L.xdx^XL.X— X+i
1781. Mesure des aires par approximation. Soit proposé d'évaluer Taire d'une courbe comprise entre les deux Fig. 583 ordonnées AA' et CC. Menons Tordonnée BB'
également distante des ordonnées extrêmes AA', ce, et par les points ABC imaginons qu'on fasse passer un arc de parabole dont Taxe soit parallèle à A'y; on peut admettre que cet arc ne diffère pas sensiblement de la
T t.- « courbe ABC et que son aire est sensiblement
Taire demandée.
La parabole dont Tare ABC fait partie ayant son équation de la forme
y = a + 6x + ex*, (1)
si Ton prend AA' pour axe des y^ on aura
en appelant y^ Tordonnée du point A; car Téqualion (\) devant être vérifiée par un point quelconque de la parabole, elle Test par le point A, et comme ce point donne a:=0, on a bien yo=a. L'équation (1) peut alors être remplacée par cette autre :
y = y© + ^^ + CI*, (2)
dans laquelle 6 et c sont deux coefficients constants à déterminer. La formule générale des aires (1774) donne pour Taire S = AA'CC
yûx = \ (yo + &x + ca:")dx,
0 Jo
ou (1766, 1769)
S = yoa:'^+-2- + -3-=x"(yo+-j-+ -3-)- ^^>
Pour déterminer les coefficients h et c, on remarque que la fbrraule (2) donne respectivement pour les points B et C
ULITIÈMK PARTIS. — BOTJON8 JNC CALCUL INFINITÉSIMAL.
y'= y, -h — + -p ou 4y'= 4yo + 26x" + cx'^ (3)
et que ces deux dernières équatious perxoejtteftt de idjâLermaoer 6 et c en fonction de quantités connues.
Mais cette recherche est inutile, et Ton peut calcuiar pius sio^ilement la somme entre parenthèses de la relation (A) tout en y éliminant 6 et c. En effet, ajoutant membre à membre la relation y^-^y^ et celles (3) et (4), on a
d'où
ya+ iy' + y"= 6yo+ Sfrx" 4- 2ca:"«=-6 (ya+ Ç' + ^) ;
Substituant cette valeur dans la relation (AJ, il vient
«t en posant
A'B'=B'C'=|=«, d*où Ç = |,
on a en définitive
S=£"ydx = ^(y,+ 4y' + y";
1782. Formule de Thomas Simpaoïu Pour calculer Taire d'une courbe
comprise entre deux ordonnées AA' et EE', on divise la projection A'E' an un nombre pair n de parti»
(^ales, et Ton mèae des OÊéùvmè»
partons Les.poinÉi de diviaÎML Cala l'ait, appHquant ouocesamment la formule précédente (B) à Taire s comprise entre les ordonnées AA' ot BB:, à oeUe y comprise entse les ordonnées Bfi' et GC\ et ainai àe suite, quel que soit le .nombre 72 des divisions de A'E', on a :
Faisant la somme de toutes ces aires, on obtient pour Taire toteie
CTBATUirE DES SOLIDES. 843
& = |lyo + yn + %j+îr,+ ...+î^i)+%, + y* + ... + y«-2)]. (C)
Formule qae nous avons déjà donnée au n* 1303, ou S est remplacé
E par — .
1785. Empioi de la formule 'ée Thevnaa Bimpson pour trouver une valeur approximatioe d'une mùégrttle finie delà forme
uzàx^
lorsque, pour des valeurs déterminées de x, on connaît les valeurs corresponduilefi des autres variables u-eX z.
On divise la différence Xn—Xf^ des limites en nn AOXDbne.pair n de parties égales, et posant
5lZ:Î>=5, et vz=:y, riatégrale pre^iosée devient (1782)
ou, en y faisant
yo=«o«o» yi=wi2i, ya="A> » yn=t«,A.,
On procéderait de môme pour calculer Tintégrale
J'^uvzQx.
Pesant
^^'^^^=5, et uvz=zy,
et remplaçant, on obtiendrait
+ 2(Mi««2s+W^VA + ...)]•
Cnltaiiiire «e« «ellde*.
1784. Solution générale de la cubature des solides. Application de la formule de Thonu» Simpson (1789) à la mtbature d^wi s&^de quefcmifue.
844 HDITIÈHE PARTIE. — KOTIONS DE CALCUL IHFlSITÉSniAL.
Soit un solide limité à deux plans A« et A. perpendiculaires à Taxe Ox. Le volume d'un élément quelconque mm' de ce solide, compris entre deux plans parallèles aux plans extrêmes Â^ et A», a pour expression
dV = Adj;,
A étant la section moyenne de Télément faite
parallèlement à A«, et dx son épaisseur infiniment petite.
La formule générale des volumes est alors
' = 5Ad..
intégrale que dans les cas particuliers on prend entre les limites x^ et X», qui sont les abscisses des points de rencontre des plans A^ et A» avec Taxe Oz.
Pour calculer approximativement cette intégrale, on divise la distance Xn — Xg des plans extrêmes A^, A» en un nombre pair n de parties égales S, par les points de division on mène des plans parallèles au plan A«, on mesure les bases A^, A« du solide, ainsi que les sections obtenues A|, A,..., et appliquant la formule de Thomas Simpson, on a, comme pour les aires (1782)
r = CAdx = !
[Ag + A,» + 4{Ai + A, + ...+A,^,) + 2(A, + A, + ...+A^l.
On voit que le volume Y est numériquement égal à Taire d'une courbe qui aurait des ordonnées proportionnelles aux sections A^, A^, A, ... A« et les mêmes abscisses que ces sections.
178». Rectifier une courbe^ c'est trouver sa longueur exprimée en unités linéaires.
Soit une courbe AB dont Téquation est
y et X étant les coordonnées du point M, celles du point voisin M' sont à la limite de rapprochement y^dy et x + dx, Tare MM' se confond avec sa corde, et le triangle rectangle MM'Q donne
ce qui n'est autre chose, en représentant par dL l'arc infiniment petit
AIRE DES SCRFACE8 DE RÉTOLCTION. 845
MM' rectifié, que Téquation différentielle
dL = s/{ày? + (dx)« ^ dx y/l + (gy = cLc v/l + [f{x)]K
Par suite, la longueur L d'un arc fini ÂB est donnée par l'intégrale suivante, calculée entre les limites a et 6 de la variable correspondant aux points extrêmes A et B,
Telle est la formule générale de la rectification des courbes. Pour rappliquer, on détermine la dérivée f{x) de la relation (1), on substitue le carré de cette dérivée dans la relation (2), et l'intégrale de l'expression résultante est la longueur cherchée L.
Application. Soit a rectifier la parabole dont l'équation est (Jig. 580, n' 1778)
On a g=/'(x) = £, d'où dx=|dy, et [f{x)]^^^,.
Substituant ces valeurs dans la formule (2), il vient
L = £dx v/r+TTw = £| dy y/T^
S'il s'agit de la longueur L de l'arc OM compris entre le sommet 0 et le point M {Jig. 580), on calcule cette intégrale entre les limites c = y = 0 et 6 = Y=MP, c'est-k-dire entre les limites 0 et Y=MP. Or comme on a (1772, 6* exemple) s
i J dy s^?qr?f == E -h ^ V^;M^ 4- 51^
cette intégrale devant s'annuler pour y = 0 , puisque l'arc se réduit au sommet, on a
4 2 log e ' 4 2 log e
Substituant cette valeur de C dans l'intégrale précédente, on a en définitive
Aire «e« murtmeeu d^ réT«liiUe«.
1786. Formule générale de Vaire des sur/aces de révolution^ et applicatioiis. AB étant la méridienne d'une surface de révolution dont Ox
est Taxe [fig, 586), k la limite, ua élément MM' = dL de eette oouibese confond avec sa corde et décrit la surface latérale dS d'un tronc de cône; de sorte qu'en désignant par y ot je les coordonaées du point M, on a (932)
dS = 2R(y-h^^dL,
dv ou, en négligeant •—■ par rapport a y et en remplaçant dL par son
expression générale (1786),
dS=r2:çy VW^ + ld-yJ'- Par suite. Faire S décrite par une courbe AB a pour expression génénde
•S = 5l«Jy v'(dr)« + (dy)». (1)
1" Application à Vaire de la sphère, La méridienne ayant pour origine le centre de la sphère, son équation est (1166)
d'où
2ydy = — 2xda-, dy = — î—, et (dy)*=î-LI. , if y
Substituant cette valeur de fdy)» dans l'intégrale précédente (4), on a
ou
•s =3tic\ dir =r2rerx+ C.
Prenant cette intégrale^ntreles fimites ïr=0 et ar=rr, ce qui fbumrt la surface de la demi-sphère, comme pour x = 0, on a S = 0 et*p«r suite C = 0, on obtient
; = 2«\ Axr =
2iîrx + 0 = 2«r*.
La surface totale de la sphère est alors Inr*, comme au n* 937. 2* Application à Faire du paraboloide de révolution. Soit
y« = 2px
réquation de la couilie méridîtime (1240); on en déduit
ûx y' \dx/ y» ipx %x' *
QBBATL'BE OIS SatLIM» DB RÉVOLtmOK. WT
Rcinplaçant f ^J par celte valeur dans Fintégrale indéfinie (1), on obtient
= 2jcVda;v'y* + P* = 2î:\dxv/2px + j3'=:2sv/p\da;^2« + p.
Posant
il Tient
2'x + p = z, d'où da; = ~ ,
S = 7:v'pU«d2 = r v/p| + G = I îtv/K^Ï+P? + C. Comme pour x = 0 on a S = 0, cette dernière relation devient
0 = |7:p«+C, d'où C = — |r/A
Foor avoir la sFurfacede parab(^ïde co«fpri9e entre le somiBBlet ane seriHm qui a X po>ur abscisse (/^. 580), on prend Tintég^te précédeRte entre les limites x = 0 et x = X, ce qui se fait en remplaçant STinptemcntx par X et C par sa valeur dans IVxpression (a), et Ton a
S = â^v^^dx V2^rTF= I ;:v/i;{2X+i>;''— | np«= ~ 7:(v'p(2X+p;»— p«;.
CntoAiBM «e« selMe* «• révelntieB.
1787. Formule générale du volume d'un solide de révolution. Soit
réquatîon de la courbe méridienne AB {fig. o86) d'un solide de révolution dont Taxe est Ox, Considérant ce solide V comme formé de tranches infiniment minces comprises entre des plans perpendiculaires à Ox, comme Tune quelconque de ces tranches, celle engendrée par MPP'M' par exemple, peut à la limite être considérée comme un tronc de cône dont les rayons des bases sont MP = y et WP' = y + dy, et dont la hauteur est PP' = dx, le volume dV de cette tranche est (933) « dV = .^ K[y» + (y + dy)^ + y' y + dy ;]dx,
ou, en négligeant dy par rapport à y,
dV = -^ t: y* -f y« H- y^]±L = nyMx.
HUITIÈME PARTIE
Par suite, le volume V correspondant k une méridienne AB a pour intégrale indéfinie
r = 7c V y« dj;.
Fig. 587.
1788. Appltcations, V Volume du cône engendré par le triangle rectangle OBP tournant autour de Taxe Ox sur lequel se trouve le côté immobile OP. L'équation de la méridienne étant (1160)
substituant cette valeur de y dans Téquation générale (1) du numéro précédent, cette équation devient
V = 7cU«x»dx= ^' + ^ = 5 7:aVx + C= I ny»x + C.
Comme pour x = 0 on a V=0, cette dernière relation devient
0 = OH-C, d'où C = 0.
Prenant Tintégrale précédente entre les limites x = 0 qui correspond ày = Oetx = A qui correspond a y = r, comme on a C = 0, le volume cherché est donc
V = 7:Ça*x«dx=^7rr*A.
2* Volume d'un ellipsoïde de révolution. La méridienne a pour équation (1174)
aV + ft*^* = a*^*, d'où y« = ^(a»— x«).
Substituant cette valeur de y' dans l'équation (1) du numéro précédent, o'n obtient
V = :t\-^ (a*— x')dx = 7c\— ^dx— «\-^x*dx =
ar 3
Comme pour x = 0 on aV = 0, et que l'intégrale précédente fournit C = 0, prenant cette intégrale entre les limites à x = 0 et x = a, on obtient pour la moitié du volume de l'ellipsoïde
<ît pour l'ellipsoïde entier
fa)
Si Tcllipse génératrice tournait autour de son petit axe, on aurait
résultat qu'on obtient en remplaçant a par 6 et 6 par a dans la formule (a), et auquel on arriverait par la marche précédente, en remarquant que réquation de Fellipse serait
aV + 6V = a*ft*, d'où y« = ~(ô« — x«).
(}eB(re« de gvmriié des llsares.
1789. Moment et centre de gravité d^une figure. Le centre de gravité d'un corps a été défini au n"" 1560 d'après des considérations mécaniques; mais on peut, en faisant abstraction de la pesanteur, en donner une notion purement géométrique, qui permet de trouver sa position par le calcul, dès que la forme du corps, supposé homogène, est déterminée ou définie (1564).
Une figure (ligne, surface ou volume) peut être considérée comme composée d'éléments infiniment petits. Le produit d'un de ces éléments par sa distance à un plan est le moment de cet élément par rapport à ce plan (1532). Les moments de deux éléments situés de côtés dififérents du plan sont de signes contraires (1533). Le moment d'une figure ou d'un système d'éléments est la somme algébrique des moments des divers éléments qui composent la figure ou le système.
Le centre de gravité d'un système d'éléments (lignes, surfaces ou volumes) est le point qui est tel, que si tous les éléments y étaient concentrés, le moment de leur ensemble par rapport à un plan quelconque, c'est-à-dire le produit de la somme de tous les éléments par la distance de ce point au plan, serait égal à la somme algébrique des moments des divers éléments par rapport au même plan.
On prouverait qu'un tel point existe par la marche suivie au n* 1533, et l'on déterminera sa position comme pour le centre des forces parallèles (1534, 1562).
\ 790. Centre de gravité d'une ligne droite. D'abord le centre de gravité est sur la droite ; car en le supposant en dehors, en y faisant passer un plan laissant toute la droite d'un même côté, le produit de la somme de tous les éléments par la distance du centre de gravité au plan serait nul, tandis que le moment de la droite par rapport au même plan ne le serait évidemment pas.
Le centre de gravité est le mUieu de la droite ; car par rapport à un plan quelconque passant par ce milieu, d'abord le produit de la sonmie de tous les éléments par la distance de ce milieu au plan sera nul, et de plus, comme deux éléments de la droite également éloignés du milieu se trouvent à égale distance du plan, mais de côtés difiérents, et que chaque élément d'une moitié de la droite a, par rapport au milieu, son
£30 HUITIÈME PAKTI€. — HOTIONS DE CALCfTL IRFINITÉSIMAI..
symétrique sur raotre moitié, il en résulte qu<e le moment de la droite totale sera aussi nul.
Remarque, Par un raisonnement analogue au précédent on établirait d'une manière générale : i* que tout système d'éléments géométriques {ligABs, surfaces ou volumes) possédant ua centre de figure a son een4re de gravité au centre de figure (1565); 2' que tMit «yistème composé de deux groupes d'éléments symétriques deux k dieuK par rapport à uae droite ou par rapport à un plan (828 à 832) a son centre de gravité sur cette droite ou sur le plan.
1 79 1 . Centre de gravité de plusieurs droites ou d'un contour polygonal. Nous avons indiqué au n" 1562 la marche à suivre pour résoudre ce problème non-seulement pour des droites, mais aussi pour des surfaces ou des volumes, et nous avons dit qu'on pouvait le résoudre aussi à Taîde des moments, en opérant comme au n"* 1531. Ajoutons que dans les formules de ee dernier numéro les composantes P,P'... sont remplacées par les longueurs des droites, ou les surfaces, ou les volumes; !a résultante R par la somme des droites, «u ^es surfoces, ou des ▼©tûmes, et que les ooerdonnées sont celles des centres de gravité des figures partielles et du centre de gravité cherché. I79Î. Centre 4e gravité d'une cowhe plane quelconque AB, Traçant deux ax'es rectangulaires Ox, Oy dans le piin de Fig. 589. jj^ ^nrbe^ le centre de gravité cterché G sera
connu quand on aura ses coordonnées Y et X m/{ .y par rapport à ces axes.
^ /l j ^ I y étant l'ordonnée d'un point M, le moment
' ' 'de l'élément MM' = dL par rapport à Ox est
ou , comme -— peut être négligé par rapport à y,
ydL.
La somme idgébrique de tous les moments éléinentaires, c^t-^-dire lo moment de la courbe est alors
2;ydL=JydL,
^t comme ce moment est égal k LY, L étant la longueur de la courbe, on a donc
V=5ydl
d'où Y=i^. :1)
Par rapport à l'axe Oy, on a de m^me
LX = CxdL, d'où X=i^. '2)
Remarque. Lorsque la courbe est donnée par son équation on en déduit (4785)
et
. dL= si(i^}* + (dx)» == dx y/i + (^^y ,
puis Ton substitue ces valeurs dans les relations (1) et (2).
Lorsque les intégrales qui résultent de ces substitutions sont trop compliquées ou que les fonctions (1) et (2) sont inconnues, on a recours à la famille de Tiwiiias âimpsoiD (i7iS) poor cdiculer approximatif vement
\ ydJL et \ xdL.
Pour cela, on divise par tâtonnement la courbe AB en un nombre pmm ée parties égales; des points de dwision on abaisse des perpendiculaires sur Ox; on mesure ces perpendiculaires y^^ y^, y^,.. y», et
faisant- =ô, on a
JydL = I [yo+ yn + 4 (yi+ y, + ... + yn-J + 2 (y, + y, + ... + yn-,)].
1795.. Centre de gravité ctun arc de cercle. En nous reportant au n* 1668, le moment de l'élément MM' par rapport à Taxe OX (Jig. 481), qui doit signifier ici Taxe des y, est
MM'xiD ou xdL,
et le moment de Vd»Q total est
53xdL=UdL.
Mais comme
MM' X ID = PP' X r
ou
xdL = rdy,
le jBomeat de Tare est aussi égal à
Srdy = rSdy =rc,
en désignant par c la corde AB, qui est bien égale à 2dy.
La distance X du centre de gravité G au centre 0 est alors, en désignimt par a la longueur L de Tare,
L'arc étant de n degrés, on a (733)
2wm
De plus on a
sin^=— , dou c=2r8in-.
Ces valeurs de a et de c substituées dans la relation (1) donnent
360 r sin
im
Pour n = 180% par exemple, on a sin -^ = sin 90* = 1, et par suite
Fig. 590.
Ainsi le centre de gravité d'une demi-circonférence est très-approximativement situé aux rr du rayon à partir du centre.
1794. Centre de gravité des surf aces planes et en général des surfaces et des solides quelconques. Solution générale. Soit m un élément dS d'une surface limitée par une courbe plane quelconque ABC, et y la distance de cet élément k l'axe Ox tracé dans le plan de la surface. Le produit ydS est le moment de l'élément m, et le moment de toute la surface est (1789).
SY = Sy dS = \ ydS, d'où Y = ^ .
Par rapport à l'axe Oy, on a de môme
SX
iX=ÇitdS, d'où X=i?^
JydS
Si la surface n'était pas plane, au lieu d'employer deux axes Oar et Oy, on aurait recours à trois plans rectangulaires entre eux, et pour chacun de ces plans on aurait une formule semblable à celle fl); ce qui permettrait de déterminer les coordonnées X, Y et Z du centre de gravité par rapport aux trois plans.
Pour les solides on opère comme pour les surfaces; les formules sont identiques à celles (1); sei^Aement les éléments de surface dS sont remplacés par des éléments de volume dV,
Dans la pratique, lorsqu'on ne peut établir les intégrales (1) et {î], ou
Fig. 591.
si eUes sont trop compliquées, on a, comme nous l'avons fait au n" 1792 pour les courbes, recours k la formule de Thomas Simpson pour calculer ces expressions ainsi que la surface S.
Pour cela, on choisit les axes Ox et Oy tangents à la surface ; on divise la projection / de la surface sur Ox en un nombre
pair n de parties égales - ==ô; par les
points de division on mène des perpendiculaires à Oo:; on mesure les portions y^, Vi^Vi '-ynàe ces perpendiculaires interceptées par la courbe, il peut arriver, et c'est le cas de la fig. 591, que les portions y, et y, soient nulles. On a alors (1782)
S = 3[yo + yn-f 4(yjH-y,-h...H-yn,)+2(yk+y4 + ... + y,^,)].
Considérant un élément mm' limité à deux droites infiniment rapprochées et parallèles à Oy, la surface de cet élément est
dS = ydx,
en prenant pour y la longueur mm' limitée à la courbe. Par suite on a pour le moment de cet élément par rapport a Oy
xdS = xydXy
et pour celui de la surface totale,
^xydx
SX
= \a:ydx,
d'où X=
Pour calculer \ xydx, on pose
et Ton a approximativement pour cette intégrale
Jy'd^= l [y'o + y» + 4(y',+y's-f ...+y'n-i) -f 2(y', + y',+... + y'n-,)],
valeur dans laquelle :
y'o=yoap(»-yoxo = o,
y', = y^Xi = yi8, y',= y^, = 2y,5,
y'n = yi^n = ny»5.
On a donc en définitive
Caydx=j[ny,»+4(y,+3y,+...+(n— l)y,J+2(2y,+4y^+...+(n— 2)y»^^^^
Sa4 HCITIÈME PARTI& — BiOTIONS DE CALCUL INFINITÉSIMAL.
^S[nyH+4(y,+3y,+».+ (n>>l)y,^)4-g(2y,+4y,4->..4-(n---2)y>^] y«+yn+4(yj+y,+...+y*^)+2(y,+y*+...+y— ,)
En opérant pour Taxe Oy comme on vient de le faire pour Ox, et réciproquement, on obtiendrait de même la distance Y du c^itre de gravité à Taxe Ox; mais quand an a ééterniaé les éléments qui précèdent, il est plus simple d'opérer de la manière suivante.
z étant la distance du milieu, c'est-à-dire du centre de gravité de rélément mm' = dS = ydx a l'axe Oa:, le moment de cet élément par rapport à cet axe est
zàS = zyùXf et le moment de la surface totale par rapport au même axe est
SY = Uydar,
d'où Y=^^.
Posant
on a
SY==ydx=|[y'o+yn+4(y\+y',+...+y'n-,)+«(y',+î^*+...+y'*^^^ formule dans laquelle
y'n=ynZn,
^0 9 ^19 ^i"-^» étant les distances des milieux des hauteurs y,, y,, yi-.yn de la surface k Taxe Ox.
On a alors
yo + yn+4(y, + y,H-...)+2(y, + y* + .-0
I79l>. Centre de gravité de la swrjojce d'un triamigle. Noue avow démontré au n" 4569 que le centre de gravité se trouve au point de rencontre des trois médianes, et que ce point est aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet correspondant, ou encore que la distance du centre de gravité à la base du triangle est égale au tiers de la hauteur.
On peut déterminer la position du centre de gravité G d'un triangle AlBC par le calcul, à Tàidc de la formule générale du n* 1794,
Y^Jyds
Fig. S9t.
GmTMS PB UATITi PBS FIGUMS. |H
Menons par le sommet A un axe Os parallèle à la base BG. Un dément mm' compris entre deux droites infiniment rapprochées et parallèles à BC a pour surface
dS = mrRl X d)»,
et son moment est
ydS = y X mwl x dy.
Les deux triangles semblables Amw' et ABC donnant
-r- = r» <lou mm'==-f.
le moment élémentaire
Le moment total est alors
»dS =¥■'!(■
Prentnt cette intégrale entre les limites y = 0 et y = A, on a en définitive pour le moment du triangle ABC, en faisant S = — ,
d'oà
Ainsi le centre de gravité se trouve sur une parallèle moirée à la base au tiers de la hauteur. On prouverait de même que cette prapriété est commune aux deux autres côtés du triangle, et, géométriquement, on établirait que les trois parallèles se coupent en un même point, qui est »e point de rencontre G des trois médianes. Bemarque, Voir les n- 1570 à 4574.
Fig. 593. 1796. Centre de cavité d'un segment de parabole
limité à une droite AB perpendiculaire à Taxe principal Ox, réquation de la parabole étant (1240)
y»=:2px
Le centre de gravité G étant sur Taxe de symétrie Ox, il suffit de déterminer son abscisse OG = X'. Un élément mm' compris entre deux droites infîmment rapprochées et parallèles à Taxe Oy a pour surface
dS = mmf àx=:jtyôx.
et son moment est
zdS = %xi/ dx.
Le moment du segment parabolique est alors
SX'= f 2aydx= \ 2a;v^2pxda;= \ ^^x*àx= -^2pa* + C.
Désignant par X et Y les coordonnées du point Â, et prenant cette intégrale entre les limites x = 0 et x = X, on a pour le moment du segment considéré, puisque la constante s'annule pour x = 0,
Comme (1778) .on a donc
SX' = g v^X* = g v/2pXX« = ^ YX*.
S = |YX.
1797. Centre de gravité d'une zone AÀ'BB' (4575). A cause de la symétrie, le centre de gravité G se trouve sur le rayon OC perpendiculaire aux plans ÂÂ', BB' des bases; il suffit donc de déterminer sa distance OG = X au centre.
Prenons OC pour axe des x, et soit Oy la trace d'un plan perpendiculaire à Ox.
En raisonnant comme aux deux numéros précédents, un élément mm' de zone compris entre deux plans infiniment rapprochés et parallèles au plan Oy a pour surface (935)
dS=2jçRdx,
et son moment par rapport-au plan Oy est
xdS = SI«Rxdx.
Le moment de la zone est alors
SX = \ 2îcRx dx = wRx» -H C.
Prenant cette intégrale entre les limites x = x" et x = x^, on a pour la zone considérée
SX = i:R(x''« — x^), et comme
S = 2kRH=:2kR(x" — x').
CENTRBS DE GRAVITÉ DES PIGURES.
on a donc
Ffg. 595.
Ce qui montre que le centre de gravité G est au milieu de la hauteur H de la zone. •
1798. Centre de grcmté de la surface latérale d'un cône droit. Ce centre de gravité se trouve sur Taxe OP du cône; il s'agit donc de déterminer OG = X'. Prenons OP pour axe des x, et les moments par rapport k un plan Oy mené perpendiculairement à Ox par le sommet du cône.
L'élément de surface mm' compris entre deux plans infiniment rapprochés perpendiculaires à Ox a pour expression, en désignant par / le côté OA du cône (932),
dS = 2i:(y+^)d/,
dy
ou en supprimant -^ par rapport à y,
dS = 2nyd/; le moment de cet élément par rapport au plan Oy est alors
xdS = %Kyx&l,
Gomme on a
et
dx
