun des termes est le produit vx des variables (fonctions de x), et dont l'autre \ tdw, quoique de même forme que l'intégrale fi*oposée, peut être plus simple.

832 HCITIÊMB PARTIE. — NOTIONS DE CALCUL INFIMITÉSIIIAL.

!•' Exemple. Soit a calculer

y=Uoga:dar.

On pose

logx = u, d'où dtt=i2^, (1733,

da; = dr, d'où x = v, La formule (A) donne alors 7j ou floga:dx = xloga; — Cxî5^^ = a;log2: — yogcdx,

f log xdx = x(log X — log e) + C = X log ï + C. (393

y Exemple, Soit à trouver

y = ^ X sin xdx.

Posant

x = tt, d'où dx = dtt,

sinxdx

= &Vy d'où tj = \ sinxdx = —cos^, [4768 la formule (A) donne

C X sin xdx = — X cos X — V — cos xdx = — X cosx + sin x + C.

3* Exemple, Soit

x* = M, d'où Slxdx = du,

*dx Posant

a' = v, d'où j^a'dx = dr, (1741;

la formule (A) donne

y = C x*a»dx = x'a*— \ a»2xdx. .B)

Pour calculer

{ a»2xdx,

posant

2x = w, d'où îdx = dw,

a'dx = dt% d'où î^a- = r, (1768/

log a

RÈGLES d'intégration. 833

la formule (A) donne

Ça'2a:dx = 2x J^ a«- f 2 JM^ a-da: = J loga J loga

a log e , ^ log e log e , « log e , / log e\

log a log a log a log a \ log a/

Substituant cette intégrale dans la relation (B), on a en définitive

^ J loga V log aj^

4* Exemple. Soit à trouver l'intégrale déjà déterminée au n* 1772,

y — \ v'a* — x*dx.

Posant

M =-y^a* — x*, et x = v,

ces relations différentiées donnent (1739)

^^ ~ /-i , dx, et dx = dr.

va* — X*

Par suite, la formule (A) donne

\ i/a" — x*dx = x i/a' — x" — \ dx. 'a)

Multipliant et divisant le premier membre de cette équation par V^a' — x', il vient

\ Ja^ — x* dx = \ ~" dx= \-7=^=dx— \-====dx, J Jv/a«~x« J,/a» — X* 3^a« — x«

ou, puisque (1772, 2* exemple)

Sa* , , .X

— === dx = a" arc sm -, V^a« — X» «

V^a* — X* dx = a* arc sin \ , dx. (6)

Ajoutant membre à membre les équations (a) et (6), on a 2 \ v^a* — X* dx = a* arc sin - + x y/a'— x' , et rintégrale cherchée est, comme au n* 1772,

S fl* X X J

va* — X* dx = ~ arc sin - + - ^a* — x* + C. * a SI

APPLiCikTION DU CAIXUL IXTÉGP.AL.

QaAdrattire des e«arbes.

1774. Solution générale de la quadrature des courbes. Soit

Fig. î>78.

réqufttia» d'orne coupbe C dont il s'agit de déterminer l'aire comprise entre les ordonnées AA' et BB^y et soient Y, X les coordonnées du point A, et Y', X' celles du point B.

Considérant do cette aire un élément MPP'M' compris entre les ordonnées voisines MP et M'P', y ci X étant les coordonnées du point M, à la limite du rapproeliement de MP et M'P', celles du point M' seranty + dy etx-fdx, et rélénient MPP'M' sera un trapèze dont Faire, que nous désignerons par dS, srîra (697)

Cela établi, comme l'on peut concevoir l'aire totale AA'BB' divisée on petits trapèzes élémentaires, celte aire totale S sera la somme 2dS

ou \dS dos aîpes de tous les trapèzes élémentHifos, (^t l'oft aura

&y pouvant être négligé à la limite dans les expressions (1) et (2), la première devient

dS = 2/dx, et la seconde.

S=JdS=Jyd.T.

Calculant cette intégrale en fonction de a:, et intégrant entre les limites .r = X et J = X', on a (1765 et 1766;

La môme intégrale calculée en fonction de y entre les limites Y et Y' .s'indiquerait

De l'équation de la courbe

OVADIIJiTORE DBS COCRItES. 89S

«■«édoit

Beinplaçant dx par cette valeur dans (3), il vmui

-ÏM''-

<778. 1" application. Surface du triangle rectangle. Soit une droite p. ^^ OB dont réquatîon est (11601

y = ox, (1)

et calculons Faire COC comprise entre Forigîne 0 etTordonnée CC. Soient

OC = 6, et CC' = A.

La formule générale des aires (1774)