CL
X il'
Wd^
donne, en y remplaçant y par sa valeur déduite de (1) et en intégrant (4768, 1770),
S= Çaa;da?=y! +C. (S)
Pour avoir Faire demandée COC, prenons cette intégrale entre les limites a: =r 0 et x = 6. Or, comme pour x = 0 et x = 6, on a respectivement
•S = ê + C et S=î!^+C,
Faire COC' est donc (1766)
^axdx=Sç- + C-{0 + C) = î|-. (3)
Comme Fon reconnaît immédiatement que pour x = 0 on a S = 0, la relation (2) donne, pour x = 0,
0 = 0 + C, d'où C = 0.
La constante étant nulle, on peut la supprimer dans la relation (2), qui devient
S=: \ axdx= —, et cela établi, on peut poser de suite pour Faire cherchée
En général, lorsque pour une valeur déterminée de la variable Tinlégrale indéfinie s'annule, de Téquation qui en résulte, on déduit la constante C, qui est égale au résultat qu'on obtient en changeant de signe les autres termes de la valeur de l'intégrale qui ne s'annulent pas, et l'intégrale définie ayant pour limite 0 et une valeur quelconque de la variable, s'obtient en remplaçant dans l'intégrale indéfinie la variable par sa valeur-limite, et la constante par sa valeur trouvée.
La dernière marche suivie pour avoir S = —- est une application de
cette règle, qui sera mieux mise en évidence par quelques-unes des applications que nous ferons. Cette règle n'est du reste qu'une simplification de la règle générale, dans laquelle C disparaît du résultat définitif sans qu'on se soit préoccupé de sa valeur.
Le point G étant sur la droite OB, la relation (1) est vérifiée par Je système de valeurs y = heix=b; ainsi l'on a
h = aby d'où a=Tr.
Substituant cette valeur de a dans la relation (3), on a en définitive pour l'aire cherchée
hb^bh ^ ~ 26 "" 2 '
qui est bien l'expression de la surface du triangle rectangle COC (692 . On arrive au même résultat en intégrant
= \ydx
après avoir remplacé do; en fonction de y. De la relation (i) on déduit
dy=adx^ d'où dx=-^, et, par suite.
Comme pour y = 0 on a S = 0, on a donc
0 = 0 + C, d'où C = 0.
Par suite,
et l'aire cherchée est '
S= \ V dy = ^. iX>
Les coordonnées du point C devant vérifier l'équation (i), on a
A = aby d'où « = T ,
QUADRATURE DBS GOURBIIS. 837
et en substituant cette valeur de a dans la relation (2'), on a, comme ci-dessus, pour Faire cherchée,
1776. 2* application. Surface du trapèze. Pour avoir l'aire du trapèze XX'BB'.Jig, 579, il suffit de calculer l'intégrale
= \ydx
entre les limites a: = X et x = X', X et X' étant les abscisses des points extrêmes A et B. Or, d'après le numéro précédent, de 0 à X et de 0 à X', on a respectivement :
donc Taire cherchée est (1766)
'''ydx = ^*-^' = ?(X--X«) = 2(X' + X)(X'-X),
Jx'' 2 2""2^"^ ^""2
Comme l'équation
de la droite OB, donne respectivement pour les points A et B
Y = aX et Y' = aX', par addition on a
Y + Y' = a(X + X'), d'où (X + X') = ^î!-±^'.
Substituant cette valeur de X + X' dans l'expression précédente de S, il vient
Expression qui n'est autre que celle donnée au n" 697 pour l'aire d'un trapèze ayant Y et Y' pour bases et X' — X = A'B' pour hauteur.
1777. 3* application. Surface de V ellipse et surface du cercle. L'équation de l'ellipse rapportée à ses axes principaux donne (H74)
y = - v'a* — X La formule générale des aires (1774)
S= l^ydx
S38 BCITIÉHE PARTIS. ^ SOnOHS OE CALCITL INFIKITÉSUIAL.
appiîfaéft k FeDIpse desoe donc (1772;, 3* exemple;
Ja' a % a a %
Prenant cette intégrale pour le quart de Tellipse, c'est-àrdire entre
tes limites x=0 etx = a, comme pour z = OonaS=0, et que de la
relation précédente on conchit C = D^ celte relation précédente donnant
pour x = a
^ ab . . TUib
S = -- arc 6m 1 = —,
nn a donc poor Ib quart de Tellipe
s = C'^v^5î^:T'dx=^.
et pour la surface totale de Tellipee (1205)
Lorsque a = 6 = r, Fellipse devient un cercle de rayon r, et l'on a .728, 4205;
S = îcr«.
£ 1778. 4* application. Aire d'un segment de parabole. L*éqoation de Fig. 580. la parabole rapportée à son sommet étant (1240)
la formule générale des aires (4774)
S= fydx donne
S = J v^ x*dx = Afe + ^ = I y/^ xx + C+|a:y-hC.
Désignant par Y et X les coordonnées fla point H, on obtient l'aire du segment OMP en prenant l'intégrale précédente entre les limites x = Oetx=X. Or pour x = 0 on a S == 0 et de la relation précédente on conclut C = 0; donc Taire cherchée est, comme au n' 1257,
On peut intégrer
S= r v/2px*dx=|xY.
=r ^ y dx
QUADRATURE I>£S COUIlBlvS. 839
par rapport à la variable y, A cet efifet, de la retaUofi (l) ott déduil
:ay dy = 2p dx, d'où d;r = | dy, cl celle valeur de dx substituée dans la râleur précédente dn* S donne
Poenantieetle ixitégraie entre kfs limitoe y =sO et y =^ Y, CAOUoe pour y ='tt DE a fi^^^d et Cs^tt» Faipe ohevchée ctsit donc
ou, puisque Y* = 2lpX,
1779. 5' application. Aire de la sinusdide. L'équation de cette courbe étant
y = sm X, la formule générale des aires (1774)
donne (1768)
8= \ sin xdx = -»• cosx -f C.
Fi^. 561.
Vï
;avoir Faire S du segment CAP on prend cette intégrale entre ]es limites x = 0 et x — OP = - , ce qui donne respectivement
S = — 4 +C et S=— 0 + C.
Par suite Faire OAP est, en négligeant la constante C» qui s'annule.
S= r,sinxdx=0— (— T =1.
HUITIÈUE PARTIE. — NOTIONS DE GALCCL INFINITÉSIMAL.
En suivant la seconde marche du n* 1775, remarquant que pour a: = 0 on a S = 0, et que la relation (2) devient
0 = — i+C, d'où C=i, comme pour x= - on a cosa; = 0, on a donc bien
sin xdx =0 + 1 = 1.
LUnterprétation pratique de ce résultat est facile, Téquation (1) supposant que le rayon R de Tare x est pris pour unité, il en résulte que Taire S = AOP est équivalente à celle d'un carré qui a R pour côté. Si, par exemple, R=3'",00, on a S = 9"%00.
L'aire OAB est double de celle OAP, et a pour valeur numérique le nombre 2, qu'on obtient en prenant l'intégrale (2) entre les limites a; = 0 et x = OB=n, ce qui donne bien, puisque cos« = --l ou — cos t: = 1,
S= i^ sina;da: = l +1=2.
1780. 6" application. Aire de la logarithmique. L*équation de cette courbe étant
î/ = logx, (1)
substituant cette valeur de y dans l'équation générale des aires (1774), on a (1773)
S= \ydx= \loga:dx = x(logx — loge) + C = xlog-î + C.
Si les logarithmes sont pris dans le système népérien (404), on a L.e = l, et par suite
S = ^L.xda; = a;L.a: — x + C. (2)
Comme pour x = 0, la surface S se réduit à 0, on a d'après la relation (2)
0 = 0 + C, d'où C = 0.
La constante G étant nulle, la relation (2) devient
Fig. 582.
